Teorie sendvičů - Sandwich theory

Tento článek může vyžadovat vyčištění setkat se s Wikipedií standardy kvality. Specifický problém je: Chyba při vykreslování matematických skriptů Prosím pomozte vylepšit tento článek jestli můžeš. (Květen 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Kompozitní sendvičový konstrukční panel používaný pro testování v NASA

Teorie sendvičů^[1][2] popisuje chování a paprsek, talíř nebo skořápka který se skládá ze tří vrstev - dvou obličejových listů a jednoho jádra. Nejčastěji používanou sendvičovou teorií je lineární a je rozšířením první objednávky teorie paprsků. Lineární sendvičová teorie je důležitá pro návrh a analýzu sendvičové panely, které se používají ve stavebnictví, konstrukci vozidel, konstrukci letadel a chladicí techniku.

Některé výhody sendvičové konstrukce jsou:

• Sendvičové průřezy jsou kompozitní. Obvykle se skládají z nízké až střední ztuhlost jádro, které je spojeno se dvěma tuhými vnějšími lícními plechy. Kompozit má podstatně vyšší poměr smykové tuhosti k hmotnosti než ekvivalentní paprsek vyrobený pouze z materiálu jádra nebo materiálu lícní desky. Kompozit má také vysoký poměr pevnosti v tahu k hmotnosti.
• Vysoká tuhost lícní desky vede k vysoké tuhost v ohybu k hmotnosti pro kompozit.

Chování a paprsek se sendvičovým průřezem pod zatížením se liší od paprsku s konstantou elastický průřez. Pokud poloměr zakřivení během ohybu je velká ve srovnání s tloušťkou sendvičového nosníku a napětí v komponentních materiálech jsou malá, deformace sendvičového kompozitního nosníku lze rozdělit na dvě části

• - deformace způsobené ohybovými momenty nebo deformací v ohybu a -
• deformace v důsledku příčných sil, nazývané také smyková deformace.

Sendvičový paprsek, talíř, a skořápka teorie obvykle předpokládají, že stav referenčního napětí je nulový. Během vytvrzování však rozdíly teplot mezi čelními deskami přetrvávají kvůli tepelné separaci materiálem jádra. Tyto teplotní rozdíly, spojené s různými lineárními expanzemi čelních desek, mohou vést k ohybu sendvičového paprsku ve směru teplejšího čelního listu. Pokud je ohyb během výrobního procesu omezen, zbytková napětí se může vyvíjet v komponentech sendvičového kompozitu. The superpozice stavu referenčního napětí na řešeních poskytovaných sendvičovou teorií je možné, když je problém lineární. Pokud se však očekávají velké elastické deformace a rotace, musí být počáteční stav napětí začleněn přímo do sendvičové teorie.

Inženýrská teorie sendvičových paprsků

Ohýbání sendvičového nosníku bez další deformace v důsledku střihu jádra.

V inženýrské teorii sendvičových paprsků^[2] předpokládá se, že se axiální přetvoření mění lineárně v průřezu nosníku jako v Euler-Bernoulliho teorie, tj.,

${displaystyle varepsilon _ {xx} (x, z) = - z ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w} {mathrm {d} x ^ {2}}}}$

Proto je axiální napětí v sendvičovém paprsku dáno vztahem

${displaystyle sigma _ {xx} (x, z) = - z ~ E (z) ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w} {mathrm {d} x ^ {2}}}}$

kde ${displaystyle E (z)}$ je Youngův modul což je funkce umístění podél tloušťky paprsku. The ohybový moment v paprsku je pak dán vztahem

${displaystyle M_ {x} (x) = int int z ~ sigma _ {xx} ~ mathrm {d} z, mathrm {d} y = -left (int int z ^ {2} E (z) ~ mathrm {d } z, mathrm {d} yight) ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w} {mathrm {d} x ^ {2}}} =: - D ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2 } w} {mathrm {d} x ^ {2}}}}$

Množství ${displaystyle D}$ se nazývá tuhost v ohybu sendvičového paprsku. The smyková síla ${displaystyle Q_ {x}}$ je definován jako

${displaystyle Q_ {x} = {frac {mathrm {d} M_ {x}} {mathrm {d} x}} ~.}$

Pomocí těchto vztahů můžeme ukázat, že napětí v sendvičovém paprsku s jádrem tloušťky ${displaystyle 2h}$ a modul ${displaystyle E ^ {c}}$ a dvě tváře, každá o tloušťce ${displaystyle f}$ a modul ${displaystyle E ^ {f}}$, jsou dány

