Atkin-Lehnerova teorie - Atkin–Lehner theory
V matematice Atkin-Lehnerova teorie je součástí teorie modulární formy popisující, kdy vzniknou u daného celého čísla úroveň N takovým způsobem, že teorie Operátoři Hecke lze rozšířit na vyšší úrovně.
Atkin-Lehnerova teorie je založena na konceptu a nová forma, což je hrotová forma ‚nový 'v daném okamžiku úroveň N, kde jsou úrovně vnořené kongruenční podskupiny:
z modulární skupina, s N objednáno někým dělitelnost. To je, pokud M rozděluje N, Γ0(N) je podskupina z Γ0(M). The oldforms pro Γ0(N) jsou tyto modulární formy f (τ) úrovně N formuláře G(d τ) pro modulární formy G úrovně M s M řádný dělitel N, kde d rozděluje N / M. Nové formy jsou definovány jako vektorový podprostor modulárních forem úrovně N, komplementární k prostoru překlenutému starými formami, tj. ortogonální prostor vzhledem k Peterssonův vnitřní produkt.
The Operátoři Hecke, které působí na prostor všech forem hrotu, zachovávají podprostor nových forem a jsou samoadjung a operátory dojíždění (s ohledem na vnitřní produkt společnosti Petersson), pokud jsou omezeni na tento podprostor. Proto je algebra operátorů na nových formách, které generují, konečně trojrozměrná C * -algebra to je komutativní; a podle spektrální teorie takových operátorů existuje základna pro prostor nových forem skládající se z vlastních tvarů v plném rozsahu Hecke algebra.
Atkin-Lehnerova involuce
Zvažte a Hall dělitel E z N, což znamená, že to nejen dělá E rozdělit N, ale také E a N/E jsou relativně prvotřídní (často označované E||N). Li N má s odlišné hlavní dělitele, jsou 2s Hall dělitelé N; například pokud N = 360 = 23⋅32⋅51, 8 Hall dělitele N jsou 1, 23, 32, 51, 23⋅32, 23⋅51, 32⋅51a 23⋅32⋅51.
Pro každého Hall dělitele E z N, vyberte integrální matici ŽE formuláře
s det ŽE = E. Tyto matice mají následující vlastnosti:
- Elementy ŽE normalizovat Γ0(N): to znamená, pokud A je v Γ0(N), pak ŽEAW−1
E je v Γ0(N). - Matice Ž2
E, který má determinant E2, lze psát jako eA kde A je v Γ0(N). Budeme se zajímat o operátory na hrotových formulářích pocházejících z akce ŽE na Γ0(N) konjugací, pod kterou jsou oba skalární E a matice A jednat triviálně. Proto rovnost Ž2
E = eA znamená, že akce ŽE čtverce k identitě; z tohoto důvodu se výsledný operátor nazývá Atkin – Lehnerova involuce. - Li E a F jsou oba Hall dělitelé N, pak WE a wF dojíždět modulo Γ0(N). Navíc, pokud definujeme G být Hallovým dělitelem G = ef/(E,F)2, jejich součin se rovná WG modulo Γ0(N).
- Kdybychom zvolili jinou matici Ž′E namísto ŽE, ukázalo se, že ŽE ≡ Ž′E modulo Γ0(N), tak ŽE a Ž′E by určoval stejnou invokaci Atkin – Lehner.
Tyto vlastnosti můžeme shrnout následovně. Zvažte podskupinu GL (2,Q) generované Γ0(N) spolu s maticemi ŽE; nech Γ0(N)+ označit jeho podíl kladnými skalárními maticemi. Pak Γ0(N) je normální podskupina Γ0(N)+ indexu 2s (kde s je počet odlišných hlavních faktorů N); skupina podílů je izomorfní s (Z/2Z)s a působí na hrotové formy prostřednictvím Atkin-Lehnerových involucí.
Reference
- Mocanu, Andreea. (2019). "Atkin-Lehnerova teorie Γ1(m) - Modulární formuláře "
- Atkin, A. O. L.; Lehner, J. (1970), „Hecke operator on Γ0 (m) ", Mathematische Annalen, 185 (2): 134–160, doi:10.1007 / BF01359701, ISSN 0025-5831, PAN 0268123
- Koichiro Harada (2010) „Moonshine“ konečných skupin, strana 13, Evropská matematická společnost ISBN 978-3-03719-090-6 PAN2722318