Korespondence Shimura - Shimura correspondence

v teorie čísel, Korespondence Shimura je korespondence mezi modulární formy F poloviční integrální hmotnosti k+1/2 a modulární formy F rovnoměrné hmotnosti 2k, objeveno uživatelem Goro Shimura  (1973 ). Má tu vlastnost, že vlastní hodnota a Operátor Hecke T_n² na F se rovná vlastní hodnotě T_n na F.

Nechat ${ displaystyle f}$ být holomorfní vrchol s hmotností ${ displaystyle (2k + 1) / 2}$ a charakter ${ displaystyle chi}$ . Pro jakékoli prvočíslo str, nechť

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} Lambda (n) n ^ {- s} = prod _ {p} (1- omega _ {p} p ^ {- s} + ( chi _ {p}) ^ {2} p ^ {2k-1-2s}) ^ {- 1} ,}$

kde ${ displaystyle omega _ {p}}$jsou vlastní čísla Operátoři Hecke ${ displaystyle T (p ^ {2})}$ určeno str.

Za použití funkční rovnice z Funkce L., Šimura to ukázal

${ displaystyle F (z) = součet _ {n = 1} ^ { infty} Lambda (n) q ^ {n}}$

je holomorfní modulární funkce s váhou 2k a charakter ${ displaystyle chi ^ {2}}$ .

Shimurův důkaz používá Rankin-Selbergova konvoluce z ${ displaystyle f (z)}$ se sérií theta ${ displaystyle theta _ { psi} (z) = součet _ {n = - infty} ^ { infty} psi (n) n ^ { nu} e ^ {2i pi n ^ {2 } z} ({ scriptstyle nu = { frac {1- psi (-1)} {2}}})}$ pro různé Dirichletovy postavy ${ displaystyle psi}$ pak platí Weilova konverzační věta.

Reference

• Bump, D. (2001) [1994], „Korespondence Shimura“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Shimura, Goro (1973), „O modulárních formách poloviční integrální hmotnosti“, Annals of Mathematics, Druhá série, 97: 440–481, doi:10.2307/1970831, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970831, PAN  0332663