${displaystyle {egin {aligned} sigma _ {xx} ^ {mathrm {f}} & = {cfrac {zE ^ {mathrm {f}} M_ {x}} {D}} ~; ~~ & sigma _ {xx} ^ {mathrm {c}} & = {cfrac {zE ^ {mathrm {c}} M_ {x}} {D}} au _ {xz} ^ {mathrm {f}} & = {cfrac {Q_ {x } E ^ {mathrm {f}}} {2D}} vlevo [(h + f) ^ {2} -z ^ {2} ight] ~; ~~ & au _ {xz} ^ {mathrm {c}} & = {cfrac {Q_ {x}} {2D}} vlevo [E ^ {mathrm {c}} vlevo (h ^ {2} -z ^ {2} ight) + E ^ {mathrm {f}} f ( f + 2h) ight] konec {zarovnáno}}}$

Odvození inženýrských napětí sendvičového paprsku

Od té doby ${displaystyle {cfrac {d ^ {2} w} {dx ^ {2}}} = - {cfrac {M_ {x} (x)} {D}}}$ můžeme napsat axiální napětí jako ${displaystyle sigma _ {xx} (x, z) = {cfrac {z ~ E (z) ~ M_ {x} (x)} {D}}}$ Rovnice rovnováhy pro dvourozměrné těleso je dána vztahem ${displaystyle {frac {částečné sigma _ {xx}} {částečné x}} + {frac {částečné au _ {xz}} {částečné z}} = 0}$ kde ${displaystyle au _ {xz}}$ je smykové napětí. Proto, ${displaystyle au _ {xz} (x, z) = int {frac {částečné sigma _ {xx}} {částečné x}} ~ mathrm {d} z + C (x) = int {cfrac {z ~ E (z )} {D}} ~ {frac {mathrm {d} M_ {x}} {mathrm {d} x}} ~ mathrm {d} z + C (x)}$ kde ${displaystyle C (x)}$ je konstanta integrace. Proto, ${displaystyle au _ {xz} (x, z) = {cfrac {Q_ {x}} {D}} int z ~ E (z) ~ mathrm {d} z + C (x)}$ Předpokládejme, že na horní stranu sendvičového paprsku nejsou aplikovány žádné smykové trakce. Smykové napětí v horní ploše je dáno vztahem ${displaystyle au _ {xz} ^ {mathrm {face}} (x, z) = {cfrac {Q_ {x} E ^ {f}} {D}} int _ {z} ^ {h + f} z ~ mathrm {d} z + C (x) = {cfrac {Q_ {x} E ^ {f}} {2D}} vlevo [(h + f) ^ {2} -z ^ {2} ight] + C ( X)}$ Na ${displaystyle z = h + f}$, ${displaystyle au _ {xz} (x, h + f) = 0}$ to naznačuje ${displaystyle C (x) = 0}$. Pak smykové napětí v horní části jádra, ${displaystyle z = h}$, darováno ${displaystyle au _ {xz} (x, h) = {cfrac {Q_ {x} E ^ {f} f (f + 2h)} {2D}}}$ Podobně lze smykové napětí v jádře vypočítat jako ${displaystyle au _ {xz} ^ {mathrm {core}} (x, z) = {cfrac {Q_ {x} E ^ {c}} {D}} int _ {z} ^ {h} z ~ mathrm { d} z + C (x) = {cfrac {Q_ {x} E ^ {c}} {2D}} vlevo (h ^ {2} -z ^ {2} ight) + C (x)}$ Integrační konstanta ${displaystyle C (x)}$ je určena z kontinuity smykového napětí na rozhraní jádra a lícní desky. Proto, ${displaystyle C (x) = {cfrac {Q_ {x} E ^ {f} f (f + 2h)} {2D}}}$ a ${displaystyle au _ {xz} ^ {mathrm {core}} (x, z) = {cfrac {Q_ {x}} {2D}} vlevo [E ^ {c} vlevo (h ^ {2} -z ^ { 2} ight) + E ^ {f} f (f + 2h) ight]}$

U sendvičového nosníku se stejnými plochami a šířkou jednotky hodnota ${displaystyle D}$ je

${displaystyle {egin {aligned} D & = E ^ {f} int _ {w} int _ {- hf} ^ {- h} z ^ {2} ~ mathrm {d} z, mathrm {d} y + E ^ {c} int _ {w} int _ {- h} ^ {h} z ^ {2} ~ mathrm {d} z, mathrm {d} y + E ^ {f} int _ {w} int _ {h } ^ {h + f} z ^ {2} ~ mathrm {d} z, mathrm {d} y & = {frac {2} {3}} E ^ {f} f ^ {3} + {frac { 2} {3}} E ^ {c} h ^ {3} + 2E ^ {f} fh (f + h) ~ .end {zarovnáno}}}$

Li ${displaystyle E ^ {f} gg E ^ {c}}$, pak ${displaystyle D}$ lze aproximovat jako

