Gerhard Huisken - Gerhard Huisken

Gerhard Huisken
Huisken, Gerhard.jpg
Gerhard Huisken v roce 2017
narozený (1958-05-20) 20. května 1958 (věk 62)
Hamburg, Německo
NárodnostNěmec
Alma materHeidelberg University
Vědecká kariéra
PoleMatematika
InstituceUniversity of Tübingen
Doktorský poradceClaus Gerhardt
DoktorandiBen Andrews
Simon Brendle

Gerhard Huisken (narozený 20 května 1958) je Němec matematik jehož výzkum se týká diferenciální geometrie a parciální diferenciální rovnice. On je známý pro foundational příspěvky k teorii střední tok zakřivení, počítaje v to Huiskenův monotónní vzorec, který je pojmenován po něm. S Tomem Ilmanenem prokázal verzi Riemannian Penrose nerovnost, což je zvláštní případ obecnějšího Penrosova domněnky v obecná relativita.

Život

Po dokončení střední školy v roce 1977 začal Huisken studovat v matematika na Heidelberg University. V roce 1982, jeden rok po ukončení studia, dokončil doktorát na univerzitě v Heidelbergu pod vedením Clause Gerhardta. Tématem jeho disertační práce byly nelineární parciální diferenciální rovnice (Reguläre Kapillarflächen v negativistické Gravitationsfeldern).

V letech 1983 až 1984 působil Huisken jako výzkumný pracovník v Centru pro matematickou analýzu při Australská národní univerzita (ANU) v Canbeře. Tam se otočil diferenciální geometrie, zejména problémy střední toky zakřivení a aplikace v obecná relativita. V roce 1985 se vrátil na univerzitu v Heidelbergu habilitace v roce 1986. Po nějaké době jako hostující profesor na University of California, San Diego, se vrátil do ANU v letech 1986 až 1992, nejprve jako lektor, poté jako čtenář. V roce 1991 byl hostujícím profesorem na Stanfordská Univerzita. V letech 1992 až 2002 byl Huisken řádným profesorem na University of Tübingen, působil jako děkan matematické fakulty v letech 1996 až 1998. V letech 1999 až 2000 působil jako hostující profesor na Univerzita Princeton.

V roce 2002 se Huisken stal ředitelem Max Planck Institute for Gravitational Physics (Institut Alberta Einsteina) v Postupim a zároveň čestný profesor na Svobodná univerzita v Berlíně. V dubnu 2013 nastoupil na pozici ředitele v Mathematical Research Institute of Oberwolfach, spolu s profesorem na Tübingen University. Zůstává externím vědeckým členem Institutu Maxe Plancka pro gravitační fyziku.

Mezi Huiskenovy doktorandy patří Ben Andrews a Simon Brendle, mezi více než dvaceti pěti dalšími.

Práce

Huiskenova práce se zabývá parciální diferenciální rovnice, diferenciální geometrie a jejich aplikace v fyzika. Četné jevy v matematická fyzika a geometrie souvisí s povrchy a dílčí potrubí. Dominantním tématem Huiskenovy práce bylo studium deformace takových povrchů v situacích, kdy jsou pravidla deformace určována geometrií těchto povrchů samotných. Tyto procesy jsou řízeny parciálními diferenciálními rovnicemi.

Huiskenovy příspěvky k střední tok zakřivení jsou obzvláště zásadní. Prostřednictvím jeho práce, střední zakřivení tok hyperplochy v různých konvexní nastavení je do značné míry pochopeno. Jeho objev Huiskenův monotónní vzorec, platný pro obecné střední toky zakřivení, je obzvláště důležitým nástrojem.

V matematické studii o obecná relativita, Huisken a Tom Ilmanen (ETH Curych ) byli schopni prokázat významný zvláštní případ Riemannian Penrose nerovnost. Jejich způsob dokazování rovněž rozhodujícím způsobem přispěl k průtok inverzní střední křivosti. Hubert Bray později prokázali obecnější verzi svého výsledku alternativními metodami. Obecná verze domněnky, o které jde černé díry nebo zdánlivé obzory v Lorentzian geometrie, je stále otevřený problém (od roku 2020).

