Normální kužel - Normal cone
V algebraické geometrii je normální kužel CXY dílčího schématu X systému Y je schéma analogické normálnímu svazku nebo tubulárnímu sousedství v diferenciální geometrii.
Definice
Normální kužel C.XY nebo vložení i: X → Y, definovaný svazkem ideálů Já je definován jako relativní Spec
Když vložení i je pravidelný normální kužel je normální svazek, vektorový svazek zapnutý X odpovídá duálnímu svazku Já/Já2.
Li X je bod, pak se normální kužel a normální svazek k němu také nazývají tečný kužel a tečný prostor (Zariski tečný prostor ) do té míry. Když Y = Spec R je afinní, definice znamená, že normální kužel X = Spec R/Já je Spec of the přidružený odstupňovaný prsten z R s ohledem na Já.
Li Y je produkt X × X a vložení i je diagonální vkládání, pak normální svazek do X v Y je tečný svazek na X.
Normální kužel (nebo spíše jeho projektivní bratranec) se objeví v důsledku výbuchu. Přesně tak
být nafouknutý Y podél X. Podle definice je potom výjimečným dělitelem předobraz ; který je projektivní kužel z . Tím pádem,
- .
Klasifikují se globální sekce normálního svazku vložené nekonečně malé deformace z Y v X; mezi množinou uzavřených podsystémů je přirozená bijekce Y ×k D, plochý přes kruh D dvojitých čísel a mít X jako speciální vlákno a H0(X, NX Y).[1]
Vlastnosti
Li jsou pravidelné vkládání, pak je pravidelné vkládání a je na něm přirozená přesná sekvence vektorových svazků X:[2]
- .
Li jsou pravidelné vkládání kodimenzionálních rozměrů a pokud je pravidelné vkládání codimensionu , pak[3]
- .
Zejména pokud je hladký morfismus, pak normální svazek do diagonální vkládání (r-fold) je přímý součet r - 1 kopie relativní tangensový svazek .
Li je uzavřené ponoření a pokud je plochý morfismus takový , pak[4][Citace je zapotřebí ]
Li je hladký morfismus a je pravidelné vkládání, pak je na něm přirozená přesná sekvence vektorových svazků X:[5]
- ,
(což je speciální případ přesné sekvence pro kotangensové snopy.)
Nechat být schématem konečného typu nad polem a uzavřený podsystém. Li je z čistá dimenze r; tj. každá neredukovatelná složka má rozměr r, pak je také čisté dimenze r.[6] (To lze považovat za důsledek # Deformace na normální kužel.) Tato vlastnost je klíčem k aplikaci v teorii průniků: vzhledem k dvojici uzavřených podsystémů v nějakém okolním prostoru, zatímco schéma-teoretický průnik má neredukovatelné složky různých rozměrů, v závislosti na polohách , normální kužel je čisté dimenze.
Příklady
- Nechat být účinným dělitelem Cartier. Pak normální svazek k němu (nebo ekvivalentní normální kužel k němu) je[7]
- .
Nepravidelné vkládání
Zvažte nepravidelné vkládání
potom můžeme spočítat normální kužel nejprve pozorováním
Pokud vytvoříme pomocné proměnné a pozorujte to
dávat vztah
Můžeme to použít k prezentaci normálního kužele:[je zapotřebí objasnění ]
Deformace na normální kužel
Předpokládat i: X → Y je vložení. To může být deformováno vložením X v normálním kuželu CXY v následujícím smyslu: existuje rodina vložení parametrizovaných prvkem t projektivní nebo afinní linie, takže pokud t= 0 vložení je vložení do normálního kuželu a pro další t je to izomorfní s daným vloženími. (Konstrukce viz níže.)
Jednou z těchto aplikací je definovat produkty křižovatky v Chow prsten. Předpokládejme to X a PROTI jsou uzavřené podsystémy Y s křižovatkou Ža chceme definovat součin křižovatky X a PROTI v Chowově kruhu Y. Deformace na normální kužel v tomto případě znamená, že nahradíme vložení X a Ž v Y a PROTI jejich normálními kužely CY(X) a CŽ(PROTI), takže chceme najít produkt X a CŽPROTI v CXYTo může být mnohem jednodušší: například pokud X je pravidelně vložené v Y pak je jeho normálním kuželem vektorový svazek, takže jsme omezeni na problém nalezení součinového součinu podchématu CŽPROTI vektorového svazku CXY s nulovou částí X. Tento produkt průniku je však dán aplikací gysinového izomorfismu na CŽPROTI.
Konkrétně lze deformaci na normální kužel vytvořit pomocí nafouknutí. Přesně tak
být nafouknutý podél . Výjimečný dělitel je , projektivní dokončení normálního kužele; pro zde použitý zápis viz vlastnosti kužele. Normální kužel je otevřeným podsystémem a je vložen jako nulový řez do .
Nyní si všimneme:
- Mapa , následuje projekce, je plochá.
- Existuje indukované uzavřené vložení
- M je triviální od nuly; tj., a omezuje na triviální vkládání
- .
- protože dělitel je součet
- kde je nafouknutí Y podél X a je vnímán jako efektivní dělitel Cartier.
- Jako dělitelé a protínají se v , kde sedí v nekonečnu .
Položka 1. je jasná (zkontrolujte torznost). Obecně řečeno , my máme . Od té doby je již účinným dělitelem Cartier , dostaneme
- ,
poddajný . Bod 3. vyplývá ze skutečnosti, že mapa odluhu π je izomorfismem od středu . Poslední dvě položky jsou vidět z explicitního lokálního výpočtu.
Poslední položka v předchozím odstavci nyní znamená, že obrázek v M neprotíná se . Tak, jeden dostane deformaci i k vložení nulové sekce X do normálního kužele.
Vnitřní normální kužel
Nechat X být Deligne – Mumford stack lokálně konečného typu nad polem k. Li označuje kotangensový komplex z X ve vztahu k k, pak vnitřní normální svazek na X je zásobník kvocientů
což je zásobník fppf -torzory na . Přesněji řečeno, předpokládejme, že existuje étale morfismus z afinního konečného typu k-systém U společně s místně uzavřeným ponořením do hladkého afinního konečného typu k-systém M. Pak se dá ukázat
The vnitřní normální kužel na X, označeno jako , je pak definován nahrazením normálního svazku s normálním kuželem ; tj.,
Příklad: Jeden to má je místní úplná křižovatka právě tehdy . Zejména pokud X je hladký, pak je klasifikace zásobníku tangenta svazku , což je komutativní skupinové schéma X.
Obecněji řečeno je morfismus typu Deligne-Mumford (DM) typu Artin Stacks, který je místně konečného typu. Pak je charakterizován jako uzavřený dílčí balíček tak, že pro jakoukoli mapu étale pro který faktory prostřednictvím nějaké hladké mapy (např., ), zpětný ráz je:
Viz také
Poznámky
Reference
- Behrend, K .; Fantechi, B. (01.03.1997). "Vnitřní normální kužel". Inventiones Mathematicae. 128 (1): 45–88. doi:10,1007 / s002220050136. ISSN 0020-9910.
- William Fulton. (1998), Teorie křižovatky, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 2 (2. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-62046-4, PAN 1644323
- Hartshorne, Robine (1977), Algebraická geometrie, Postgraduální texty z matematiky, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, PAN 0463157