${displaystyle D objx {frac {2} {3}} E ^ {f} f ^ {3} + 2E ^ {f} fh (f + h) = 2fE ^ {f} vlevo ({frac {1} {3} } f ^ {2} + h (f + h) ight)}$

a napětí v sendvičovém paprsku lze aproximovat jako

${displaystyle {egin {aligned} sigma _ {xx} ^ {mathrm {f}} a přibližně {cfrac {zM_ {x}} {{frac {2} {3}} f ^ {3} + 2fh (f + h) }} ~; ~~ & sigma _ {xx} ^ {mathrm {c}} a přibližně 0 au _ {xz} ^ {mathrm {f}} a přibližně {cfrac {Q_ {x}} {{frac {4} {3 }} f ^ {3} + 4fh (f + h)}} vlevo [(h + f) ^ {2} -z ^ {2} ight] ~; ~~ & au _ {xz} ^ {mathrm {c }} & přibližně {cfrac {Q_ {x} (f + 2h)} {{frac {2} {3}} f ^ {2} + h (f + h)}} konec {zarovnáno}}}$

Pokud navíc ${displaystyle fll 2h}$, pak

${displaystyle D cca 2E ^ {f} fh (f + h)}$

a přibližná napětí ve svazku jsou

${displaystyle {egin {aligned} sigma _ {xx} ^ {mathrm {f}} a přibližně {cfrac {zM_ {x}} {2fh (f + h)}} ~; ~~ & sigma _ {xx} ^ {mathrm { c}} & přibližně 0 au _ {xz} ^ {mathrm {f}} a přibližně {cfrac {Q_ {x}} {4fh (f + h)}} vlevo [(h + f) ^ {2} -z ^ {2} ight] ~; ~~ & au _ {xz} ^ {mathrm {c}} a přibližně {cfrac {Q_ {x} (f + 2h)} {4h (f + h)}} přibližně {cfrac {Q_ {x}} {2h}} konec {zarovnáno}}}$

Pokud předpokládáme, že tváře jsou dostatečně tenké, aby bylo možné předpokládat, že napětí bude po celé tloušťce konstantní, máme

${displaystyle {egin {aligned} sigma _ {xx} ^ {mathrm {f}} a přibližně pm {cfrac {M_ {x}} {2fh}} ~; ~~ & sigma _ {xx} ^ {mathrm {c}} a přibližně 0 au _ {xz} ^ {mathrm {f}} a přibližně 0 ~; ~~ & au _ {xz} ^ {mathrm {c}} a přibližně {cfrac {Q_ {x}} {2h}} konec {zarovnáno} }}$

Proto lze problém rozdělit na dvě části, přičemž jedna zahrnuje pouze střih jádra a druhá zahrnuje pouze napětí v ohybu v tabulích ploch.

Lineární sendvičová teorie

Ohýbání sendvičového paprsku s tenkými plochami

Ohýbání sendvičového nosníku po zabudování smyku jádra do deformace.

Hlavní předpoklady lineárních sendvičových teorií nosníků s tenkými plochami jsou:

• příčná normální tuhost jádra je nekonečná, tj. tloušťka jádra ve směru z se během ohýbání nemění
• normální tuhost v rovině jádra je ve srovnání s plochami ploch malá, tj. jádro se ve směru x neprodlužuje ani nestlačuje
• tváře se chovají podle Euler-Bernoulli předpoklady, tj. v tabulkách ploch není žádný smyk xz a tloušťka desek ploch ve směru z se nemění

Xz smykové napětí v jádru však nejsou zanedbávány.

Konstitutivní předpoklady

Konstitutivní vztahy pro dvourozměrný ortotropní lineární elastický materiály jsou

${displaystyle {egin {bmatrix} sigma _ {xx} sigma _ {zz} sigma _ {zx} konec {bmatrix}} = {egin {bmatrix} C_ {11} & C_ {13} & 0 C_ {13} & C_ {33} & 0 0 & 0 & C_ {55} end {bmatrix}} {egin {bmatrix} varepsilon _ {xx} varepsilon _ {zz} varepsilon _ {zx} end {bmatrix}}}$

Předpoklady sendvičové teorie vedou ke zjednodušeným vztahům

${displaystyle sigma _ {xx} ^ {mathrm {face}} = C_ {11} ^ {mathrm {face}} ~ varepsilon _ {xx} ^ {mathrm {face}} ~; ~~ sigma _ {zx} ^ { mathrm {core}} = C_ {55} ^ {mathrm {core}} ~ varepsilon _ {zx} ^ {mathrm {core}} ~; ~~ sigma _ {zz} ^ {mathrm {face}} = sigma _ { xz} ^ {mathrm {face}} = 0 ~; ~~ sigma _ {zz} ^ {mathrm {core}} = sigma _ {xx} ^ {mathrm {core}} = 0}$

a

${displaystyle varepsilon _ {zz} ^ {mathrm {face}} = varepsilon _ {xz} ^ {mathrm {face}} = 0 ~; ~~ varepsilon _ {zz} ^ {mathrm {core}} = varepsilon _ {xx } ^ {mathrm {core}} = 0}$

