Lanczosova aproximace - Lanczos approximation - Wikipedia

v matematika, Lanczosova aproximace je metoda výpočtu funkce gama číselně, publikováno Cornelius Lanczos v roce 1964. Jedná se o praktickou alternativu k populárnějším Stirlingova aproximace pro výpočet funkce gama s pevnou přesností.

Úvod

Lanczosova aproximace se skládá ze vzorce

${ displaystyle Gamma (z + 1) = { sqrt {2 pi}} { vlevo (z + g + { tfrac {1} {2}} vpravo)} ^ {z + 1/2} e ^ {- (z + g + 1/2)} A_ {g} (z)}$

pro funkci gama, s

${ displaystyle A_ {g} (z) = { frac {1} {2}} p_ {0} (g) + p_ {1} (g) { frac {z} {z + 1}} + p_ {2} (g) { frac {z (z-1)} {(z + 1) (z + 2)}} + cdots.}$

Tady G je konstantní které lze libovolně zvolit s výhradou omezení, které Re (z) > 1/2.^[1] Koeficienty p, na kterých závisí G, jsou o něco obtížnější vypočítat (viz níže). I když zde uvedený vzorec platí pouze pro argumenty ve správném komplexu polorovina, lze ji rozšířit na celý složité letadlo podle reflexní vzorec,

${ displaystyle Gamma (1-z) ; Gamma (z) = { pi nad sin pi z}.}$

Série A je konvergentní, a mohou být zkráceny pro získání aproximace s požadovanou přesností. Výběrem vhodného G (obvykle malé celé číslo), k výpočtu funkce gama s typickými je zapotřebí pouze 5–10 členů řady singl nebo dvojnásobek plovoucí bod přesnost. Pokud je opraveno G je možné zvolit koeficienty předem a součet je přepracován do následující podoby:

${ displaystyle A_ {g} (z) = c_ {0} + součet _ {k = 1} ^ {N} { frac {c_ {k}} {z + k}}}$

Výpočet funkce gama se tedy stává věcí vyhodnocení pouze malého počtu základní funkce a vynásobením uloženými konstantami. Lanczosovu aproximaci popularizoval Numerické recepty, podle kterého se výpočet funkce gama stává „ne mnohem obtížnějším než jiné vestavěné funkce, které považujeme za samozřejmost, například sinX nebo E^X". Metoda je také implementována v Vědecká knihovna GNU.

Koeficienty

Koeficienty jsou dány vztahem

${ displaystyle p_ {k} (g) = { frac { sqrt {2 ,}} { pi}} součet _ { ell = 0} ^ {k} C_ {2k + 1, , 2 ell +1} left ( ell - { tfrac {1} {2}} right)! { left ( ell + g + { tfrac {1} {2}} right)} ^ {- ( ell +1/2)} e ^ { ell + g + 1/2}}$

kde ${ displaystyle C_ {n, m}}$ představuje (n, m) th prvek prvku matice koeficientů pro Čebyševovy polynomy, které lze vypočítat rekurzivně z těchto identit:

${ displaystyle { begin {sladěno} C_ {1, , 1} & = 1 [5px] C_ {2, , 2} & = 1 [5px] C_ {n + 1, , 1 } & = - , C_ {n-1, , 1} & { text {for}} n & = 2,3,4 , dots [5px] C_ {n + 1, , n + 1} & = 2 , C_ {n, , n} & { text {for}} n & = 2,3,4 , dots [5px] C_ {n + 1, , m + 1 } & = 2 , C_ {n, , m} -C_ {n-1, , m + 1} & { text {for}} n &> m = 1,2,3 , dots end {zarovnaný}}}$

Godfrey (2001) popisuje, jak získat koeficienty a také hodnotu zkrácené řady A jako maticový produkt.^[2]

Derivace

Lanczos odvodil vzorec Leonhard Euler je integrální

${ displaystyle Gamma (z + 1) = int _ {0} ^ { infty} t ^ {z} , e ^ {- t} , dt,}$

provedení sledu základních manipulací k získání

${ displaystyle Gamma (z + 1) = (z + g + 1) ^ {z + 1} e ^ {- (z + g + 1)} int _ {0} ^ {e} { velký ( } v (1- log v) { Big)} ^ {z} v ^ {g} , dv,}$

a odvození řady pro integrál.

Jednoduchá implementace

Následující implementace v Programovací jazyk Python pracuje pro složité argumenty a obvykle dává 15 správných desetinných míst. Upozorňujeme, že vynechání nejmenších koeficientů nevede k rychlejší, ale o něco méně přesné implementaci; koeficienty musí být přepočítány od nuly pro expanzi s méně výrazy.

z cmath import hřích, čtv, pi, expp = [676.5203681218851    ,-1259.1392167224028    ,771.32342877765313    ,-176.61502916214059    ,12.507343278686905    ,-0.13857109526572012    ,9.9843695780195716e-6    ,1.5056327351493116e-7    ]EPSILON = 1e-07def drop_imag(z):    -li břišní svaly(z.imag) <= EPSILON:        z = z.nemovitý    vrátit se zdef gama(z):    z = komplex(z)    -li z.nemovitý < 0.5:        y = pi / (hřích(pi * z) * gama(1 - z))  # Reflexní vzorec    jiný:        z -= 1        X = 0.99999999999980993        pro (i, pval) v vyjmenovat(p):            X += pval / (z + i + 1)        t = z + len(p) - 0.5        y = čtv(2 * pi) * t ** (z + 0.5) * exp(-t) * X    vrátit se drop_imag(y)"""Výše uvedené použití odrazu (tedy struktury if-else) je nutné, i když může to vypadat divně, protože umožňuje rozšířit aproximaci na hodnoty z kde Re (z) <0,5, kde Lanczosova metoda není platná."""tisk(gama(1))tisk(gama(5))   tisk(gama(0.5))

Viz také

• Stirlingova aproximace
• Spougeova aproximace

Reference

• Godfrey, Paul (2001). „Lanczosova implementace funkce gama“.
• Lanczos, Cornelius (1964). "Přesná aproximace funkce gama". Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, Series B: Numerical Analysis. 1: 86–96. Bibcode:1964SJNA .... 1 ... 86L. doi:10.1137/0701008. ISSN  0887-459X. JSTOR  2949767.
• Press, W. H .; Teukolsky, S. A .; Vetterling, W. T .; Flannery, B. P. (2007), „Část 6.1. Funkce gama“, Numerické recepty: Umění vědecké práce na počítači (3. vyd.), New York: Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-88068-8
• Pugh, Glendon (2004). Analýza aproximace gama Lanczos (PDF) (Disertační práce).
• Toth, Viktor (2005). „Programovatelné kalkulačky: The Lanczos Aproximation“.
• Weisstein, Eric W. „Lanczosova aproximace“. MathWorld.