Waldspurgerův vzorec - Waldspurger formula

tento článek potřebuje pozornost odborníka na matematiku. Specifický problém je: článek vyžaduje jemnější encyklopedický úvod pro běžného čtenáře. Matematika WikiProject může pomoci s náborem odborníka. (Březen 2019)

v teorie reprezentace matematiky, Waldspurgerův vzorec se týká speciální hodnoty ze dvou L-funkce ze dvou souvisejících přípustný neredukovatelné reprezentace. Nechat k být základním polem, F být automorfní forma přes k, π být zastoupením sdruženým prostřednictvím Korespondence Jacquet – Langlands s F. Goro Shimura (1976) tento vzorec prokázali, když ${ displaystyle k = mathbb {Q}}$ a F je hrotová forma; Günter Harder učinil stejný objev současně v nepublikovaném článku. Marie-France Vignéras (1980) tento vzorec prokázali, když {${ displaystyle k = mathbb {Q}}$ a F je nová forma. Jean-Loup Waldspurger, pro něž je vzorec pojmenován, vyvrátil a zobecnil výsledek Vignéras v roce 1985 pomocí úplně jiné metody, kterou poté široce používali matematici k prokázání podobných vzorců.

Prohlášení

Nechat ${ displaystyle k}$ být pole s číslem, ${ displaystyle mathbb {A}}$ být jeho Adele prsten, ${ displaystyle k ^ { times}}$ být podskupina invertibilních prvků ${ displaystyle k}$, ${ displaystyle mathbb {A} ^ { times}}$ být podskupinou invertibilních prvků ${ displaystyle mathbb {A}}$, ${ displaystyle chi, chi _ {1}, chi _ {2}}$ být tři kvadratické znaky ${ displaystyle mathbb {A} ^ { times} / k ^ { times}}$, ${ displaystyle G = SL_ {2} (k)}$, ${ displaystyle { mathcal {A}} (G)}$ být prostorem všech hrotové formy přes ${ displaystyle G (k) zpětné lomítko G ( mathbb {A})}$, ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ být Hecke algebra z ${ displaystyle G ( mathbb {A})}$. Předpokládat, že, ${ displaystyle pi}$ je přijatelné neredukovatelné zastoupení od ${ displaystyle G ( mathbb {A})}$ na ${ displaystyle { mathcal {A}} (G)}$, ústřední postava π je triviální, ${ displaystyle pi _ { nu} sim pi [h _ { nu}]}$ když ${ displaystyle nu}$ je archimédské místo, ${ displaystyle {A}}$ je podprostor o ${ displaystyle {{ mathcal {A}} (G)}}$ takhle ${ displaystyle pi | _ { mathcal {H}}: { mathcal {H}} do A}$. Předpokládáme dále, ${ displaystyle varepsilon ( pi otimes chi, 1/2)}$ je Langlands ${ displaystyle varepsilon}$-stálé [(Langlands 1970 ); (Deligne 1972 )] spojené s ${ displaystyle pi}$ a ${ displaystyle chi}$ na ${ displaystyle s = 1/2}$. Tady je ${ displaystyle { gamma v k ^ { times}}}$ takhle ${ displaystyle k ( chi) = k ({ sqrt { gamma}})}$.

Definice 1. The Legendární symbol ${ displaystyle left ({ frac { chi} { pi}} vpravo) = varepsilon ( pi otimes chi, 1/2) cdot varepsilon ( pi, 1/2) cdot chi (-1).}$

• Komentář. Protože všechny výrazy vpravo mají buď hodnotu +1, nebo mají hodnotu -1, může mít výraz nalevo hodnotu pouze v množině {+1, −1}.

Definice 2. Let ${ displaystyle {D _ { chi}}}$ být diskriminující z ${ displaystyle chi}$. ${ displaystyle p ( chi) = D _ { chi} ^ {1/2} sum _ { nu { text {archimedean}}} left vert gamma _ { nu} right vert _ { nu} ^ {h _ { nu} / 2}.}$

Definice 3. Let ${ displaystyle f_ {0}, f_ {1} v A}$. ${ displaystyle b (f_ {0}, f_ {1}) = int _ {x v k ^ { times}} f_ {0} (x) cdot { overline {f_ {1} (x) }} , dx.}$

Definice 4. Let ${ displaystyle {T}}$ být maximální torus z ${ displaystyle {G}}$, ${ displaystyle {Z}}$ být centrem ${ displaystyle {G}}$, ${ displaystyle varphi v A}$. ${ displaystyle beta ( varphi, T) = int _ {t v Z zpětné lomítko T} b ( pi (t) varphi, varphi) , dt.}$

• Komentář. Není však zřejmé, že funkce ${ displaystyle beta}$ je zobecněním Gaussova suma.

