Sectrix of Maclaurin - Sectrix of Maclaurin

Sectrix of Maclaurin: příklad s q0 = PI / 2 a K = 3

v geometrie, a sectrix of Maclaurin je definována jako křivka smetená průsečíkem dvou přímek, z nichž každá se otáčí konstantní rychlostí kolem různých bodů zvaných póly. Ekvivalentně lze sectrix Maclaurin definovat jako křivku, jejíž rovnice v biangulární souřadnice je lineární. Název je odvozen od trisectrix z Maclaurinu (pojmenováno pro Colin Maclaurin ), který je významným členem rodiny, a jejich sectrix vlastnost, což znamená, že je lze použít k rozdělení úhlu na daný počet stejných částí. Existují speciální případy známé také jako arachnida nebo araneidans kvůli jejich pavouk -jako tvar, a Plošina křivky po Joseph Plateau kdo je studoval.

Rovnice v polárních souřadnicích

Dostaneme dvě čáry rotující kolem dvou pólů ${displaystyle P}$ a ${displaystyle P_ {1}}$ . Překladem a rotací můžeme předpokládat ${displaystyle P = (0,0)}$ a ${displaystyle P_ {1} = (a, 0)}$ . V čase ${displaystyle t}$ , linka se otáčí kolem ${displaystyle P}$ má úhel ${displaystyle heta = kappa t + alpha}$ a čára se točí kolem ${displaystyle P_ {1}}$ má úhel ${displaystyle heta _ {1} = kappa _ {1} t + alpha _ {1}}$ , kde ${displaystyle kappa}$ , ${displaystyle alpha}$ , ${displaystyle kappa _ {1}}$ a ${displaystyle alpha _ {1}}$ jsou konstanty. Odstranit ${displaystyle t}$ dostat ${displaystyle heta _ {1} = q heta + heta _ {0}}$ kde ${displaystyle q = kappa _ {1} / kappa}$ a ${displaystyle heta _ {0} = alfa _ {1} -qalpha}$ . Předpokládáme ${displaystyle q}$ je racionální, jinak křivka není algebraická a je hustá v rovině. Nechat ${displaystyle Q}$ být průsečíkem dvou přímek a nechat ${displaystyle psi}$ být úhel v ${displaystyle Q}$ , tak ${displaystyle psi = heta _ {1} - heta}$ . Li ${displaystyle r}$ je vzdálenost od ${displaystyle P}$ na ${displaystyle Q}$ pak podle sinusový zákon,

{displaystyle {r over sin heta _ {1}} = {a over sin psi}!}

tak

{displaystyle r = a {frac {sin heta _ {1}} {sin psi}} = a {frac {sin [q heta + heta _ {0}]} {sin [(q-1) heta + heta _ { 0}]}}!}

je rovnice v polárních souřadnicích.

Pouzdro ${displaystyle heta _ {0} = 0}$ a ${displaystyle q = n}$ kde ${displaystyle n}$ je celé číslo větší než 2, dává křivku arachnida nebo araneidan

{displaystyle r = a {frac {sin n heta} {sin (n-1) heta}}!}

Pouzdro ${displaystyle heta _ {0} = 0}$ a ${displaystyle q = -n}$ kde ${displaystyle n}$ je celé číslo větší než 1 dává alternativní formy křivek arachnida nebo araneidan

{displaystyle r = a {frac {sin n heta} {sin (n + 1) heta}}!}

Podobná derivace jako výše uvedená dává

{displaystyle r_ {1} = (- a) {frac {sin [(1 / q) heta _ {1} - heta _ {0} / q]} {sin [(1 / q-1) heta _ {1 } - heta _ {0} / q]}}!}

jako polární rovnice (v ${displaystyle r_ {1}}$ a ${displaystyle heta _ {1}}$ ) pokud je počátek posunut doprava o ${displaystyle a}$ . Všimněte si, že toto je dřívější rovnice se změnou parametrů; to lze očekávat ze skutečnosti, že dva póly jsou zaměnitelné v konstrukci křivky.

Rovnice ve složité rovině, obdélníkové souřadnice a ortogonální trajektorie

Nechat ${displaystyle q = m / n}$ kde ${displaystyle m}$ a ${displaystyle n}$ jsou celá čísla a zlomek je v nejnižších hodnotách. V zápisu z předchozí části máme ${displaystyle heta _ {1} = q heta + heta _ {0}}$ nebo ${displaystyle n heta _ {1} = m heta + n heta _ {0}}$ .Li ${displaystyle z = x + iy}$ pak ${displaystyle heta = arg (z), heta _ {1} = arg (z-a)}$ , takže rovnice se stane ${displaystyle n arg (z-a) = m arg (z) + n heta _ {0}}$ nebo ${displaystyle m arg (z) -n arg (z-a) = arg (z ^ {m} (z-a) ^ {- n}) = const}$ . To lze také napsat

