Druhý okamžik oblasti - Second moment of area
The 2nd moment oblastinebo druhý oblastní moment a také známý jako plošný moment setrvačnosti, je geometrická vlastnost plocha což odráží, jak jsou jeho body rozloženy s ohledem na libovolnou osu. Druhý okamžik oblasti je obvykle označen buď (pro osu, která leží v rovině) nebo s a (pro osu kolmou na rovinu). V obou případech se počítá pomocí a vícenásobný integrál přes dotyčný objekt. Jeho rozměr je L (délka) ke čtvrté mocnině. Své jednotka dimenze při práci s Mezinárodní systém jednotek, je metrů do čtvrté síly, m4, nebo palce na čtvrtou mocninu, v4, když pracujete v Císařský systém jednotek.
v pozemní stavitelství, druhý okamžik oblasti a paprsek je důležitá vlastnost použitá při výpočtu paprsku výchylka a výpočet stres způsobené a okamžik aplikován na paprsek. Aby se maximalizoval druhý okamžik plochy, velká část plocha průřezu z I-paprsek se nachází v maximální možné vzdálenosti od těžiště průřezu I-paprsku. The rovinný druhý moment oblasti poskytuje pohled do paprsku odolnost proti ohybu kvůli použitému momentu, platnost nebo distribuovány zatížení kolmo k jeho neutrální osa, jako funkce jeho tvaru. Polární druhý moment oblasti poskytuje pohled na odpor paprsku vůči torzní průhyb, v důsledku aplikovaného momentu rovnoběžného s jeho průřezem, jako funkce jeho tvaru.
- Poznámka: Termín používají různé disciplíny moment setrvačnosti (MOI) odkazovat různé okamžiky. Může odkazovat na některou z následujících možností: rovinný druhé momenty oblasti (často , vzhledem k nějaké referenční rovině) nebo polární druhý moment oblasti (, kde r je vzdálenost k nějaké referenční ose). V každém případě je integrál nad všemi nekonečně malými prvky plocha, dA, v nějakém dvojrozměrném průřezu. v fyzika, moment setrvačnosti je přísně druhým okamžikem Hmotnost s ohledem na vzdálenost od osy: , kde r je vzdálenost k nějaké potenciální ose otáčení a integrál je nad všemi nekonečně malými prvky Hmotnost, dm, v trojrozměrném prostoru obsazeném objektemQ. MOI je v tomto smyslu analogií hmoty pro rotační problémy. Ve strojírenství (zejména strojním a stavebním), moment setrvačnosti běžně označuje druhý okamžik oblasti.[1]
Definice
Druhý okamžik plochy pro libovolný tvarR vzhledem k libovolné ose je definován jako
kde
- je diferenciální plocha libovolného tvaru a
- je vzdálenost od osy na .[2]
Například když je požadovanou referenční osou osa x, druhý moment oblasti (často označováno jako ) lze vypočítat v Kartézské souřadnice tak jako
Druhý okamžik oblasti je rozhodující Eulerova-Bernoulliho teorie štíhlých paprsků.
Moment produktu oblasti
Obecněji, produktový moment oblasti je definován jako[3]
Věta o paralelní ose
Někdy je nutné vypočítat druhý moment plochy tvaru vzhledem k osa odlišná od osy těžiště osa tvaru. Často je však snazší odvodit druhý okamžik oblasti vzhledem k její těžišti, a pomocí věty o paralelní ose odvodíme druhý moment plochy vzhledem k osa. Stavy věty o paralelní ose
kde
Podobné prohlášení lze učinit o a osa a paralelní těžiště osa. Nebo obecně jakýkoli těžiště osa a rovnoběžka osa.
Věta o kolmé ose
Pro jednoduchost výpočtu je často žádoucí definovat polární moment oblasti (vzhledem k kolmé ose), pokud jde o dva momenty setrvačnosti plochy (oba s ohledem na osy v rovině). Nejjednodušší případ souvisí na a .
Tento vztah se opírá o Pythagorova věta který souvisí a na a na linearita integrace.
Složené tvary
U složitějších oblastí je často snazší oblast rozdělit do řady „jednodušších“ tvarů. Druhý moment plochy pro celý tvar je součtem druhého okamžiku ploch všech jejích částí kolem společné osy. To může zahrnovat tvary, které „chybí“ (tj. Díry, duté tvary atd.), V takovém případě se druhý okamžik oblasti „chybějících“ oblastí odečte, nikoli přidá. Jinými slovy, druhý moment plochy „chybějících“ částí je pro metodu složených tvarů považován za negativní.
