Hansensův problém - Hansens problem - Wikipedia

Hansenův problém je problém v rovině geodetické, pojmenovaný po astronomovi Peter Andreas Hansen (1795–1874), který pracoval na geodetickém průzkumu Dánska. Jsou známy dva body A a Ba dva neznámé body P₁ a P₂. Z P₁ a P₂ pozorovatel měří úhly vytvořené zornými čarami ke každému ze tří dalších bodů. Problém je najít pozice P₁ a P₂. Viz obrázek; měřené úhly jsou (α₁, β₁, α₂, β₂).

Jelikož jde o pozorování úhlů vytvořených v neznámých bodech, je problém příkladem resekce (na rozdíl od křižovatky).

Přehled metody řešení

Definujte následující úhly: y = P₁AP₂, δ = P₁BP₂, φ = P₂AB, ψ = P₁BAJako první krok, který vyřešíme φ a ψSoučet těchto dvou neznámých úhlů se rovná součtu β₁ a β₂, čímž se získá rovnice

{ displaystyle phi + psi = beta _ {1} + beta _ {2}.}

Druhou rovnici lze nalézt pracněji, a to následovně. The sinusový zákon výnosy

{ displaystyle { frac {AB} {P_ {2} B}} = { frac { sin alpha _ {2}} { sin phi}}}

a

{ displaystyle { frac {P_ {2} B} {P_ {1} P_ {2}}} = { frac { sin beta _ {1}} { sin delta}}.}

Jejich kombinací získáme

{ displaystyle { frac {AB} {P_ {1} P_ {2}}} = { frac { sin alpha _ {2} sin beta _ {1}} { sin phi sin delta}}.}

Zcela analogické uvažování na druhé straně přináší

{ displaystyle { frac {AB} {P_ {1} P_ {2}}} = { frac { sin alpha _ {1} sin beta _ {2}} { sin psi sin gamma}}.}

Nastavení těchto dvou rovnocenných dává

{ displaystyle { frac { sin phi} { sin psi}} = { frac { sin gamma sin alpha _ {2} sin beta _ {1}} { sin delta sin alpha _ {1} sin beta _ {2}}} = k.}

Pomocí známého trigonometrická identita tento poměr sinusů lze vyjádřit jako tangens úhlového rozdílu:

{ displaystyle tan { frac { phi - psi} {2}} = { frac {k-1} {k + 1}} tan { frac { phi + psi} {2}} .}

Toto je druhá rovnice, kterou potřebujeme. Jakmile vyřešíme dvě rovnice pro dvě neznámé ${ displaystyle phi}$ a ${ displaystyle psi}$ , můžeme použít jeden ze dvou výše uvedených výrazů pro ${ displaystyle { frac {AB} {P_ {1} P_ {2}}}}$ najít P₁P₂ od té doby AB je známo. Poté můžeme najít všechny ostatní segmenty pomocí sinusového zákona.^[1]

Algoritmus řešení

Dostaneme čtyři úhly (α₁, β₁, α₂, β₂) a vzdálenost AB. Výpočet probíhá následovně:

Vypočítat ${ displaystyle gamma = pi - alpha _ {1} - beta _ {1} - beta _ {2}, quad delta = pi - alpha _ {2} - beta _ {1 } - beta _ {2}.}$
Vypočítat ${ displaystyle k = { frac { sin gamma sin alpha _ {2} sin beta _ {1}} { sin delta sin alpha _ {1} sin beta _ {2 }}}.}$
Nechat ${ displaystyle s = beta _ {1} + beta _ {2}, quad d = 2 arctan left [{ frac {k-1} {k + 1}} tan (s / 2) že jo]}$ a pak ${ displaystyle phi = (s + d) / 2, quad psi = (s-d) / 2.}$
Vypočítat