Kompletní homogenní symetrický polynom - Complete homogeneous symmetric polynomial
![]() | Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace.Ledna 2017) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
v matematika, konkrétně v algebraická kombinatorika a komutativní algebra, kompletní homogenní symetrické polynomy jsou specifickým druhem symetrické polynomy. Každý symetrický polynom lze vyjádřit jako polynomiální výraz v úplných homogenních symetrických polynomech.
Definice
![]() | Tato sekce může být pro většinu čtenářů příliš technická na to, aby tomu rozuměli. Prosím pomozte to vylepšit na aby to bylo srozumitelné pro neodborníky, aniž by byly odstraněny technické podrobnosti. (Listopadu 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) |
Kompletní homogenní symetrický polynom stupně k v n proměnné X1, …, Xn, psaný hk pro k = 0, 1, 2, …, je součet všech monomials celkového stupně k v proměnných. Formálně,
Vzorec lze také napsat jako:
Vskutku, lp je jen multiplicita p v pořadí ik.
Prvních několik z těchto polynomů je
Tedy pro každé nezáporné celé číslo kexistuje přesně jeden úplný homogenní symetrický polynom stupně k v n proměnné.
Dalším způsobem, jak přepsat definici, je shrnout všechny sekvence ik, bez podmínky objednání ip ≤ ip + 1:
tady mp je multiplicita čísla p v pořadí ik.
Například
The polynomiální kruh vytvořený převzetím všech integrálních lineárních kombinací produktů úplných homogenních symetrických polynomů je komutativní kruh.
Příklady
Následující seznam uvádí n základní (jak je vysvětleno níže) úplné homogenní symetrické polynomy pro první tři kladné hodnoty n.
Pro n = 1:
Pro n = 2:
Pro n = 3:
Vlastnosti
Generující funkce
Kompletní homogenní symetrické polynomy jsou charakterizovány následující identitou formálních mocenských řad v t:
(tomu se říká generující funkce nebo generující řady pro úplné homogenní symetrické polynomy). Zde je každá část v konečném výrazu obvyklým způsobem, jak reprezentovat formální geometrické řady to je faktor prostředního výrazu. Identitu lze odůvodnit tím, že se vezme v úvahu, jak vzniká produkt těchto geometrických řad: každý faktor v produktu je získán vynásobením jednoho termínu vybraného z každé geometrické řady a každého monomialu v proměnných Xi se získá právě pro jeden takový výběr termínů a vynásobí se mocí t rovná se stupni monomia.
Výše uvedený vzorec je v jistém smyslu ekvivalentní k MacMahonova hlavní věta. Pravou stranu lze skutečně interpretovat jako 1/det (1 - tM), pro diagonální matici M s Xi na úhlopříčce. Na levé straně lze rozpoznat výrazy jako v MacMahonově hlavní větě. Diagonalizovatelné matice jsou husté v množině všech matic a tato úvaha dokazuje celou teorém.
