N-vektor - N-vector

The n-vektor reprezentace (nazývaná také geodetický normální nebo elipsoidní normální vektor) je tři parametr ne singulární reprezentace vhodná pro nahrazení zeměpisná šířka a zeměpisná délka tak jako reprezentace vodorovné polohy v matematických výpočtech a počítačových algoritmech.

Geometricky n-vektor pro danou pozici na elipsoid je navenek směřující jednotkový vektor to je normální v této poloze k elipsoidu. Pro reprezentaci vodorovných poloh na Zemi je elipsoid a referenční elipsoid a vektor je rozložený v Země-střed Země pevná souřadnicový systém. Chová se hladce na všech pozicích Země a drží matematiku jedna ku jedné vlastnictví.

Obecněji lze koncept použít k reprezentaci pozic na hranici striktně konvexní omezená podmnožina z k-dimenzionální Euklidovský prostor, za předpokladu, že tato hranice je a diferencovatelné potrubí. V tomto obecném případě n-vektor se skládá z k parametry.

Obecné vlastnosti

A normální vektor přísně konvexní povrch lze použít k jednoznačnému definování polohy povrchu. n-vector je ven směřující normální vektor s délka jednotky používá se jako reprezentace polohy. ^[1]

Pro většinu aplikací je povrch referenční elipsoid Země, a tedy n-vector se používá k představení vodorovné polohy. Proto úhel mezi n-vektor a rovníková rovina odpovídá geodetická šířka, jak je znázorněno na obrázku.

Směr n-vektor odpovídá geodetické šířce

Pozice povrchu má dvě stupně svobody, a tedy dva parametry jsou dostatečné k tomu, aby představovaly libovolnou polohu na povrchu. Na referenčním elipsoidu zeměpisná šířka a zeměpisná délka jsou pro tento účel běžné parametry, ale stejně jako všechny reprezentace dvou parametrů, oni mají singularity. To je podobné jako orientace, který má tři stupně volnosti, ale vše reprezentace tří parametrů mít singularity.^[2] V obou případech se singularitám vyhneme přidáním dalšího parametru, tj. Použití n-vector (tři parametry) do představují vodorovnou polohu a jednotka čtveřice (čtyři parametry) do představují orientaci.

n-vector je a jedna ku jedné reprezentace, což znamená, že jakákoli poloha povrchu odpovídá jednomu jedinečnému n-vektor a jakýkoli n-vektor odpovídá jedné jedinečné poloze povrchu.

Jako Euklidovský 3D vektor, standardní 3D vektorová algebra lze použít pro výpočty polohy, a to dělá n-vector vhodný pro většinu výpočtů vodorovné polohy.

Převod zeměpisné šířky a délky na n-vektor

Na základě definice ECEF souřadnicový systém, tzv E, je jasné, že přechod od zeměpisné šířky / délky k n-vector, je dosaženo:

{displaystyle mathbf {n} ^ {e} = left [{egin {matrix} cos (mathrm {latitude}) cos (mathrm {longitude}) cos (mathrm {latitude}) sin (mathrm {longitude}) sin ( mathrm {latitude}) end {matrix}} ight]}

Horní index E znamená, že n-vektor je rozložený v souřadnicovém systému E (tj. první složka je skalární projekce z n-vektor na X- osa E, druhý na y- osa E atd.). Všimněte si, že rovnice je přesná pro sférický i elipsoidní model Země.