{displaystyle {frac {operatorname {Re} (z ^ {m} (za) ^ {- n})} {operatorname {Im} (z ^ {m} (za) ^ {- n})}} = konst. }

ze kterého je relativně jednoduché odvodit kartézskou rovnici danou m a n. Funkce ${displaystyle w = z ^ {m} (z-a) ^ {- n}}$ je analytická, takže ortogonální trajektorie rodiny ${displaystyle arg (w) = konst.}$ jsou křivky ${displaystyle | w | = const}$ nebo ${displaystyle {frac {| z | ^ {m}} {| z-a | ^ {n}}} = konst.}$

Parametrické rovnice

Nechat ${displaystyle q = m / n}$ kde ${displaystyle m}$ a ${displaystyle n}$ jsou celá čísla a nechte ${displaystyle heta = np}$ kde ${displaystyle p}$ je parametr. Poté převeďte polární rovnici výše na parametrické rovnice vyrábí

{displaystyle x = a {frac {sin [mp + heta _ {0}] cos np} {sin [(mn) p + heta _ {0}]}}, y = a {frac {sin [mp + heta _ {0} ] sin np} {sin [(mn) p + heta _ {0}]}}!}

.

Uplatnění pravidla přidání úhlu pro sinus produkuje

{displaystyle x = a {frac {sin [mp + heta _ {0}] cos np} {sin [(mn) p + heta _ {0}]}} = a + a {frac {cos [mp + heta _ {0} ] sin np} {sin [(mn) p + heta _ {0}]}} = {a přes 2} + {a přes 2} {frac {sin [(m + n) p + heta _ {0}]} { hřích [(mn) p + heta _ {0}]}}!}

.

Pokud je tedy počátek posunut doprava o a / 2, pak jsou parametrické rovnice

{displaystyle x = {a více než 2} cdot {frac {sin [(m + n) p + heta _ {0}]} {sin [(mn) p + heta _ {0}]}}, y = a {frac { sin [mp + heta _ {0}] sin np} {sin [(mn) p + heta _ {0}]}}!}

.

Toto jsou rovnice pro křivky plošiny, když ${displaystyle heta _ {0} = 0}$ nebo

{displaystyle x = {a přes 2} {frac {sin (m + n) p} {sin (m-n) p}}, y = a {frac {sin mpsin np} {sin (m-n) p}}!}

.

Inverzní trojčata

The inverzní vzhledem ke kružnici s poloměrem a a středem v počátku

{displaystyle r = a {frac {sin [q heta + heta _ {0}]} {sin [(q-1) heta + heta _ {0}]}}}

je

{displaystyle r = a {frac {sin [(q-1) heta + heta _ {0}]} {sin [q heta + heta _ {0}]}} = a {frac {sin [(1-q) heta - heta _ {0}]} {sin [(((1-q) -1) heta - heta _ {0}]}}}

.

Toto je další křivka v rodině. Inverze vzhledem k druhému pólu vytváří ještě další křivku ve stejné rodině a obě inverze jsou zase inverzemi navzájem. Každá křivka v rodině je proto členem trojice, z nichž každá patří do rodiny a je inverzní k dalším dvěma. Hodnoty q v této rodině jsou

{displaystyle q, {frac {1} {q}}, 1-q, {frac {1} {1-q}}, {frac {q-1} {q}}, {frac {q} {q- 1}}}

.

Vlastnosti Sectrix

Nechat ${displaystyle q = m / n}$ kde ${displaystyle m}$ a ${displaystyle n}$ jsou celá čísla v nejnižších termínech a předpokládají ${displaystyle heta _ {0}}$ je konstruovatelné s kompasem a pravítkem. (Hodnota ${displaystyle heta _ {0}}$ je v praxi obvykle 0, takže to obvykle není problém.) Let ${displaystyle varphi}$ být daný úhel a předpokládejme, že sectrix Maclaurinu byl nakreslen póly ${displaystyle P}$ a ${displaystyle P_ {1}}$ podle výše uvedené konstrukce. Vytvořte paprsek z ${displaystyle P_ {1}}$ pod úhlem ${displaystyle varphi + heta _ {0}}$ a nechte ${displaystyle Q}$ být průsečíkem paprsku a sectrix a nakreslit ${displaystyle PQ}$ . Li ${displaystyle heta}$ je úhel této přímky

{displaystyle varphi + heta _ {0} = heta _ {1} = q heta + heta _ {0}}

tak ${displaystyle heta = {frac {nvarphi} {m}}}$ Opakovaným odečtením ${displaystyle heta}$ a ${displaystyle varphi}$ od sebe navzájem jako v Euklidovský algoritmus, úhel ${displaystyle varphi / m}$ lze postavit. Křivka je tedy m-sectrix, což znamená, že pomocí křivky lze libovolný úhel rozdělit na celé číslo. Jedná se o zevšeobecnění pojmu a trisectrix a jejich příklady naleznete níže.

Nyní nakreslete paprsek s úhlem ${displaystyle varphi}$ z ${displaystyle P}$ a ${displaystyle Q '}$ být průsečíkem tohoto paprsku s křivkou. Úhel ${displaystyle P'Q '}$ je

{displaystyle heta _ {1} = q heta + heta _ {0} = qvarphi + heta _ {0}}

a odečítání ${displaystyle heta _ {0}}$ dává úhel

{displaystyle qvarphi = {frac {mvarphi} {n}}}

.

