Folium Descartes - Folium of Descartes
v geometrie, folium Descartova je algebraická křivka definovaný rovnicí
- .
Tvoří smyčku v prvním kvadrantu s a dvojitý bod u původu a asymptota
- .
Je to symetrické .
Název pochází z latinský slovo folium což znamená "list ".
Křivka byla uvedena spolu s portrétem Descarta na albánské známce v roce 1966.
Dějiny
Křivku jako první navrhl Descartes v roce 1638. Jeho nárok na slávu spočívá v incidentu ve vývoji počet. Descartes vyzval Fermat najít tečnu k křivce v libovolném bodě, protože Fermat nedávno objevil metodu pro hledání tečen. Fermat problém snadno vyřešil, něco, co Descartes nedokázal.[1] Od vynálezu počtu lze sklon tečny snadno najít pomocí implicitní diferenciace.
Vytvoření grafu křivky
Vzhledem k tomu, že rovnice má stupeň 3 jak v x, tak v y a nezohledňuje, je obtížné ji vyřešit pro jednu z proměnných.
Rovnice v polární souřadnice je:
které lze snadno vykreslit. Použitím tohoto vzorce se zjistí, že plocha vnitřku smyčky je .
Další technikou je psát y = px a řešit pro xay ve smyslu p. Tím se získá Racionální parametrické rovnice:[2]
.
Vidíme, že parametr souvisí s pozicí na křivce takto:
- str <-1 odpovídá x> 0, y <0: vpravo, dole, „křídlo“.
- -1 < str <0 odpovídá x <0, y> 0: levé, horní „křídlo“.
- str > 0 odpovídá x> 0, y> 0: smyčka křivky.
Další způsob vykreslení funkce lze odvodit ze symetrie nad y = x. Symetrii lze vidět přímo z její rovnice (xay lze zaměnit). Například při použití rotace o 45 ° CW lze vykreslit funkci symetricky nad otočenou osou x.
Tato operace je ekvivalentní substituci:
a výnosy
Vynesením do kartézského systému (u, v) získá folium otočené o 45 °, a tedy symetrické osou u.
Vzhledem k tomu, že folium je symetrické , prochází bodem .
Vztah k trisectrix MacLaurin
Folium Descartes souvisí s trisectrix z Maclaurinu podle afinní transformace. Chcete-li to vidět, začněte rovnicí
- ,
a změňte proměnné, abyste našli rovnici v souřadnicovém systému otočeném o 45 stupňů. To se rovná nastavení . V rovina rovnice je
- .
Pokud natáhneme křivku v směr faktorem toto se stává
což je rovnice trisectrix Maclaurinu.
Poznámky
- ^ Simmons, str. 101
- ^ "DiffGeom3: Parametrizované křivky a algebraické křivky". N J Wildberger, University of New South Wales. Citováno 5. září 2013.
Reference
- J. Dennis Lawrence: Katalog speciálních rovinných křivek1972, Dover Publications. ISBN 0-486-60288-5, str. 106–108
- George F. Simmons: Drahokamy kalkulu: Krátké životy a nezapomenutelná matematika, New York 1992, McGraw-Hill, xiv, 355. ISBN 0-07-057566-5; nové vydání 2007, The Mathematical Association of America (MAA )