Nechat ${ displaystyle K}$ být takovým oborem ${ displaystyle k ( pi) podmnožina K podmnožina mathbb {C}}$. Lze zvolit K-podprostor${ displaystyle {A ^ {0}}}$ z ${ displaystyle A}$ takový, že (i) ${ displaystyle A = A ^ {0} otimes _ {K} mathbb {C}}$; ii) ${ displaystyle (A ^ {0}) ^ { pi (G)} = A ^ {0}}$. Ve skutečnosti existuje jen jeden takový ${ displaystyle A ^ {0}}$ modulo homothety. Nechat ${ displaystyle T_ {1}, T_ {2}}$ být dva maximální tori z ${ displaystyle G}$ takhle ${ displaystyle chi _ {T_ {1}} = chi _ {1}}$ a ${ displaystyle chi _ {T_ {2}} = chi _ {2}}$. Můžeme zvolit dva prvky ${ displaystyle varphi _ {1}, varphi _ {2}}$ z ${ displaystyle A ^ {0}}$ takhle ${ displaystyle beta ( varphi _ {1}, T_ {1}) neq 0}$ a ${ displaystyle beta ( varphi _ {2}, T_ {2}) neq 0}$.

Definice 5. Let ${ displaystyle D_ {1}, D_ {2}}$ být diskriminující ${ displaystyle chi _ {1}, chi _ {2}}$.

${ displaystyle p ( pi, chi _ {1}, chi _ {2}) = D_ {1} ^ {- 1/2} D_ {2} ^ {1/2} L ( chi _ { 1}, 1) ^ {- 1} L ( chi _ {2}, 1) L ( pi otimes chi _ {1}, 1/2) L ( pi otimes chi _ {2} , 1/2) ^ {- 1} beta ( varphi _ {1}, T_ {1}) ^ {- 1} beta ( varphi _ {2}, T_ {2}).}$

• Komentář. Když ${ displaystyle chi _ {1} = chi _ {2}}$se pravá strana definice 5 stává triviální.

Bereme ${ displaystyle Sigma _ {f}}$ být množinou {vše konečné ${ displaystyle k}$- místa ${ displaystyle nu mid pi _ { nu}}$ nemapuje nenulové vektory invariantní pod akcí ${ displaystyle {GL_ {2} (k _ { nu})}}$ na nulu}, ${ displaystyle { Sigma _ {s}}}$ být množinou {všech ${ displaystyle k}$- místa ${ displaystyle nu mid nu}$ je skutečný nebo konečný a speciální}.

Věta [(Waldspurger 1985 ), Thm 4, str. 235]. Nechat ${ displaystyle k = mathbb {Q}}$. Předpokládáme, že (i) ${ displaystyle L ( pi otimes chi _ {2}, 1/2) neq 0}$; (ii) pro ${ displaystyle nu in Sigma _ {s}}$, ${ displaystyle left ({ frac { chi _ {1, nu}} { pi _ { nu}}} right) = left ({ frac { chi _ {2, nu} } { pi _ { nu}}} vpravo)}$ . Pak existuje konstanta ${ displaystyle {q in mathbb {Q} ( pi)}}$ takhle

${ displaystyle L ( pi otimes chi _ {1}, 1/2) L ( pi otimes chi _ {2}, 1/2) ^ {- 1} = qp ( chi _ {1 }) p ( chi _ {2}) ^ {- 1} prod _ { nu in Sigma _ {f}} p ( pi _ { nu}, chi _ {1, nu} , chi _ {2, nu})}$

Komentáře:

• (i) Formulář v teorémě je známý Waldspurgerův vzorec. Je globálně-lokální povahy, vlevo s globální částí, vpravo s místní částí. Do roku 2017 jej matematici často nazývají klasický Waldspurgerův vzorec.
• ii) Stojí za povšimnutí, že pokud jsou oba znaky stejné, lze vzorec výrazně zjednodušit.
• (iii) [(Waldspurger 1985 ), Thm 6, str. 241] Když je jeden ze dvou znaků ${ displaystyle {1}}$, Waldspurgerův vzorec je mnohem jednodušší. Bez ztráty obecnosti můžeme předpokládat, že ${ displaystyle chi _ {1} = chi}$ a ${ displaystyle chi _ {2} = 1}$. Pak je tu prvek ${ displaystyle {q in mathbb {Q} ( pi)}}$ takhle ${ displaystyle L ( pi otimes chi, 1/2) L ( pi, 1/2) ^ {- 1} = qD _ { chi} ^ {1/2}.}$

Případ, kdy ${ displaystyle k = mathbb {F} _ {p} (T)}$ a ${ displaystyle varphi}$ je metaplektická hrotová forma

Nechť p je prvočíslo, ${ displaystyle mathbb {F} _ {p}}$ být pole s p elementy, ${ displaystyle R = mathbb {F} _ {p} [T], k = mathbb {F} _ {p} (T), k _ { infty} = mathbb {F} _ {p} (( T ^ {- 1})), o _ { infty}}$ být celé číslo z ${ displaystyle k _ { infty}, { mathcal {H}} = PGL_ {2} (k _ { infty}) / PGL_ {2} (o _ { infty}), Gamma = PGL_ {2} (R )}$. Předpokládat, že, ${ displaystyle N, D v R}$, D je bez čtverce rovnoměrného stupně a spolupráce na N, Prvočíselný rozklad z ${ displaystyle N}$ je ${ displaystyle prod _ { ell} ell ^ { alpha _ { ell}}}$. Bereme ${ displaystyle Gamma _ {0} (N)}$ do sady ${ displaystyle left {{ begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} in Gamma mid c equiv 0 { bmod {N}} right },}$ ${ displaystyle S_ {0} ( Gamma _ {0} (N))}$ být souborem všech hlavních forem úrovně N a hloubka 0. Předpokládejme, že ${ displaystyle varphi, varphi _ {1}, varphi _ {2} v S_ {0} ( Gamma _ {0} (N))}$.

Definice 1. Let ${ displaystyle left ({ frac {c} {d}} right)}$ být Legendární symbol z C modulo d, ${ displaystyle { widetilde {SL}} _ {2} (k _ { infty}) = Mp_ {2} (k _ { infty})}$. Metaplektický morfismus ${ displaystyle eta: SL_ {2} (R) až { widetilde {SL}} _ {2} (k _ { infty}), { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} mapsto left ({ begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}, left ({ frac {c} {d}} right) right).}$

Definice 2. Let ${ displaystyle z = x + iy in { mathcal {H}}, d mu = { frac {dx , dy} { left vert y right vert ^ {2}}}}$. Peterssonův vnitřní produkt ${ displaystyle langle varphi _ {1}, varphi _ {2} rangle = [ Gamma: Gamma _ {0} (N)] ^ {- 1} int _ { Gamma _ {0} (N) zpětné lomítko { mathcal {H}}} varphi _ {1} (z) { overline { varphi _ {2} (z)}} , d mu.}$

Definice 3. Let ${ displaystyle n, P v R}$. Gaussova suma ${ displaystyle G_ {n} (P) = součet _ {r v R / PR} vlevo ({ frac {r} {P}} vpravo) e (rnT ^ {2}).}$

Nechat ${ displaystyle lambda _ { infty, varphi}}$ být Laplaceovo vlastní číslo z ${ displaystyle varphi}$. Existuje konstanta ${ displaystyle theta in mathbb {R}}$ takhle ${ displaystyle lambda _ { infty, varphi} = { frac {e ^ {- i theta} + e ^ {i theta}} { sqrt {p}}}.}$

Definice 4. Předpokládejme, že ${ displaystyle v _ { infty} (a / b) = deg (a) - deg (b), nu = v _ { infty} (y)}$. Whittakerova funkce

${ displaystyle W_ {0, i theta} (y) = { begin {cases} { frac { sqrt {p}} {e ^ {i theta} -e ^ {- i theta}}} left [ left ({ frac {e ^ {i theta}} { sqrt {p}}} right) ^ { nu -1} - left ({ frac {e ^ {- i theta}} { sqrt {p}}} right) ^ { nu -1} right], & { text {when}} nu geq 2; 0, & { text {jinak} } end {případy}}}$.