Opětovné použití euklidovského algoritmu dává úhel ${displaystyle varphi / n}$ což ukazuje, že křivka je také n-sectrix.

Nakonec nakreslete paprsek ${displaystyle P}$ s úhlem ${displaystyle pi / 2-varphi - heta _ {0}}$ a paprsek z ${displaystyle P '}$ s úhlem ${displaystyle pi / 2 + varphi + heta _ {0}}$ a nechte ${displaystyle C}$ být průsečíkem. Tento bod se nachází na kolmé půle ${displaystyle PP '}$ takže je kruh se středem ${displaystyle C}$ obsahující ${displaystyle P}$ a ${displaystyle P '}$ . ${displaystyle angle PCP '= 2 (varphi + heta _ {0})}$ takže jakýkoli bod na kružnici tvoří úhel ${displaystyle varphi + heta _ {0}}$ mezi ${displaystyle P}$ a ${displaystyle P '}$ . (Toto je ve skutečnosti jeden z Apollonian kruhy z P a P '.) Nechte ${displaystyle Q ''}$ je průsečík bodů této kružnice a křivky. Pak ${displaystyle varphi + heta _ {0} = úhel PQ''P '= psi = heta _ {1} - heta = (q-1) heta + heta _ {0}}$ tak

{displaystyle varphi = {frac {(m-n) heta} {n}}, heta = {frac {n heta} {m-n}}}

.

Třetí použití euklidovského algoritmu dává úhel ${displaystyle varphi / (m-n)}$ , což ukazuje, že křivka je (m−n) -sectrix také.

Specifické případy

q = 0

To je křivka

{displaystyle r = a {frac {sin heta _ {0}} {sin (- heta + heta _ {0})}}}

což je linka skrz ${displaystyle (a, 0)}$

q = 1

Toto je kruh obsahující počátek a ${displaystyle (a, 0)}$ . Má polární rovnici

{displaystyle r = a {frac {sin (heta + heta _ {0})} {sin heta _ {0}}}}

.

Je to inverzní s ohledem na původ q = 0 případů. Ortogonální trajektorie rodiny kruhů je rodina ${displaystyle {frac {| z-a |} {| z |}} = konst.}$ Ty tvoří Apollonian kruhy s póly ${displaystyle (0,0)}$ a ${displaystyle (a, 0)}$ .

q = -1

Tyto křivky mají polární rovnici

{displaystyle r = a {frac {sin (- heta + heta _ {0})} {sin (-2 heta + heta _ {0})}}}

,

komplexní rovnice ${displaystyle arg (z (z-a)) = konst.}$ V obdélníkových souřadnicích se to stane ${displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} -x = c (2xy-y)}$ což je kuželovitý tvar. Z polární rovnice je zřejmé, že křivky mají asymptoty ${displaystyle heta = heta _ {0} / 2}$ a ${displaystyle heta _ {0} / 2 + pi / 2}$ které jsou v pravém úhlu. Takže kuželosečky jsou ve skutečnosti obdélníkové hyperboly. Střed hyperboly je vždy ${displaystyle (a / 2,0)}$ . Ortogonální trajektorie této rodiny jsou dány vztahem ${displaystyle | z || z-a | = c}$ což je rodina Cassini ovály s ložisky ${displaystyle (0,0)}$ a ${displaystyle (a, 0)}$ .

Trisectrix z maklaurinu

V případě, že ${displaystyle q = 3}$ (nebo ${displaystyle q = 1/3}$ přepínáním pólů) a ${displaystyle heta _ {0} = 0}$ , rovnice je

{displaystyle r = a {frac {sin 3 heta} {sin 2 heta}} = {a over 2} {frac {4cos ^ {2} heta -1} {cos heta}} = {a over 2} (4cos heta -sec heta)}

.

To je Trisectrix z maklaurinu což je specifický případ, jehož zevšeobecnění je sectrix Maclaurin. Konstrukce nahoře dává metodu, že tato křivka může být použita jako trisectrix.

Limaçon trisectrix

V případě, že ${displaystyle q = 3/2}$ (nebo ${displaystyle q = 2/3}$ přepínáním pólů) a ${displaystyle heta _ {0} = 0}$ , rovnice je

{displaystyle r = a {frac {sin {frac {3} {2}} heta} {sin {frac {1} {2}} heta}} = a (3cos ^ {2} {frac {1} {2} } heta -sin ^ {2} {frac {1} {2}} heta) = a (1 + 2cos heta)}

.

To je Limaçon trisectrix. Rovnice s počátkem je druhý pól

{displaystyle r = -a {frac {sin {frac {2} {3}} heta} {sin - {frac {1} {3}} heta}} = 2acos {frac {1} {3}} heta}

.

3 v čitateli q a výše uvedená konstrukce dává metodu, že křivka může být použita jako trisectrix.