Konvertování n-vektor do zeměpisné šířky / délky

Ze tří složek n-vektor, ${displaystyle n_ {x} ^ {e}}$ , ${displaystyle n_ {y} ^ {e}}$ , a ${displaystyle n_ {z} ^ {e}}$ , zeměpisnou šířku najdete pomocí:

{displaystyle mathrm {latitude} = arcsin left (n_ {z} ^ {e} ight) = arctan left ({frac {n_ {z} ^ {e}} {sqrt {{n_ {x} ^ {e}} ^ {2} + {n_ {y} ^ {e}} ^ {2}}}} vpravo)}

Výraz vpravo je nejvhodnější pro implementaci počítačového programu.^[1]

Zeměpisná délka se zjistí pomocí:

{displaystyle mathrm {longitude} = arctan left ({frac {n_ {y} ^ {e}} {n_ {x} ^ {e}}} ight)}

V těchto výrazech ${displaystyle arctan (y / x)}$ by měl být implementován pomocí volání na atan2 (y,X). The Pól jedinečnost zeměpisné délky je evidentní jako atan2 (0,0) není definováno. Všimněte si, že rovnice jsou přesné pro sférický i elipsoidní model Země.

Příklad: Velká vzdálenost kruhu

Nalezení velká kruhová vzdálenost mezi dvěma vodorovnými polohami (za předpokladu sférické Země) se obvykle provádí pomocí zeměpisné šířky a délky. Tři různé výrazy pro tuto vzdálenost jsou běžné; první je založen na arccos, druhý je založen na arcsin a finále je založeno na arktan. Výrazy, kterým je postupně složitější se vyhnout numerické nestability, není snadné najít, a protože jsou založeny na zeměpisné šířce a délce, mohou se singularity pólu stát problémem. Obsahují také delty zeměpisné šířky a délky, které by se obecně měly používat opatrně poblíž ±180 ° poledník a Poláci.

Řešení stejného problému pomocí n-vector je jednodušší díky možnosti použití vektorová algebra. Exprese arccos je dosažena z Tečkovaný produkt, zatímco velikost z křížový produkt dává arcsin výraz. Kombinace těchto dvou dává arktanový výraz:^[1]

{displaystyle {egin {aligned} & Delta sigma = arccos left (mathbf {n} _ {a} cdot mathbf {n} _ {b} ight) & Delta sigma = arcsin left (left | mathbf {n} _ {a} imes mathbf {n} _ {b} ight | ight) & Delta sigma = arctan left ({frac {left | mathbf {n} _ {a} imes mathbf {n} _ {b} ight |} {mathbf {n} _ {a} cdot mathbf {n} _ {b}}} ight) end {zarovnáno}}}

kde ${displaystyle mathbf {n} _ {a}}$ a ${displaystyle mathbf {n} _ {b}}$ jsou n-vektory představující dvě polohy A a b. ${displaystyle Delta sigma}$ je úhlový rozdíl, a tedy vzdálenosti ve velkém kruhu je dosaženo vynásobením poloměrem Země. Tento výraz funguje také na pólech a na poledníku ± 180 °. Všimněte si, že arktan musí být nahrazeno atan2 při implementaci počítačových programů.

Existuje několik dalších příkladů, kdy použití vektorové algebry zjednodušuje standardní úlohy.^[1] Obecné srovnání různých reprezentací je uvedeno v stránka reprezentace vodorovné polohy.

Viz také

Reference

^ ^A ^b ^C ^d Gade, Kenneth (2010). „Reprezentace horizontální polohy, která není singulární (PDF). The Journal of Navigation. Cambridge University Press. 63 (3): 395–417. doi:10.1017 / S0373463309990415.
^ Stuelpnagel, John (1964). "O parametrizaci trojrozměrné rotační skupiny". Recenze SIAM. Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku. 6 (4): 422–430. doi:10.1137/1006093. JSTOR 2027966.

externí odkazy

Řešení 10 problémů pomocí n-vektor

[Gade-1] A ^b ^C ^d Gade, Kenneth (2010). „Reprezentace horizontální polohy, která není singulární (PDF). The Journal of Navigation. Cambridge University Press. 63 (3): 395–417. doi:10.1017 / S0373463309990415.

[2] Stuelpnagel, John (1964). "O parametrizaci trojrozměrné rotační skupiny". Recenze SIAM. Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku. 6 (4): 422–430. doi:10.1137/1006093. JSTOR 2027966.

[1]

[2]