Definice 5. Fourier-Whittakerova expanze ${ displaystyle varphi (z) = součet _ {r v R} omega _ { varphi} (r) e (rxT ^ {2}) W_ {0, i theta} (y).}$. Jeden volá ${ displaystyle omega _ { varphi} (r)}$ Fourier-Whittakerovy koeficienty ${ displaystyle varphi}$.

Definice 6. Operátor Atkin – Lehner ${ displaystyle W _ { alpha _ { ell}} = { begin {pmatrix} ell ^ { alpha _ { ell}} & b N & ell ^ { alpha _ { ell}} d konec {pmatrix}}}$ s ${ displaystyle ell ^ {2 alpha _ { ell}} d-bN = ell ^ { alpha _ { ell}}.}$

Definice 7. Předpokládejme, že ${ displaystyle varphi}$ je Hecke vlastní forma. Vlastní hodnota Atkin – Lehner ${ displaystyle w _ { alpha _ { ell}, varphi} = { frac { varphi (W _ { alpha _ { ell}} z)} { varphi (z)}}}$ s ${ displaystyle w _ { alpha _ { ell}, varphi} = pm 1.}$

Definice 8. ${ displaystyle L ( varphi, s) = součet _ {r v R zpětné lomítko {0 }} { frac { omega _ { varphi} (r)} { levý vert r pravý vert _ {p} ^ {s}}}.}$

Nechat ${ displaystyle { widetilde {S}} _ {0} ({ widetilde { Gamma}} _ {0} (N))}$ být metaplektickou verzí ${ displaystyle S_ {0} ( Gamma _ {0} (N))}$, ${ displaystyle {E_ {1}, ldots, E_ {d} }}$ být pěkným Heckeovým vlastním tajemstvím ${ displaystyle { widetilde {S}} _ {0} ({ widetilde { Gamma}} _ {0} (N))}$ s respektem k Peterssonův vnitřní produkt. Bereme na vědomí Korespondence Shimura podle ${ displaystyle operatorname {Sh}.}$

Věta [(Altug & Tsimerman 2010 ), Thm 5,1, str. 60]. Předpokládejme to ${ displaystyle K _ { varphi} = { frac {1} {{ sqrt {p}} ({ sqrt {p}} - e ^ {- i theta}) ({ sqrt {p}} - e ^ {i theta})}}}$, ${ displaystyle chi _ {D}}$ je kvadratická postava s ${ displaystyle Delta ( chi _ {D}) = D}$. Pak

${ displaystyle sum _ { operatorname {Sh} (E_ {i}) = varphi} levý vert omega _ {E_ {i}} (D) pravý vert _ {p} ^ {2} = { frac {K _ { varphi} G_ {1} (D) left vert D right vert _ {p} ^ {- 3/2}} { langle varphi, varphi rangle}} L ( varphi otimes chi _ {D}, 1/2) prod _ { ell} left (1+ left ({ frac { ell ^ { alpha _ { ell}}} { D}} right) w _ { alpha _ { ell}, varphi} right).}$

Reference

• Waldspurger, Jean-Loup (1985), „Sur les valeurs de certaines L-fonctions automorphes en leur center de symétrie“, Compositio Mathematica, 54 (2): 173–242
• Vignéras, Marie-France (1981), „Valeur au center de symétrie des fonctions L associées aux formes modulaire“, Séminarie de Théorie des Nombres, Paříž 1979–1980, Progress in Math., Birkhäuser, str. 331–356
• Shimura, Gorô (1976), „O zvláštních hodnotách funkcí zeta spojených s hrotovými tvary“, Sdělení o čisté a aplikované matematice., 29: 783–804
• Altug, Salim Ali; Tsimerman, Jacob (2010). "Metaplektická domněnka Ramanujanu o funkčních polích s aplikacemi na kvadratické tvary". arXiv:1008.0430v3.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Langlands, Robert (1970). O funkční rovnici Artinových L-funkcí.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Deligne, Pierre (1972). "Les Constantes des équations fonctionelle des fonctions L". Modulární funkce jedné proměnné II. Mezinárodní letní škola modulárních funkcí. Antverpy. 501–597.CS1 maint: ref = harv (odkaz)