Ostrowskisova věta - Ostrowskis theorem - Wikipedia

v teorie čísel, Ostrowského věta, kvůli Alexander Ostrowski (1916), uvádí, že každý netriviální absolutní hodnota na racionální čísla ${ displaystyle mathbb {Q}}$ je ekvivalentní buď obvyklé skutečné absolutní hodnotě nebo a p-adic absolutní hodnota.^[1]

Definice

Zvyšování absolutní hodnota na výkon menší než 1 vždy vede k další absolutní hodnotě. Dvě absolutní hodnoty ${ displaystyle | cdot |}$ a ${ displaystyle | cdot | _ {*}}$ na pole K. jsou definovány jako ekvivalent pokud existuje reálné číslo C > 0 takhle

${ displaystyle forall x v K: quad | x | _ {*} = | x | ^ {c}.}$

The triviální absolutní hodnota na jakémkoli poli K. je definován jako

${ displaystyle | x | _ {0}: = { begin {cases} 0 & x = 0, 1 & x neq 0. end {cases}}}$

The skutečná absolutní hodnota na racionální ${ displaystyle mathbb {Q}}$ je standard absolutní hodnota na realitách, definovaných jako

${ displaystyle | x | _ { infty}: = { begin {cases} x & x geq 0, - x & x <0. end {cases}}}$

Někdy se to píše nekonečným indexem 1.

Pro prvočíslo p, p-adická absolutní hodnota zapnuta ${ displaystyle mathbb {Q}}$ je definován takto: jakýkoli nenulový racionální X lze psát jednoznačně jako ${ displaystyle x = p ^ {n} { tfrac {a} {b}}}$, kde A a b jsou coprime celá čísla nedělitelná p, a n je celé číslo; takže definujeme

${ displaystyle | x | _ {p}: = { begin {cases} 0 & x = 0, p ^ {- n} & x neq 0. end {cases}}}$

Důkaz

Zvažte netriviální absolutní hodnotu na racionálech ${ displaystyle ( mathbb {Q}, | cdot | _ {*})}$. Zvažujeme dva případy:

${ displaystyle { begin {aligned} (1) quad existuje n in mathbb {N} qquad | n | _ {*} &> 1, (2) quad forall n in mathbb {N} qquad | n | _ {*} & leq 1. end {zarovnáno}}}$

Postačuje, abychom zvážili ocenění celých čísel větší než jedna. Pro, pokud najdeme ${ displaystyle c in mathbb {R} _ {+}}$ pro který ${ displaystyle | n | _ {*} = | n | _ {**} ^ {c}}$ pro všechny přirozené hodnoty větší než jedna, pak tento vztah triviálně platí pro 0 a 1 a pro pozitivní racionály

${ displaystyle left | { frac {m} {n}} vpravo | _ {*} = { frac {| m | _ {*}} {| n | _ {*}}} = { frac {| m | _ {**} ^ {c}} {| n | _ {**} ^ {c}}} = left ({ frac {| m | _ {**}} {| n | _ {**}}} right) ^ {c} = left | { frac {m} {n}} right | _ {**} ^ {c},}$

a pro negativní racionály

${ displaystyle | -x | _ {*} = | x | _ {*} = | x | _ {**} ^ {c} = | -x | _ {**} ^ {c}.}$

Pouzdro (1)

Nechat ${ displaystyle a, b, n in mathbb {N}}$ s A, b > 1. Vyjádřit bⁿ v základna A:

${ displaystyle b ^ {n} = součet _ {i$

Pak uvidíme, podle vlastností absolutní hodnoty:

${ displaystyle { begin {aligned} | b | _ {*} ^ {n} & = | b ^ {n} | _ {*} & leq am max left {| a | _ { *} ^ {m-1}, 1 right } & leq a (n log _ {a} b + 1) max left {| a | _ {*} ^ {n log _ {a} b}, 1 vpravo } konec {zarovnáno}}}$

Proto,

${ displaystyle | b | _ {*} leq left (a (n log _ {a} b + 1) right) ^ { frac {1} {n}} max left {| a | _ {*} ^ { log _ {a} b}, 1 vpravo }.}$

Nicméně, jak ${ displaystyle n to infty}$, my máme

${ displaystyle (a (n log _ {a} b + 1)) ^ { frac {1} {n}} na 1,}$

z čehož vyplývá

${ displaystyle | b | _ {*} leq max left {| a | _ {*} ^ { log _ {a} b}, 1 right }.}$

Nyní vyberte ${ displaystyle 1$ takhle ${ displaystyle | b | _ {*}> 1.}$ Použitím výše uvedeného je zajištěno ${ displaystyle | a | _ {*}> 1}$ bez ohledu na výběr A (v opačném případě ${ displaystyle | a | _ {*} ^ { log _ {a} b} leq 1}$, což znamená ${ displaystyle | b | _ {*} leq 1}$). Tedy pro jakoukoli volbu A, b > 1 výše, dostaneme

${ displaystyle | b | _ {*} leq | a | _ {*} ^ { frac { log b} { log a}},}$

tj.