Rovnovážné rovnice ve dvou dimenzích jsou

${displaystyle {cfrac {částečná sigma _ {xx}} {částečná x}} + {cfrac {částečná sigma _ {zx}} {částečná z}} = 0 ~; ~~ {cfrac {částečná sigma _ {zx}} { částečné x}} + {cfrac {částečné sigma _ {zz}} {částečné z}} = 0}$

Předpoklady pro sendvičový paprsek a rovnovážná rovnice to naznačují

${displaystyle sigma _ {xx} ^ {mathrm {face}} ekviv sigma _ {xx} ^ {mathrm {face}} (z) ~; ~~ sigma _ {zx} ^ {mathrm {core}} = mathrm {konstanta }}$

Pro homogenní lícní desky a jádro tedy mají kmeny také formu

${displaystyle varepsilon _ {xx} ^ {mathrm {face}} ekviv varepsilon _ {xx} ^ {mathrm {face}} (z) ~; ~~ varepsilon _ {zx} ^ {mathrm {core}} = mathrm {konstanta }}$

Kinematika

Ohýbání sendvičového nosníku. Celkový průhyb je součtem ohybové části w_b a smyková část w_s

Během ohybu sendvičového paprsku namažte napětí.

Nechte sendvičový paprsek vystavit ohybovému momentu ${displaystyle M}$ a smykovou sílu ${displaystyle Q}$. Nechť je celková deformace paprsku v důsledku těchto zatížení ${displaystyle w}$. Sousední obrázek ukazuje, že u malých posunů lze celkovou výchylku střední plochy paprsku vyjádřit jako součet dvou výchylek, čistého průhybu ohybem ${displaystyle w_ {b}}$ a čistý průhyb ve smyku ${displaystyle w_ {s}}$, tj.,

${displaystyle w (x) = w_ {b} (x) + w_ {s} (x)}$

Z geometrie deformace pozorujeme, že technické smykové napětí (${displaystyle gamma}$) v jádru souvisí efektivní smykové napětí v kompozitu se vztahem

${displaystyle gamma _ {zx} ^ {mathrm {core}} = {frac {2h + f} {2h}} ~ gamma _ {zx} ^ {mathrm {beam}}}$

Všimněte si, že smykové napětí v jádře je větší než efektivní smykové napětí v kompozitu a že malé deformace (${displaystyle an gamma = gamma}$) se předpokládají při odvozování výše uvedeného vztahu. Efektivní smykové napětí ve svazku souvisí s posuvem ve smyku vztahem

${displaystyle gamma _ {zx} ^ {mathrm {beam}} = {cfrac {mathrm {d} w_ {s}} {mathrm {d} x}}}$

Předpokládá se, že tváře se deformují v souladu s předpoklady Euler-Bernoulliho teorie paprsků. Celková deformace ploch se považuje za superpozici deformací způsobených ohybem a střihem jádra. The ${displaystyle x}$- posunutí směrů ploch tváří v důsledku ohybu je dáno vztahem

${displaystyle u_ {b} ^ {mathrm {face}} (x, z) = - z ~ {cfrac {mathrm {d} w_ {b}} {mathrm {d} x}}}$

Posunutí vrchního lícního listu v důsledku smyku v jádru je

${displaystyle u_ {s} ^ {mathrm {topface}} (x, z) = - vlevo (zh- {frac {f} {2}} vpravo) ~ {cfrac {mathrm {d} w_ {s}} {mathrm {d} x}}}$

a spodní spodní strana je

${displaystyle u_ {s} ^ {mathrm {botface}} (x, z) = - vlevo (z + h + {frac {f} {2}} vpravo) ~ {cfrac {mathrm {d} w_ {s}} { mathrm {d} x}}}$

Normální napětí v obou plochách jsou dána vztahem

${displaystyle varepsilon _ {xx} = {cfrac {částečné u_ {b}} {částečné x}} + {cfrac {částečné u_ {s}} {částečné x}}}$

Proto,

${displaystyle varepsilon _ {xx} ^ {mathrm {topface}} = - z ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w_ {b}} {mathrm {d} x ^ {2}}} - vlevo (zh - {frac {f} {2}} ight) ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w_ {s}} {mathrm {d} x ^ {2}}} ~; ~~ varepsilon _ {xx} ^ {mathrm {botface}} = - z ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w_ {b}} {mathrm {d} x ^ {2}}} - vlevo (z + h + {frac {f} {2}} ight) ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w_ {s}} {mathrm {d} x ^ {2}}}}$

