Problém Snellius – Pothenot - Snellius–Pothenot problem

The Problém Snellius – Pothenot je problém v rovině geodetické. Vzhledem ke třem známým bodům A, B a C pozorovatel v neznámém bodě P pozoruje, že segment AC svírá úhel ${displaystyle alpha}$ a segment CB svírá úhel ${displaystyle eta}$ ; problém je určit polohu bodu P. (viz obrázek; bod označený C je mezi A a B, jak je patrné z P).

Protože jde o pozorování známých bodů z neznámého bodu, je problém příkladem resekce. Historicky to poprvé studoval Snellius, který našel řešení kolem roku 1615.

Formulování rovnic

První rovnice

Označujeme (neznámé) úhly VÍČKO tak jako X a CBP tak jako y dostaneme:

{displaystyle x + y = 2pi -alpha - eta -C}

pomocí vzorce součtu úhlů pro čtyřúhelník PACB. Proměnná C představuje (známý) vnitřní úhel v tomto čtyřúhelníku v bodě C. (Všimněte si, že v případě, že body C a P jsou na stejné straně čáry AB, úhel C bude větší než ${displaystyle pi}$ ).

Druhá rovnice

Uplatnění sinusový zákon v trojúhelnících PAC a PBC můžeme vyjádřit PC dvěma různými způsoby:

{displaystyle {frac {{m {AC}} sin x} {sin alpha}} = {m {PC}} = {frac {{m {BC}} sin y} {sin eta}}.}

Užitečným trikem v tomto bodě je definování pomocného úhlu ${displaystyle phi}$ takhle

{displaystyle an phi = {frac {{m {BC}} sin alpha} {{m {AC}} sin eta}}.}

(Malá poznámka: Měli bychom se obávat dělení nulou, ale vezměte v úvahu, že problém je symetrický, takže pokud je jeden ze dvou daných úhlů nulový, můžeme tento úhel v případě potřeby přejmenovat na alfa a volat druhý (nenulový ) úhel beta, který také obrací role A a B. To bude stačit k zajištění toho, že výše uvedený poměr je dobře definován. Alternativní přístup k problému nulového úhlu je uveden v níže uvedeném algoritmu.)

S touto substitucí se stane rovnice

{displaystyle {frac {sin x} {sin y}} = phi.}

Můžeme použít dva známé trigonometrické identity, jmenovitě

{displaystyle an left ({frac {pi} {4}} - phi ight) = {frac {1- an phi} {an phi +1}}}

a

{displaystyle {frac {an [(x-y) / 2]} {an [(x + y) / 2]}} = {frac {sin x-sin y} {sin x + sin y}}}

abychom to vyjádřili v podobě druhé rovnice, kterou potřebujeme^{[proč? ]}

{displaystyle an {frac {1} {2}} (xy) = an {frac {1} {2}} (alpha + eta + C) a left ({frac {pi} {4}} - phi ight). }

Nyní musíme tyto dvě rovnice vyřešit ve dvou neznámých. Jednou X a y je známo, že různé trojúhelníky lze vyřešit přímo k určení polohy P.^[1] Podrobný postup je uveden níže.

Algoritmus řešení

Jsou uvedeny dvě délky AC a před naším letopočtema tři úhly ${displaystyle alpha}$ , ${displaystyle eta}$ a Cřešení probíhá následovně.