${ displaystyle { frac { log | b | _ {*}} { log b}} leq { frac { log | a | _ {*}} { log a}}.}$

Symetrií je tato nerovnost rovností.

Od té doby a, b byly libovolné, existuje konstanta ${ displaystyle lambda in mathbb {R} _ {+}}$ pro který ${ displaystyle log | n | _ {*} = lambda log n}$, tj. ${ displaystyle | n | _ {*} = n ^ { lambda} = | n | _ { infty} ^ { lambda}}$ pro všechny přírodní n > 1. Podle výše uvedených poznámek to snadno vidíme ${ displaystyle | x | _ {*} = | x | _ { infty} ^ { lambda}}$ pro všechny racionály, což dokazuje rovnocennost se skutečnou absolutní hodnotou.

Pouzdro (2)

Protože toto ocenění není triviální, musí existovat přirozené číslo ${ displaystyle | n | _ {*} <1.}$ Započítání do prvočísel:

${ displaystyle n = prod _ {i$

výnosy, které existují ${ displaystyle j}$ takhle ${ displaystyle | p_ {j} | <1.}$ Tvrdíme, že ve skutečnosti je to tak pouze jeden.

Předpokládat za kontr že p, q jsou odlišná prvočísla s absolutní hodnotou menší než 1. Nejprve nechte ${ displaystyle e in mathbb {N}}$ být takový, že ${ displaystyle | p | _ {*} ^ {e}, | q | _ {*} ^ {e} <{ tfrac {1} {2}}}$. Podle Euklidovský algoritmus, existují ${ displaystyle k, l in mathbb {Z}}$ takhle ${ displaystyle kp ^ {e} + lq ^ {e} = 1.}$ To přináší

${ displaystyle 1 = | 1 | _ {*} leq | k | _ {*} | p | _ {*} ^ {e} + | l | _ {*} | q | _ {*} ^ {e } <{ frac {| k | _ {*} + | l | _ {*}} {2}} leq 1,}$

rozpor.

Takže musíme ${ displaystyle | p_ {j} | _ {*} = alfa <1}$ pro některé j, a ${ displaystyle | p_ {i} | _ {*} = 1}$ pro i ≠ j. Pronájem

${ displaystyle c = - { frac { log alpha} { log p}},}$

vidíme to pro obecné pozitivní přirozené

${ displaystyle | n | _ {*} = vlevo | prod _ {i$

Podle výše uvedených poznámek to vidíme ${ displaystyle | x | _ {*} = | x | _ {p} ^ {c}}$ pro všechny racionály, z čehož vyplývá, že absolutní hodnota je ekvivalentní s p-adický. ${ displaystyle blacksquare}$

Lze také ukázat silnější závěr, totiž to ${ displaystyle | cdot | _ {*}: mathbb {Q} do mathbb {R}}$ je netriviální absolutní hodnota právě tehdy, pokud existuje ${ displaystyle | cdot | _ {*} = | cdot | _ { infty} ^ {c}}$ pro některé ${ displaystyle c v (0,1]}$ nebo ${ displaystyle | cdot | _ {*} = | cdot | _ {p} ^ {c}}$ pro některé ${ displaystyle c in (0, infty), p in mathbf {P}}$.

Další Ostrowského věta

Další teorém uvádí, že jakékoli pole, kompletní s ohledem na Archimédova absolutní hodnota, je (algebraicky a topologicky) izomorfní buď s reálná čísla nebo komplexní čísla. Toto je někdy také označováno jako Ostrowského věta.^[2]

Viz také

• Ocenění (algebra)

Reference

• Cassels, J. W. S. (1986). Místní pole. Studentské texty London Mathematical Society. 3. Cambridge University Press. ISBN  0-521-31525-5. Zbl  0595.12006.
• Janusz, Gerald J. (1996). Algebraická pole čísel (2. vyd.). Americká matematická společnost. ISBN  0-8218-0429-4.
• Jacobson, Nathan (1989). Základní algebra II (2. vyd.). W H Freeman. ISBN  0-7167-1933-9.
• Ostrowski, Alexander (1916). „Über einige Lösungen der Funktionalgleichung φ (x) · φ (y) = φ (xy)“. Acta Mathematica (2. vyd.). 41 (1): 271–284. doi:10.1007 / BF02422947. ISSN  0001-5962.