Vztahy napětí-posunutí

Smykové napětí v jádru je dáno vztahem

${displaystyle sigma _ {zx} ^ {mathrm {core}} = C_ {55} ^ {mathrm {core}} ~ varepsilon _ {zx} ^ {mathrm {core}} = {cfrac {C_ {55} ^ {mathrm {core}}} {2}} ~ gamma _ {zx} ^ {mathrm {core}} = {frac {2h + f} {4h}} ~ C_ {55} ^ {mathrm {core}} ~ gamma _ { zx} ^ {mathrm {paprsek}}}$

nebo,

${displaystyle sigma _ {zx} ^ {mathrm {core}} = {frac {2h + f} {4h}} ~ C_ {55} ^ {mathrm {core}} ~ {cfrac {mathrm {d} w_ {s} } {mathrm {d} x}}}$

Normální napětí v tabulkách tváří jsou dána vztahem

${displaystyle sigma _ {xx} ^ {mathrm {face}} = C_ {11} ^ {mathrm {face}} ~ varepsilon _ {xx} ^ {mathrm {face}}}$

Proto,

${displaystyle {egin {aligned} sigma _ {xx} ^ {mathrm {topface}} & = - z ~ C_ {11} ^ {mathrm {face}} ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w_ {b }} {mathrm {d} x ^ {2}}} - vlevo (zh- {frac {f} {2}} vpravo) ~ C_ {11} ^ {mathrm {face}} ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w_ {s}} {mathrm {d} x ^ {2}}} & = & - z ~ C_ {11} ^ {mathrm {face}} ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w} {mathrm {d} x ^ {2}}} + vlevo ({frac {2h + f} {2}} vpravo) ~ C_ {11} ^ {mathrm {face}} ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w_ {s}} {mathrm {d} x ^ {2}}} sigma _ {xx} ^ {mathrm {botface}} & = - z ~ C_ {11} ^ {mathrm {face}} ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w_ {b}} {mathrm {d} x ^ {2}}} - vlevo (z + h + {frac {f} {2}} vpravo) ~ C_ {11 } ^ {mathrm {face}} ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w_ {s}} {mathrm {d} x ^ {2}}} & = & - z ~ C_ {11} ^ {mathrm {face}} ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w} {mathrm {d} x ^ {2}}} - vlevo ({frac {2h + f} {2}} vpravo) ~ C_ {11 } ^ {mathrm {face}} ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w_ {s}} {mathrm {d} x ^ {2}}} konec {zarovnáno}}}$

Výsledné síly a momenty

Výsledná normálová síla v ploše je definována jako

${displaystyle N_ {xx} ^ {mathrm {face}}: = int _ {- f / 2} ^ {f / 2} sigma _ {xx} ^ {mathrm {face}} ~ mathrm {d} z_ {f} }$

a výsledné momenty jsou definovány jako

${displaystyle M_ {xx} ^ {mathrm {face}}: = int _ {- f / 2} ^ {f / 2} z_ {f} ~ sigma _ {xx} ^ {mathrm {face}} ~ mathrm {d } z_ {f}}$

kde

${displaystyle z_ {f} ^ {mathrm {topface}}: = zh- {frac {f} {2}} ~; ~~ z_ {f} ^ {mathrm {botface}}: = z + h + {frac {f } {2}}}$

Použití výrazů pro normální napětí ve dvou tvářích dává

${displaystyle {egin {aligned} N_ {xx} ^ {mathrm {topface}} & = - fleft (h + {frac {f} {2}} ight) ~ C_ {11} ^ {mathrm {face}} ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w_ {b}} {mathrm {d} x ^ {2}}} = - N_ {xx} ^ {mathrm {botface}} M_ {xx} ^ {mathrm {topface} } & = - {cfrac {f ^ {3} ~ C_ {11} ^ {mathrm {face}}} {12}} vlevo ({cfrac {mathrm {d} ^ {2} w_ {b}} {mathrm { d} x ^ {2}}} + {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w_ {s}} {mathrm {d} x ^ {2}}} ight) = - {cfrac {f ^ {3} ~ C_ {11} ^ {mathrm {face}}} {12}} ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w} {mathrm {d} x ^ {2}}} = M_ {xx} ^ { mathrm {botface}} konec {zarovnáno}}}$

V jádru je výsledný okamžik

${displaystyle M_ {xx} ^ {mathrm {core}}: = int _ {- h} ^ {h} z ~ sigma _ {xx} ^ {mathrm {core}} ~ mathrm {d} z = 0}$

Celkový ohybový moment ve svazku je

${displaystyle M = N_ {xx} ^ {mathrm {topface}} ~ (2h + f) + 2 ~ M_ {xx} ^ {mathrm {topface}}}$

nebo,

${displaystyle M = - {cfrac {f (2h + f) ^ {2}} {2}} ~ C_ {11} ^ {mathrm {face}} ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w_ {b }} {mathrm {d} x ^ {2}}} - {cfrac {f ^ {3}} {6}} ~ C_ {11} ^ {mathrm {face}} ~ {cfrac {mathrm {d} ^ { 2} w} {mathrm {d} x ^ {2}}}}$