Příklady
Vidět seznam druhých momentů oblasti pro jiné tvary.
Obdélník s těžištěm na počátku
Zvažte obdélník se základnou a výška jehož těžiště se nachází na počátku. představuje druhý moment plochy vzhledem k ose x; představuje druhý moment plochy vzhledem k ose y; představuje polární moment setrvačnosti vzhledem k ose z.
Za použití věta o kolmé ose dostaneme hodnotu .
Mezikruží se středem původu
Zvažte prstenec jehož střed je v počátku, vnější poloměr je , a vnitřní poloměr je . Kvůli symetrii prstence je těžiště leží také na původu. Můžeme určit polární moment setrvačnosti, , o osa metodou složených tvarů. Tento polární moment setrvačnosti je ekvivalentní k polárnímu momentu setrvačnosti kruhu s poloměrem minus polární moment setrvačnosti kruhu s poloměrem , oba se soustředily na počátek. Nejprve odvodíme polární moment setrvačnosti kruhu s poloměrem s ohledem na původ. V tomto případě je jednodušší přímo vypočítat jak už máme , který má jak a součástka. Místo získání druhého okamžiku oblasti od Kartézské souřadnice jak bylo provedeno v předchozí části, budeme počítat a přímo pomocí polární souřadnice.
Nyní, polární moment setrvačnosti kolem osa mezikruží je jednoduše, jak je uvedeno výše, rozdíl druhých momentů plochy kruhu s poloměrem a kruh s poloměrem .
Alternativně bychom mohli změnit limity na poprvé integrální, aby odrážela skutečnost, že je tu díra. To by se dělo takto.
Libovolný mnohoúhelník
Druhý okamžik oblasti o původu pro všechny jednoduchý mnohoúhelník na rovině XY lze obecně vypočítat sečtením příspěvků z každého segmentu mnohoúhelníku po rozdělení oblasti na sadu trojúhelníků. Tento vzorec souvisí s vzorec tkaničky a lze jej považovat za zvláštní případ Greenova věta.
Předpokládá se, že mnohoúhelník má vrcholy očíslované proti směru hodinových ručiček. Pokud jsou vrcholy mnohoúhelníku očíslovány ve směru hodinových ručiček, budou vrácené hodnoty záporné, ale absolutní hodnoty budou správné.
kde jsou souřadnice -tý polygonový vrchol, pro . Taky, se předpokládá, že se rovnají souřadnicím prvního vrcholu, tj. a .[8][9]
Viz také
- Seznam druhých momentů oblasti
- Seznam momentů setrvačnosti
- Moment setrvačnosti
- Věta o paralelní ose
- Věta o kolmé ose
- Poloměr otáčení
Reference
- ^ Pivo, Ferdinand P. (2013). Vektorové mechaniky pro inženýry (10. vydání). New York: McGraw-Hill. str. 471. ISBN 978-0-07-339813-6.
Termín druhý moment je vhodnější než termín moment setrvačnosti, protože logicky by tento druhý moment měl být používán pouze k označení integrálů hmoty (viz kapitola 9.11). V technické praxi se však moment setrvačnosti používá ve spojení s oblastmi i hmotami.
- ^ Pilkey, Walter D. (2002). Analýza a návrh pružných nosníků. John Wiley & Sons, Inc. str.15. ISBN 978-0-471-38152-5.
- ^ Pivo, Ferdinand P. (2013). „Kapitola 9.8: Produkt setrvačnosti“. Vektorové mechaniky pro inženýry (10. vydání). New York: McGraw-Hill. str. 495. ISBN 978-0-07-339813-6.
- ^ Hibbeler, R. C. (2004). Statika a mechanika materiálů (druhé vydání). Pearson Prentice Hall. ISBN 0-13-028127-1.
- ^ Pivo, Ferdinand P. (2013). „Kapitola 9.6: Věta o paralelní ose“. Vektorové mechaniky pro inženýry (10. vydání). New York: McGraw-Hill. str. 481. ISBN 978-0-07-339813-6.
- ^ Hally, David (1987). Výpočet momentů mnohoúhelníků (PDF) (Technická zpráva). Kanadská národní obrana. Technické memorandum 87/209.
- ^ Obregon, Joaquin (2012). Mechanická simmetrie. Autorský dům. ISBN 978-1-4772-3372-6.
- ^ Steger, Carsten (1996). „O výpočtu libovolných momentů polygonů“ (PDF).
- ^ Soerjadi, Ir. R. „O výpočtu okamžiků mnohoúhelníku s některými aplikacemi“.