Kužel (algebraická geometrie) - Cone (algebraic geometry)
V algebraické geometrii, a kužel je zobecnění a vektorový svazek. Konkrétně vzhledem k schématu X, relativní Spec
kvazi-koherentního stupně ÓX-algebra R se nazývá kužel nebo afinní kužel z R. Podobně relativní Proj
se nazývá projektivní kužel z C nebo R.
Poznámka: Kužel je dodáván s -akce kvůli známkování z R; tato akce je součástí dat kužele (odtud terminologie).
Příklady
- Li X = Spec k je bod a R je homogenní souřadnicový kruh, pak afinní kužel R je (obvykle) afinní kužel přes projektivní rozmanitost odpovídající R.
- Li pro nějaký ideální svazek Já, pak je normální kužel do uzavřeného systému určeného Já.
- Li pro nějaký svazek linek L, pak je celkový prostor duální z L.
- Obecněji řečeno, vzhledem k vektorovému svazku (lokálně volný svazek s konečnou hodností) E na X, pokud R= Sym (E*) je symetrická algebra generovaná duálem E, pak kužel je celkový prostor E, často psaný stejně Ea projektivní kužel je projektivní svazek z E, který je psán jako .
- Nechat být soudržným svazkem na a Deligne – Mumford stack X. Pak nechte [1] Pro všechny , protože globální specifikace je správným adjunktem k přímému funktoru obrazu, máme: ; zejména, je komutativní skupinové schéma X.
- Nechat R být známkou -algebra taková a je koherentní a místně generuje R tak jako -algebra. Pak dojde k uzavřenému ponoření
- dána . Kvůli tomu, se nazývá abelianský trup kužele Například pokud pro nějaký ideální svazek Já, pak toto vložení je vložení normálního kužele do normálního svazku.
Výpočty
Zvažte úplnou křižovatku jako ideální a nechte být projektivní schéma definované ideálním svazkem . Pak máme izomorfismus z -algebry jsou dány[Citace je zapotřebí ]
Vlastnosti
Li je odstupňovaný homomorfismus odstupňovaného ÓX-algebry, pak člověk získá indukovaný morfismus mezi kužely:
- .
Pokud je homomorfismus surjektivní, pak se člověk dostane do uzavřeného ponoření
Zejména za předpokladu R0 = ÓX, konstrukce platí pro projekci (což je augmentační mapa ) a dává
- .
Je to sekce; tj., je identita a nazývá se vkládání nulové sekce.
Zvažte odstupňovanou algebru R[t] s proměnnou t mít titul jeden: výslovně, n-tý stupeň je
- .
Poté je jeho afinní kužel označen . Projektivní kužel se nazývá projektivní dokončení z CR. Ve skutečnosti nulové místo t = 0 je přesně a doplňkem je otevřené dílčí schéma CR. Místo t = 0 se nazývá hyperplán v nekonečnu.
Ó(1)
Nechat R být kvazi-koherentní známkou ÓX-algebra taková R0 = ÓX a R je místně generován jako ÓX-algebra od R1. Poté, podle definice, projektivní kužel R je:
kde colimit běží přes otevřené afinní podmnožiny U z X. Předpokladem R(U) má konečně mnoho generátorů stupně jedna Xije Tím pádem,
Pak má svazek linek Ó(1) dané svazek nadroviny z ; lepení takové místní Ó(1), kteří souhlasí místně, dávají balíček řádků Ó(1) zapnuto .
Pro jakékoli celé číslo n, jeden také píše Ó(n) pro n-tý tenzorový výkon Ó(1). Pokud kužel C= SpecXR je celkový prostor vektorového svazku E, pak Ó(-1) je tautologický svazek linek na projektivní svazek P(E).
Poznámka: Když (místní) generátory R mít jiný stupeň než jeden, stavbu Ó(1) stále prochází, ale s a vážený projektivní prostor místo projektivního prostoru; takže výsledný Ó(1) nemusí být nutně svazek řádků. V jazyce dělitel, tento Ó(1) odpovídá a Q-Dělitel koše.
Poznámky
- ^ Behrend – Fantechi, § 1.
Reference
Poznámky z přednášky
- Fantechi, Barbara, Úvod do teorie průniku (PDF)
Odkaz
- Behrend, K .; Fantechi, B. (01.03.1997). "Vnitřní normální kužel". Inventiones Mathematicae. 128 (1): 45–88. doi:10,1007 / s002220050136. ISSN 0020-9910.
- William Fulton. (1998), Teorie křižovatky, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 2 (2. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-62046-4, PAN 1644323
- § 8 ze dne Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1961). „Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes“. Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 8. doi:10.1007 / bf02699291. PAN 0217084.