Smyková síla ${displaystyle Q_ {x}}$ v jádru je definován jako

${displaystyle Q_ {x} ^ {mathrm {core}} = kappa int _ {- h} ^ {h} sigma _ {xz} ~ dz = {frac {kappa (2h + f)} {2}} ~ C_ { 55} ^ {mathrm {core}} ~ {cfrac {mathrm {d} w_ {s}} {mathrm {d} x}}}$

kde ${displaystyle kappa}$ je součinitel korekce smyku. Smykovou sílu v tabulích ploch lze vypočítat z ohybových momentů pomocí relace

${displaystyle Q_ {x} ^ {mathrm {face}} = {cfrac {mathrm {d} M_ {xx} ^ {mathrm {face}}} {mathrm {d} x}}}$

nebo,

${displaystyle Q_ {x} ^ {mathrm {face}} = - {cfrac {f ^ {3} ~ C_ {11} ^ {mathrm {face}}} {12}} ~ {cfrac {mathrm {d} ^ { 3} w} {mathrm {d} x ^ {3}}}}$

U tenkých obličejových listů je smyková síla v obličejových listech obvykle ignorována.^[2]

Ohybová a smyková tuhost

Tuhost v ohybu sendvičového nosníku je dána vztahem

${displaystyle D ^ {mathrm {paprsek}} = - M / {frac {mathrm {d} ^ {2} w} {mathrm {d} x ^ {2}}}}$

Z výrazu pro celkový ohybový moment v paprsku máme

${displaystyle M = - {cfrac {f (2h + f) ^ {2}} {2}} ~ C_ {11} ^ {mathrm {face}} ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w_ {b }} {mathrm {d} x ^ {2}}} - {cfrac {f ^ {3}} {6}} ~ C_ {11} ^ {mathrm {face}} ~ {cfrac {mathrm {d} ^ { 2} w} {mathrm {d} x ^ {2}}}}$

U malých smykových deformací lze výše uvedený výraz zapsat jako

${displaystyle Mapprox - {cfrac {f [3 (2h + f) ^ {2} + f ^ {2}]} {6}} ~ C_ {11} ^ {mathrm {face}} ~ {cfrac {mathrm {d } ^ {2} w} {mathrm {d} x ^ {2}}}}$

Proto je tuhost v ohybu sendvičového nosníku (s ${displaystyle fll 2h}$) darováno

${displaystyle D ^ {mathrm {paprsek}} přibližně {cfrac {f [3 (2h + f) ^ {2} + f ^ {2}]} {6}} ~ C_ {11} ^ {mathrm {face}} přibližně {cfrac {f (2h + f) ^ {2}} {2}} ~ C_ {11} ^ {mathrm {face}}}$

a to jsou tváře

${displaystyle D ^ {mathrm {face}} = {cfrac {f ^ {3}} {12}} ~ C_ {11} ^ {mathrm {face}}}$

Smyková tuhost nosníku je dána vztahem

${displaystyle S ^ {mathrm {beam}} = Q_ {x} / {frac {mathrm {d} w_ {s}} {mathrm {d} x}}}$

Proto je smyková tuhost nosníku, která se rovná smykové tuhosti jádra, je

${displaystyle S ^ {mathrm {beam}} = S ^ {mathrm {core}} = {cfrac {kappa (2h + f)} {2}} ~ C_ {55} ^ {mathrm {core}}}$

Vztah mezi ohybovými a smykovými průhyby

Vztah mezi ohybovými a smykovými průhyby lze získat pomocí spojitosti trakce mezi jádrem a plochami. Pokud rovníme trakce přímo, dostaneme

${displaystyle n_ {x} ~ sigma _ {xx} ^ {mathrm {face}} = n_ {z} ~ sigma _ {zx} ^ {mathrm {core}}}$

Na obou rozhraních tváře-jádra ${displaystyle n_ {x} = 1}$ ale v horní části jádra ${displaystyle n_ {z} = 1}$ a ve spodní části jádra ${displaystyle n_ {z} = - 1}$. Kontinuita trakce na ${displaystyle z = pm h}$ vede k

${displaystyle 2fh ~ C_ {11} ^ {mathrm {face}} ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w_ {s}} {mathrm {d} x ^ {2}}} - (2h + f) ~ C_ {55} ^ {mathrm {core}} ~ {cfrac {mathrm {d} w_ {s}} {mathrm {d} x}} = 4h ^ {2} ~ C_ {11} ^ {mathrm {face} } ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w_ {b}} {mathrm {d} x ^ {2}}}}$

Výše uvedený vztah se používá jen zřídka kvůli přítomnosti druhých derivací smykové výchylky. Místo toho se předpokládá, že