vypočítat ${displaystyle phi = operatorname {atan2} ({m {BC}} sin alpha, {m {AC}} sin eta)}$ . Kde atan2 je počítač funkce, nazývaná také arkustangens dvou argumentů, která vrací arkustangens poměru dvou uvedených hodnot. Všimněte si, že v Microsoft Excel dva argumenty jsou obráceny, takže správná syntaxe bude '= atan2 (AC * sin (beta), BC * sin (alfa))'. Funkce atan2 správně zpracovává případ, kdy je jeden ze dvou argumentů nula.
vypočítat ${displaystyle K = 2pi -alpha - eta -C.}$
vypočítat ${displaystyle W = 2cdot operatorname {atan} left [an (pi / 4-phi) an left ({frac {1} {2}} (alpha + eta + C) ight) ight].}$
nalézt ${displaystyle x = (K + W) / 2}$ a ${displaystyle y = (K-W) / 2.}$
-li ${displaystyle | sin eta |> | sin alpha |}$ vypočítat ${displaystyle {m {PC}} = {frac {{m {BC}} hřích} {hřích eta}}}$ jinak použít ${displaystyle {m {PC}} = {frac {{m {AC}} sin x} {sin alpha}}.}$
nalézt ${displaystyle {m {PA}} = {sqrt {{m {AC}} ^ {2} + {m {PC}} ^ {2} -2cdot {m {AC}} cdot {m {PC}} cdot cos (pi -alfa -x)}}.}$ (Toto pochází z zákon kosinů.)
nalézt ${displaystyle {m {PB}} = {sqrt {{m {BC}} ^ {2} + {m {PC}} ^ {2} -2cdot {m {BC}} cdot {m {PC}} cdot cos (pi - eta -y)}}.}$

Pokud jsou souřadnice A: X_A, y_A a C: X_C, y_C jsou známy v některých příslušných kartézských jazycích souřadnicový systém pak souřadnice P lze také najít.

Geometrické (grafické) řešení

Podle věta o vepsaném úhlu místo bodů, ze kterých AC svírá úhel ${displaystyle alpha}$ je kruh mající střed na středové ose AC; od středu O této kružnice AC svírá úhel ${displaystyle 2alpha}$ . Podobně i lokus bodů, ze kterých CB svírá úhel ${displaystyle eta}$ je další kruh. Požadovaný bod P je v průsečíku těchto dvou lokusů.

Proto na mapě nebo nautickém grafu zobrazujícím body A, B, C lze použít následující grafickou konstrukci:

Nakreslete segment AC, střed M a středovou čáru, která protíná AC kolmo na M. Na této přímce najděte bod O takový, že ${displaystyle MO = {frac {AC} {2 an alpha}}}$ . Nakreslete kruh se středem v O procházející A a C.
Stejnou konstrukci opakujte s body B, C a úhlem ${displaystyle eta}$ .
Označte P na průsečíku dvou kruhů (dva kruhy se protínají ve dvou bodech; jeden průsečík je C a druhý je požadovaný bod P.)

Tato metoda řešení se někdy nazývá Cassiniho metoda.

Racionální trigonometrický přístup

Následující řešení je založeno na článku N. J. Wildbergera.^[2] Má tu výhodu, že je téměř čistě algebraický. Jediné místo, kde se používá trigonometrie, je převod úhly na spready. Je jen jeden odmocnina Požadované.

definujte následující:

{displaystyle s (x) = sin ^ {2} (x)}

{displaystyle A (x, y, z) = (x + y + z) ^ {2} -2 (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2})}

{displaystyle r_ {1} = s (eta)}

{displaystyle r_ {2} = s (alfa)}

{displaystyle r_ {3} = s (alfa + eta)}

{displaystyle Q_ {1} = BC ^ {2}}

{displaystyle Q_ {2} = AC ^ {2}}

{displaystyle Q_ {3} = AB ^ {2}}

nyní nech:

{displaystyle R_ {1} = r_ {2} Q_ {3} / r_ {3}}

{displaystyle R_ {2} = r_ {1} Q_ {3} / r_ {3}}

{displaystyle C_ {0} = ((Q_ {1} + Q_ {2} + Q_ {3}) (r_ {1} + r_ {2} + r_ {3}) - 2 (Q_ {1} r_ {1 } + Q_ {2} r_ {2} + Q_ {3} r_ {3})) / (2r_ {3})}

{displaystyle D_ {0} = r_ {1} r_ {2} A (Q_ {1}, Q_ {2}, Q_ {3}) / r_ {3}}

následující rovnice uvádí dvě možné hodnoty pro ${displaystyle R_ {3}}$ :

{displaystyle (R_ {3} -C_ {0}) ^ {2} = D_ {0}}

výběrem větší z těchto hodnot necháme:

{displaystyle v_ {1} = 1- (R_ {1} + R_ {3} -Q_ {2}) ^ {2} / (4R_ {1} R_ {3})}

{displaystyle v_ {2} = 1- (R_ {2} + R_ {3} -Q_ {1}) ^ {2} / (4R_ {2} R_ {3})}

konečně dostaneme:

{displaystyle AP ^ {2} = v_ {1} R_ {1} / r_ {2} = v_ {1} Q_ {3} / r_ {3}}

{displaystyle BP ^ {2} = v2R_ {2} / r_ {1} = v_ {2} Q_ {3} / r_ {3}}

Neurčitý případ

Když se bod P nachází ve stejné kružnici jako A, B a C, má problém nekonečné množství řešení; důvodem je, že z kteréhokoli jiného bodu P 'umístěného na oblouku APB této kružnice vidí pozorovatel stejné úhly alfa a beta jako z P (věta o vepsaném úhlu ). Řešení v tomto případě tedy není jednoznačně určeno.

Kruh procházející ABC je znám jako „kruh nebezpečí“ a je třeba se vyhnout pozorováním provedeným na tomto kruhu (nebo v jeho těsné blízkosti). Před provedením pozorování je užitečné tento kruh vykreslit na mapě.

Věta o cyklické čtyřstěny je užitečné při zjišťování neurčité situace. Čtyřúhelník APBC je cyklický iff dvojice protilehlých úhlů (například úhel v P a úhel v C) jsou doplňkové, tj. iff ${displaystyle alpha + eta + C = kpi, (k = 1,2, cdots)}$ . Pokud je tato podmínka dodržena, měly by být výpočty počítače / tabulky zastaveny a měla by být vrácena chybová zpráva („neurčitý případ“).

Vyřešené příklady

(Upravený tvar Bowser,^[3] cvičení 140, strana 203). A, B a C jsou tři takové objekty AC = 435 (yardů ), CB = 320 a C = 255,8 stupňů. Ze stanice P je pozorováno, že APC = 30 stupňů a CPB = 15 stupňů. Najděte vzdálenosti P z A, B a C. (Všimněte si, že v tomto případě jsou body C a P na stejné straně přímky AB, což je odlišná konfigurace od konfigurace zobrazené na obrázku).

Odpovědět: PA = 790, PB = 777, PC = 502.

Trochu náročnější testovací případ pro počítačový program používá stejná data, ale tentokrát s CPB = 0. Program by měl vrátit odpovědi 843, 1157 a 837.

Pojmenování kontroverze

Pamětní deska na Snelliusově domě v Leidenu

Britský úřad pro geodézii, George Tyrrell McCaw (1870–1942) napsal, že správný termín v angličtině byl Snelliusův problém, zatímco Snellius-Pothenot bylo kontinentální evropské použití.^[4]

McCaw myslel na jméno Laurent Pothenot (1650–1732) si nezasloužil být zahrnut, protože nepřispěl žádným původním příspěvkem, pouze Snellius přepracoval o 75 let později.

Viz také

Poznámky

^ Bowser: Pojednání
^ Norman J. Wildberger (2010). „Řecká geometrie, racionální trigonometrie a problém průzkumu Snellius - Pothenot“ (PDF). Chamchuri Journal of Mathematics. 2 (2): 1–14.
^ Bowser: Pojednání
^ McCaw, G. T. (1918). „Resekce v průzkumu“. Geografický deník. 52 (2): 105–126. doi:10.2307/1779558. JSTOR 1779558.

Gerhard Heindl: Analýza Willerdingova vzorce pro řešení problému rovinné tříbodové resekce, Journal of Applied Geodesy, Band 13, Heft 1, Seiten 27–31, ISSN (Online) 1862-9024, ISSN (Print) 1862-9016, DOI: [1]

Reference

Edward A. Bowser: Pojednání o rovině a sférické trigonometrii, Washington D.C., Heath & Co., 1892, strana 188 Knihy Google

[1] Bowser: Pojednání

[2] Norman J. Wildberger (2010). „Řecká geometrie, racionální trigonometrie a problém průzkumu Snellius - Pothenot“ (PDF). Chamchuri Journal of Mathematics. 2 (2): 1–14.

[3] Bowser: Pojednání

[4] McCaw, G. T. (1918). „Resekce v průzkumu“. Geografický deník. 52 (2): 105–126. doi:10.2307/1779558. JSTOR 1779558.

[1]

[2]

[3]

[4]