Střední tok zakřivení

Huisken je široce známý pro svou základní práci na střední tok zakřivení z hyperplochy. V roce 1984 se adaptoval Richard Hamilton práce na Ricciho tok k nastavení středního toku zakřivení, což dokazuje, že normalizace toku, která zachovává povrchovou plochu, deformuje jakýkoli hladký uzavřený konvexní nadpovrch Euklidovský prostor do kulaté koule.[1][H84] Hlavní rozdíl mezi jeho prací a Hamiltonovou je v tom, že na rozdíl od Hamiltonovy práce není příslušná rovnice v důkazu „štípajícího odhadu“ přístupná maximální princip. Místo toho Huisken využil iterativních integrálních metod podle dřívější práce analytiků Ennio De Giorgi a Guido Stampacchia. V roce 1987 Huisken přizpůsobil své metody, aby zvážil alternativní tok „středního zakřivení“ pro uzavřené hyperplochy v euklidovském prostoru, ve kterém je objem uzavřený povrchem udržován konstantní; výsledek je přímo analogický.[H87] Podobně jako Hamiltonův výsledek lze Huiskenovy výsledky považovat za důkaz, že jakýkoli hladký uzavřený konvexní hyperplocha euklidovského prostoru je difeomorfní na kouli a je hranicí oblasti, která je difeomorfní vůči kouli. Oba tyto výsledky však lze prokázat elementárnějšími prostředky pomocí Gaussova mapa.

V roce 1986 Huisken rozšířil výpočty ve svém důkazu, aby zvážil hyperplochy obecně Riemannovy rozdělovače.[H86] Jeho výsledek říká, že pokud je hyperplocha dostatečně konvexní vzhledem k geometrii Riemannova potrubí, pak jej střední tok zakřivení smrští do bodu a že normalizace povrchu v normální geodetické souřadnice způsobí hladkou deformaci koule v euklidovském prostoru (vyjádřenou souřadnicemi). To ukazuje, že takové hyperplochy jsou difeomorfní vůči kouli a že jsou hranicí oblasti v Riemannově varietě, která je difeomorfní vůči kouli. V této obecnosti neexistuje jednoduchý důkaz pomocí Gaussovy mapy.

Následující práce Yoshikazu Giga a Robert Kohn který rozsáhle využíval Dirichletova energie vážený exponenciály, Huisken dokázal v roce 1990 integrální identitu, známou jako Huiskenův monotónní vzorec, což ukazuje, že pod středním tokem zakřivení je integrál „dozadu“ euklidovský tepelné jádro nad vyvíjejícím se nadpovrchem se vždy nezvyšuje.[2][3][H90] Později rozšířil svůj vzorec, aby umožnil obecnou codimension a obecná pozitivní řešení „zpět“ rovnice tepla; monotónnost v této obecnosti zásadně využívá Richard Hamilton maticový odhad Li-Yau.[H93][4] Rozšíření riemannovského nastavení dal také Hamilton.[5] Huisken a Hamiltonovy nápady byly později adaptovány Grigori Perelman k nastavení "zpětné" rovnice tepla pro objemové formuláře podél Ricciho tok.[6]

Huisken a Klaus Ecker opakovaně využili výsledku monotónnosti k prokázání, že pro určitou třídu nekompaktních grafických hyperplošin v euklidovském prostoru existuje střední tok zakřivení pro veškerý pozitivní čas a deformuje jakýkoli povrch ve třídě na samo-rozšiřující se řešení středního toku zakřivení.[EH89] Takové řešení se pohybuje pouze neustálým přeškálováním jednoho hyperplocha. Využití maximální princip techniky, byli také schopni získat čistě lokální derivační odhady, zhruba paralelní s těmi, které dříve získaly Wan-Xiong Shi pro Ricciho tok.[7][EH91]

Vzhledem k singularitě konečného toku průměrného zakřivení v konečném čase existuje několik způsobů, jak provádět mikroskopické změny měřítka k analýze místní geometrie v oblastech poblíž bodů velkých zakřivení. Na základě svého vzorce monotónnosti Huisken ukázal, že mnoho z těchto regionů, konkrétně regionů známých jako singularity typu I., jsou modelovány přesným způsobem pomocí samo zmenšující se řešení středního toku zakřivení.[H90]