${displaystyle n_ {z} ~ sigma _ {zx} ^ {mathrm {core}} = {cfrac {mathrm {d} N_ {xx} ^ {mathrm {face}}} {mathrm {d} x}}}$

což z toho vyplývá

${displaystyle {cfrac {mathrm {d} w_ {s}} {mathrm {d} x}} = - 2fh ~ vlevo ({cfrac {C_ {11} ^ {mathrm {face}}} {C_ {55} ^ { mathrm {core}}}} ight) ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {3} w_ {b}} {mathrm {d} x ^ {3}}}}$

Řídící rovnice

Použitím výše uvedených definic jsou řídící rovnovážné rovnice pro ohybový moment a smykovou sílu

${displaystyle {egin {aligned} M & = D ^ {mathrm {beam}} ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w_ {s}} {mathrm {d} x ^ {2}}} - vlevo (D ^ {mathrm {paprsek}} + 2D ^ {mathrm {face}} ight) ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w} {mathrm {d} x ^ {2}}} Q & = S ^ { mathrm {core}} ~ {cfrac {mathrm {d} w_ {s}} {mathrm {d} x}} - 2D ^ {mathrm {face}} ~ {cfrac {mathrm {d} ^ {3} w} { mathrm {d} x ^ {3}}} konec {zarovnáno}}}$

Můžeme alternativně vyjádřit výše uvedené jako dvě rovnice, které lze vyřešit ${displaystyle w}$ a ${displaystyle w_ {s}}$ tak jako

${displaystyle {egin {aligned} & left ({frac {2D ^ {mathrm {face}}} {S ^ {mathrm {core}}}} ight) {cfrac {mathrm {d} ^ {4} w} {mathrm { d} x ^ {4}}} - vlevo (1+ {frac {2D ^ {mathrm {face}}} {D ^ {mathrm {paprsek}}}} vpravo) {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w} {mathrm {d} x ^ {2}}} + vlevo ({cfrac {1} {S ^ {mathrm {core}}}} ight) ~ {cfrac {mathrm {d} Q} {mathrm {d} x}} = {frac {M} {D ^ {mathrm {paprsek}}}} a vlevo ({frac {D ^ {mathrm {paprsek}}} {S ^ {mathrm {jádro}}}} vpravo) {cfrac {mathrm {d} ^ {3} w_ {s}} {mathrm {d} x ^ {3}}} - vlevo (1+ {frac {D ^ {mathrm {paprsek}}} {2D ^ {mathrm {obličej }}}} ight) {cfrac {mathrm {d} w_ {s}} {mathrm {d} x}} - {cfrac {1} {S ^ {mathrm {core}}}} ~ {cfrac {mathrm {d } M} {mathrm {d} x}} = - vlevo (1+ {cfrac {D ^ {mathrm {paprsek}}} {2D ^ {mathrm {face}}}} vpravo) {frac {Q} {S ^ {mathrm {core}}}}, konec {zarovnáno}}}$

Pomocí aproximací

${displaystyle Qapprox {cfrac {mathrm {d} M} {mathrm {d} x}} ~; ~~ qbleshox {cfrac {mathrm {d} Q} {mathrm {d} x}}}$

kde ${displaystyle q}$ je intenzita aplikovaného zatížení na paprsek, máme

${displaystyle {egin {aligned} & left ({frac {2D ^ {mathrm {face}}} {S ^ {mathrm {core}}}} ight) {cfrac {mathrm {d} ^ {4} w} {mathrm { d} x ^ {4}}} - vlevo (1+ {frac {2D ^ {mathrm {face}}} {D ^ {mathrm {paprsek}}}} vpravo) {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w} {mathrm {d} x ^ {2}}} = {frac {M} {D ^ {mathrm {paprsek}}}} - {cfrac {q} {S ^ {mathrm {jádro}}}} & vlevo ({frac {D ^ {mathrm {beam}}} {S ^ {mathrm {core}}}} ight) {cfrac {mathrm {d} ^ {3} w_ {s}} {mathrm {d} x ^ { 3}}} - vlevo (1+ {frac {D ^ {mathrm {paprsek}}} {2D ^ {mathrm {face}}}} vpravo) {cfrac {mathrm {d} w_ {s}} {mathrm {d } x}} = - vlevo ({cfrac {D ^ {mathrm {paprsek}}} {2D ^ {mathrm {face}}}} vpravo) {frac {Q} {S ^ {mathrm {jádro}}}}, konec {zarovnáno}}}$

K řešení tohoto systému dvou spojených obyčejných diferenciálních rovnic vzhledem k aplikovanému zatížení a použitému ohybovému momentu a okrajovým podmínkám ohybu lze použít několik technik.

Teplotně závislá alternativní forma řídících rovnic

Za předpokladu, že každý dílčí průřez splňuje Bernoulliho hypotéza, rovnováhu sil a momentů na deformovaném prvku sendvičového paprsku lze použít k odvození ohybové rovnice pro sendvičový paprsek.

