Monadická booleovská algebra - Monadic Boolean algebra

v abstraktní algebra, a monadická booleovská algebra je algebraická struktura A s podpis

⟨·, +, ', 0, 1, ∃⟩ z typ ⟨2,2,1,0,0,1⟩,

kde ⟨A, ·, +, ', 0, 1⟩ je a Booleova algebra.

The monadický /unární operátor ∃ označuje existenční kvantifikátor, který uspokojuje totožnost (pomocí přijatého předpona notace pro ∃):

  • ∃0 = 0
  • ∃X ≥ X
  • ∃(X + y) = ∃X + ∃y
  • ∃X∃y = ∃(X∃y).

∃X je existenční uzavření z X. Dvojí to ∃ je unární operátor ∀, univerzální kvantifikátor, definované jako ∀X := (∃X' )'.

Monadická booleovská algebra má dvojí definici a notaci, která bere ∀ jako primitivní a ∃ podle definice, takže ∃X := (∀X ')'. (Porovnejte to s definicí dvojí Booleova algebra.) Proto s touto notací algebra A má podpis ⟨·, +, ', 0, 1, ∀⟩, s ⟨A, ·, +, ', 0, 1⟩ booleovská algebra, jako dříve. Navíc ∀ splňuje následující zdvojnásobil verze výše uvedených identit:

  1. ∀1 = 1
  2. ∀X ≤ X
  3. ∀(xy) = ∀X∀y
  4. ∀X + ∀y = ∀(X + ∀y).

∀X je univerzální uzavření z X.

Diskuse

Monadické booleovské algebry mají důležité spojení topologie. Pokud je ∀ interpretováno jako operátor interiéru topologie, (1) - (3) výše plus axiom ∀ (∀X) = ∀X tvoří axiomy pro vnitřní algebra. Ale ∀ (∀X) = ∀X lze prokázat z (1) - (4). Alternativní axiomatizace monadických booleovských algeber navíc zahrnuje (reinterpretované) axiomy pro vnitřní algebra, plus ∀ (∀X)' = (∀X) '(Halmos 1962: 22). Proto jsou monadické booleovské algebry polojednoduchý interiér/uzavírací algebry takové, že:

  • Univerzální (duálně, existenciální) kvantifikátor interpretuje interiér (uzavření ) operátor;
  • Všechny otevřené (nebo uzavřené) prvky jsou také clopen.

Stručnější axiomatizace monadické booleovské algebry je (1) a (2) výše, plus ∀ (X∨∀y) = ∀X∨∀y (Halmos 1962: 21). Tato axiomatizace zakrývá spojení s topologií.

Monadické booleovské algebry tvoří a odrůda. Mají monadická predikátová logika co Booleovy algebry jsou výroková logika a co polyadické algebry jsou logika prvního řádu. Paul Halmos objevili monadické booleovské algebry při práci na polyadických algebrách; Halmos (1962) dotiskuje příslušné práce. Halmos a Givant (1998) zahrnují vysokoškolské zacházení s monadickou booleovskou algebrou.

Monadické booleovské algebry mají také důležité spojení s modální logika. Modální logika S5, nahlíženo jako teorie v S4, je model monadických booleovských algeber stejným způsobem S4 je model vnitřní algebry. Podobně monadické booleovské algebry dodávají algebraickou sémantiku pro S5. Proto S5-algebra je synonymum pro monadickou booleovskou algebru.

Viz také

Reference

  • Paul Halmos, 1962. Algebraická logika. New York: Chelsea.
  • ------ a Steven Givant, 1998. Logika jako algebra. Mathematical Association of America.