Nyní existuje rozumné úplné pochopení procesu změny měřítka při nastavování průměrných toků zakřivení, které zahrnuje pouze hyperplochy, jejichž střední zakřivení je přísně pozitivní. Po provizorní práci Huisken, Tobias studený a William Minicozzi ukázaly, že (za určitých technických podmínek) jsou jedinými samo-zmenšujícími se řešeními středního zakřivení, která mají nezáporné střední zakřivení, kulaté válce, čímž poskytují úplný lokální obraz singularit typu I. v nastavení „střední-konvexní“.[H90][H93][8] V případě jiných singulárních oblastí, známých jako singularity typu IIRichard Hamilton vyvinul metody změny měřítka v nastavení Ricciho toku, které lze transponovat na střední tok zakřivení.[9] Změnou integrálních metod, které vyvinul v roce 1984, provedli Huisken a Carlo Sinestrari propracovaný induktivní argument o elementárním symetrické polynomy z druhá základní forma ukázat, že jakýkoli model singularity vyplývající z takových změn měřítka musí být průměrným tokem zakřivení, který se pohybuje translací jedné konvexní hyperplochy v určitém směru.[HSS99a][HS99b] Tento přechod od střední-konvexity k plné konvexitě je srovnatelný s mnohem snazším Hamilton-Iveyovým odhadem pro Ricciho tok, který říká, že jakýkoli model singularity Ricciho toku na uzavřeném 3-potrubí musí mít nezáporné řezové zakřivení.

Obrácený střední tok křivosti

V 70. letech fyzikové Robert Geroch, Pong-Soo Jang a Robert Wald rozvinuté myšlenky spojující asymptotické chování průtok inverzní střední křivosti k platnosti Penrosova domněnky, která se týká energie asymptoticky plochého časoprostoru na velikost černé díry obsahuje.[10][11] To lze považovat za zostření nebo kvantifikaci věta o pozitivní energii, což poskytuje slabší tvrzení, že energie není záporná.

V 90. letech 20. století Yun Gang Chen, Yoshikazu Giga a Shun'ichi Goto a nezávisle Lawrence Evans a Joel Spruck, vyvinuli teorii slabá řešení pro střední tok zakřivení zvážením sady úrovní řešení určitého eliptická parciální diferenciální rovnice.[12][13] Tom Ilmanen učinil pokrok v porozumění teorii takových eliptických rovnic prostřednictvím aproximací eliptickými rovnicemi standardnějšího charakteru.[14] Huisken a Ilmanen dokázali tyto metody přizpůsobit toku inverzního středního zakřivení, čímž matematicky zpřesnili metodiku Gerocha, Janga a Walda. Jejich výsledek se zabývá nekompaktními trojrozměrnými Riemannovými varietami s hranicí nezáporných skalární zakřivení jehož hranice je minimální, vztahující geometrii blízko nekonečna k povrchu největší hraniční složky.[HI01] Hubert Bray, využitím věta o kladné hmotnosti místo inverzního středního zakřivení byl schopen zlepšit Huiskenovu a Ilmanenovu nerovnost tak, aby zahrnovala celkovou povrchovou plochu hranice.[15]

Vyznamenání a ocenění

Huisken je členem Heidelberg Academy for Sciences and Humanities, Akademie věd a humanitních věd v Berlíně-Braniborsku, Akademie věd Leopoldina a Americká matematická společnost.[16]

Hlavní publikace

H84.Gerhard Huisken. Tok středním zakřivením konvexních povrchů do koulí. J. Diferenciální Geom. 20 (1984), č. 2. 1, 237–266. doi: 10,4310 / jdg / 1214438998
H86.Gerhard Huisken. Kontrakční konvexní hyperplochy v Riemannově varietě podle jejich průměrného zakřivení. Vymyslet. Matematika. 84 (1986), č. 1. 3, 463–480. doi: 10,1007 / BF01388742
H87.Gerhard Huisken. Objem zachovávající střední tok zakřivení. J. Reine Angew. Matematika. 382 (1987), 35–48. doi: 10,1515 / crll.1987.382,35
EH89.Klaus Ecker a Gerhard Huisken. Střední vývoj zakřivení celých grafů. Ann. matematiky. (2) 130 (1989), č. 2. 3, 453–471. doi: 10,2307 / 1971452
H90.Gerhard Huisken. Asymptotické chování pro singularity středního toku zakřivení. J. Diferenciální Geom. 31 (1990), č. 3 1, 285–299. doi: 10,4310 / jdg / 1214444099
EH91.Klaus Ecker a Gerhard Huisken. Odhady interiéru pro hyperplochy pohybující se středním zakřivením. Vymyslet. Matematika. 105 (1991), č. 5. 3, 547–569. doi: 10,1007 / BF01232278
H93.Gerhard Huisken. Místní a globální chování hyperplošin pohybujících se středním zakřivením. Proc. Symposy. Pure Math., 54, část 1 (1993), str. 175–191. Diferenciální geometrie: Parciální diferenciální rovnice na rozdělovačích (Sborník letního výzkumného ústavu AMS pro diferenciální geometrii, který se konal na Kalifornské univerzitě v Los Angeles, Kalifornie, 8. – 28. Července 1990). Amer. Matematika. Soc., Providence, RI. Upravil Robert Greene a S.T. Yau. doi: 10,1090 / pspum / 054,1
HS99a.Gerhard Huisken a Carlo Sinestrari. Střední singularity toku zakřivení pro střední konvexní povrchy. Calc. Var. Parciální diferenciální rovnice 8 (1999), č. 1. 1, 1–14. doi: 10,1007 / s005260050113
HS99b.Gerhard Huisken a Carlo Sinestrari. Odhady konvexity pro střední tok zakřivení a singularity středních konvexních povrchů. Acta Math. 183 (1999), č. 1, 45–70. doi: 10,1007 / BF02392946
HI01.Gerhard Huisken a Tom Ilmanen. Inverzní střední tok zakřivení a Riemannova Penrosova nerovnost. J. Diferenciální Geom. 59 (2001), č. 5 3, 353–437. doi: 10,4310 / jdg / 1090349447