Obrázek 1 - Vyrovnání vychýleného sendvičového paprsku při teplotním zatížení a zatížení ve srovnání s nedeformovaným průřezem

Výsledné napětí a odpovídající deformace nosníku a průřezu lze vidět na obrázku 1. Následující vztahy lze odvodit pomocí teorie lineární pružnost:^[3][4]

${displaystyle {egin {aligned} M ^ {mathrm {core}} & = D ^ {mathrm {beam}} vlevo ({cfrac {mathrm {d} gamma _ {2}} {mathrm {d} x}} + vartheta ight) = D ^ {mathrm {paprsek}} vlevo ({cfrac {mathrm {d} gamma} {mathrm {d} x}} - {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w} {mathrm {d} x ^ {2}}} + vartheta ight) M ^ {mathrm {face}} & = - D ^ {mathrm {face}} {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w} {mathrm {d} x ^ {2}}} Q ^ {mathrm {core}} & = S ^ {mathrm {core}} gamma Q ^ {mathrm {face}} & = - D ^ {mathrm {face}} {cfrac {mathrm { d} ^ {3} w} {mathrm {d} x ^ {3}}} konec {zarovnáno}},}$

kde

${displaystyle w,}$	příčný posun paprsku
${displaystyle gamma,}$	Průměrné smykové napětí v sendviči	${displaystyle gamma = gamma _ {1} + gamma _ {2},}$
${displaystyle gamma _ {1},}$	Rotace obličejových listů	${displaystyle gamma _ {1} = {cfrac {mathrm {d} w} {mathrm {d} x}},}$
${displaystyle gamma _ {2},}$	Smykové napětí v jádru
${displaystyle M ^ {mathrm {core}},}$	Ohybový moment v jádru
${displaystyle D ^ {mathrm {paprsek}},}$	Ohybová tuhost sendvičového nosníku
${displaystyle M ^ {mathrm {face}},}$	Ohybový moment v tabulkách
${displaystyle D ^ {mathrm {face}},}$	Ohybová tuhost ploch
${displaystyle Q ^ {mathrm {core}},}$	Smyková síla v jádru
${displaystyle Q ^ {mathrm {face}},}$	Smyková síla v tabulkách tváře
${displaystyle S ^ {mathrm {core}},}$	Smyková tuhost jádra
${displaystyle vartheta,}$	Dodatečné ohýbání v důsledku poklesu teploty	${displaystyle vartheta = {frac {alpha (T_ {o} -T_ {u})} {e}},}$
${displaystyle alpha,}$	Teplotní koeficient expanze konverzí

Superpozice rovnic pro plochy a jádro vede k následujícím rovnicím pro celkovou smykovou sílu ${displaystyle Q}$ a celkový ohybový moment ${displaystyle M}$:

${displaystyle {egin {alignedat} {3} & S ^ {mathrm {core}} gamma -D ^ {mathrm {face}} {cfrac {mathrm {d} ^ {3} w} {mathrm {d} x ^ {3 }}} = Q & quad quad & (1) & D ^ {mathrm {paprsek}} vlevo ({cfrac {mathrm {d} gamma} {mathrm {d} x}} + vartheta ight) -left (D ^ {mathrm { paprsek}} + D ^ {mathrm {face}} ight) {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w} {mathrm {d} x ^ {2}}} = M & quad quad & (2), konec {alignedat }}}$

Můžeme alternativně vyjádřit výše uvedené jako dvě rovnice, které lze vyřešit ${displaystyle w}$ a ${displaystyle gamma}$, tj.,

${displaystyle {egin {aligned} & left ({frac {D ^ {mathrm {face}}} {S ^ {mathrm {core}}}} ight) {cfrac {mathrm {d} ^ {4} w} {mathrm { d} x ^ {4}}} - vlevo (1+ {frac {D ^ {mathrm {face}}} {D ^ {mathrm {paprsek}}}} vpravo) {cfrac {mathrm {d} ^ {2} w} {mathrm {d} x ^ {2}}} = {frac {M} {D ^ {mathrm {paprsek}}}} - {cfrac {q} {S ^ {mathrm {jádro}}}} - vartheta & left ({frac {D ^ {mathrm {beam}}} {S ^ {mathrm {core}}}} ight) {cfrac {mathrm {d} ^ {2} gamma} {mathrm {d} x ^ {2 }}} - vlevo (1+ {frac {D ^ {mathrm {paprsek}}} {D ^ {mathrm {obličej}}}} vpravo) gamma = -left ({cfrac {D ^ {mathrm {paprsek}}} {D ^ {mathrm {face}}}} ight) {frac {Q} {S ^ {mathrm {core}}}}, konec {zarovnáno}}}$