Vztah s elementárními symetrickými polynomy
Mezi elementární symetrické polynomy a úplné homogenní:
který je platný pro všechny m > 0a libovolný počet proměnných n. Nejjednodušší způsob, jak to zjistit, je identita formálních mocenských řad t pro elementární symetrické polynomy analogické s výše uvedenými pro úplné homogenní polynomy:
(toto je vlastně identita polynomů v t, protože po En(X1, …, Xn) elementární symetrické polynomy se stanou nulami). Vynásobením této funkce generováním pro úplné homogenní symetrické polynomy získáme konstantní řadu 1 a vztah mezi elementárními a úplnými homogenními polynomy vyplývá z porovnání koeficientů tm. Trochu přímější způsob, jak pochopit tento vztah, je zvážit příspěvky v součtu zahrnující pevný monomiál Xα stupně m. Pro jakoukoli podmnožinu S z proměnných, které se objevují s nenulovým exponentem v monomii, existuje příspěvek zahrnující produkt XS těchto proměnných jako termín z Es(X1, …, Xn), kde s = #Sa monomiální Xα/XS z hm − s(X1, …, Xn); tento příspěvek má koeficient (−1)s. Vztah pak vyplývá ze skutečnosti, že
podle binomický vzorec, kde l < m označuje počet odlišných proměnných vyskytujících se (s nenulovým exponentem) v Xα. Od té doby E0(X1, …, Xn) a h0(X1, …, Xn) jsou obě rovny 1, lze izolovat od vztahu první nebo poslední část součtu. První dává posloupnost rovnic:
a tak dále, což umožňuje rekurzivně vyjádřit po sobě jdoucí úplné homogenní symetrické polynomy z hlediska elementárních symetrických polynomů; ten dává soubor rovnic
a tak dále, což umožňuje dělat inverzní činnost. První n elementární a úplné homogenní symetrické polynomy hrají v těchto vztazích naprosto podobné role, i když první polynomy se pak stávají nulovými, zatímco druhé ne. Tento jev lze chápat v prostředí kruh symetrických funkcí. Má to kruhový automorfismus který zaměňuje sekvence n základní a první n zcela homogenní symetrické funkce.
Sada úplných homogenních symetrických polynomů stupně 1 až n v n proměnné generuje the prsten z symetrické polynomy v n proměnné. Přesněji řečeno, kruh symetrických polynomů s celočíselnými koeficienty se rovná integrálnímu polynomickému kruhu
To lze formulovat tak, že to řekneme
pro muže algebraický základ kruhu symetrických polynomů v X1, …, Xn s integrálními koeficienty (jak je tomu také u elementárních symetrických polynomů). Totéž platí pro prsten ℤ celých čísel nahrazených jinými komutativní prsten. Tyto výroky vyplývají z analogických výroků pro elementární symetrické polynomy, kvůli naznačené možnosti vyjádření jakéhokoli druhu symetrických polynomů z hlediska druhého druhu.
Vztah s Stirlingovými čísly
Vyhodnocení celých celých homogenních polynomů a elementárních symetrických polynomů v celých číslech souvisí Stirlingova čísla:
Vztah s monomiálními symetrickými polynomy
Polynom hk(X1, …, Xn) je také součet Všechno odlišný monomiální symetrické polynomy stupně k v X1, …, Xn, například
Vztah se symetrickými tenzory
Zvažte n-dimenzionální vektorový prostor PROTI a lineární operátor M : PROTI → PROTI s vlastními hodnotami X1, X2, …, Xn. Označit podle Symk(PROTI) své kth symetrický tenzorový výkon a MSym (k) indukovaný operátor Symk(PROTI) → Symk(PROTI).
Tvrzení:
Důkaz je snadný: zvažte vlastní základnu Ei pro M. Základ v Symk(PROTI) lze indexovat podle sekvencí i1 ≤ i2 ≤ … ≤ ikve skutečnosti zvažte symetrizaci
- .
Všechny tyto vektory jsou vlastní vektory pro MSym (k) s vlastními hodnotami
proto je tento návrh pravdivý.
Podobně lze vyjádřit elementární symetrické polynomy prostřednictvím stop přes antisymetrické tenzorové síly. Oba výrazy jsou subsumovány do výrazů Schurovy polynomy jako stopy po Schurovy funktory, které lze považovat za Weylův vzorec znaků pro GL (PROTI).
Viz také
- Symetrický polynom
- Elementární symetrický polynom
- Schurův polynom
- Newtonovy identity
- Věta MacMahon Master
- Symetrická funkce
- Teorie reprezentace
Reference
- Macdonald, I.G. (1979), Symetrické funkce a Hallovy polynomy. Oxfordské matematické monografie. Oxford: Clarendon Press.
- Macdonald, I.G. (1995), Symetrické funkce a Hallovy polynomy, druhé vydání. Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-850450-0 (brožovaný výtisk, 1998).
- Richard P. Stanley (1999), Enumerativní kombinatorika, Sv. 2. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-56069-1