Reference

  1. ^ Richard S. Hamilton. Tři potrubí s pozitivním Ricciho zakřivením. J. Diferenciální geometrie 17 (1982), č. 1. 2, 255–306.
  2. ^ Yoshikazu Giga a Robert V. Kohn. Asymptoticky podobný výbuch semilineárních tepelných rovnic. Comm. Pure Appl. Matematika. 38 (1985), č. 3. 3, 297–319.
  3. ^ Yoshikazu Giga a Robert V. Kohn. Charakterizace zvětšení pomocí proměnných podobnosti. Indiana Univ. Matematika. J. 36 (1987), č. 3. 1, 1–40.
  4. ^ Richard S. Hamilton. Maticový Harnackův odhad pro rovnici tepla. Comm. Anální. Geom. 1 (1993), č. 1 1, 113–126.
  5. ^ Richard S. Hamilton. Monotonické vzorce pro parabolické toky na potrubích. Comm. Anální. Geom. 1 (1993), č. 1 1, 127–137.
  6. ^ Grisha Perelman. Entropický vzorec pro tok Ricci a jeho geometrické aplikace. arXiv:matematika / 0211159
  7. ^ Wan-Xiong Shi. Deformace metriky na kompletních Riemannovských potrubích. J. Diferenciální Geom. 30 (1989), č. 1. 1, 223–301.
  8. ^ Tobias H. Colding a William P. Minicozzi, II. Obecný střední tok zakřivení I: generické singularity. Ann. matematiky. (2) 175 (2012), č. 2, 755–833.
  9. ^ Richard S. Hamilton. Tvorba singularit v toku Ricci. Průzkumy v diferenciální geometrii, sv. II (Cambridge, MA, 1993), 7–136. Int. Press, Cambridge, MA, 1995.
  10. ^ Robert Geroch. Extrakce energie. Ann. New York Acad. Sci. 224 (1973), 108–117.
  11. ^ Pong Soo Jang a Robert M. Wald. Domněnka pozitivní energie a hypotéza kosmického cenzoru. J. Mathematical Phys. 18 (1977), č. 1 1, 41–44.
  12. ^ Yun Gang Chen, Yoshikazu Giga a Shun'ichi Goto. Jedinečnost a existence řešení viskozity obecných rovnic střední rychlosti zakřivení. J. Diferenciální Geom. 33 (1991), č. 3. 3, 749–786.
  13. ^ L.C. Evans a J. Spruck. Pohyb hladin pomocí střední křivosti. I. J. Diferenciální Geom. 33 (1991), č. 3. 3, 635–681.
  14. ^ Tom Ilmanen. Eliptická regularizace a částečná pravidelnost pohybu středním zakřivením. Mem. Amer. Matematika. Soc. 108 (1994), č. 1. 520, x + 90 stran
  15. ^ Hubert L. Bray. Důkaz Riemannovy Penrosovy nerovnosti pomocí věty o kladné hmotnosti. J. Diferenciální Geom. 59 (2001), č. 5 2, 177–267.
  16. ^ Seznam členů Americké matematické společnosti, vyvoláno 07.07.2013.
  17. ^ Huisken, Gerhard (1998). "Vývoj hyperplošin podle jejich zakřivení v Riemannovských varietách". Doc. Matematika. (Bielefeld) Extra sv. ICM Berlin, 1998, roč. II. str. 349–360.

externí odkazy

Média související s Gerhard Huisken (matematik) na Wikimedia Commons