Zbytková křižovatka - Residual intersection

v algebraická geometrie, problém zbytková křižovatka ptá se na následující:

Vzhledem k podmnožině Z v křižovatce ${ displaystyle bigcap _ {i = 1} ^ {r} X_ {i}}$ odrůd, pochopit doplněk Z v křižovatce; tj zbytková sada na Z.

Průsečík určuje třídu ${ displaystyle (X_ {1} cdots X_ {r})}$, křižovatkový produkt ve skupině Chow okolního prostoru a v této situaci je problém porozumět třídě, zbytková třída na Z:

${ displaystyle (X_ {1} cdots X_ {r}) - (X_ {1} cdots X_ {r}) ^ {Z}}$

kde ${ displaystyle - ^ {Z}}$ znamená část podporovanou na Z; klasicky stupeň podporované části Z se nazývá rovnocennost z Z.

Dvěma hlavními aplikacemi jsou řešení problémů ve výčtové geometrii (např. Steinerův kuželovitý problém ) a odvození vícebodový vzorec, vzorec umožňující jednomu spočítat nebo vyjmenovat body ve vlákně, i když jsou nekonečně blízko.

Problém zbytkové křižovatky sahá až do 19. století.^{[Citace je zapotřebí ]} Moderní formulace problémů a řešení jsou zásluhou Fultona a MacPhersona. Abych byl přesný, vyvíjejí teorie průniku způsobem řešení problémů zbytkových křižovatek (konkrétně použitím Třída Segre a normální kužel na křižovatku.) Zobecnění na situaci, kdy je oslaben předpoklad o pravidelném vkládání, je způsobeno (Kleiman 1981 ) chyba harv: žádný cíl: CITEREFKleiman1981 (Pomoc).

Vzorce

Quillenův vzorec nadměrného průniku

Vzorec v topologickém nastavení je způsoben (Quillen 1971 ) chyba harv: žádný cíl: CITEREFQuillen1971 (Pomoc).

Nyní předpokládejme, že jsme dostali Y ″ → Y' a předpokládejme i': X' = X ×_Y Y' → Y' je pravidelná codimension d' aby bylo možné definovat i'^! jako dříve. Nechat F být přebytečný balíček i a i^'; to znamená, že je to návrat k X" kvocientu z N normálním svazkem i'. Nechat E(F) být Eulerova třída (horní Třída Chern ) z F, z něhož vidíme homomorfismus A_k−d' (X") až A_k−d(X"). Pak

kde i^! je určován morfismem Y ″ → Y' → Y.

Nakonec je možné výše uvedenou konstrukci a vzorec zobecnit na kompletní křižovatkové morfismy; toto rozšíření je popsáno v § 6.6. stejně jako Ch. 17 místa cit.

Důkaz: Lze odvodit průnikový vzorec z poměrně explicitní formy gysinského homomorfismu. Nechat E být vektorovým balíčkem X hodnosti r a q: P(E ⊕ 1) → X the projektivní svazek (zde 1 znamená triviální svazek řádků). Jako obvykle jsme identita P(E ⊕ 1) jako disjunktní svazek P(E) a E. Pak existuje tautologická přesná sekvence

${ displaystyle 0 až { mathcal {O}} (- 1) až q ^ {*} E oplus 1 až xi až 0}$

na P(E ⊕ 1). Tvrdíme, že gysinský homomorfismus je uveden jako

${ displaystyle A_ {k} (E) až A_ {k-r} (X), , x mapsto q _ {*} (e ( xi) { overline {x}})}$

kde E(ξ) = C_r(ξ) je Eulerova třída ξ a ${ displaystyle { overline {x}}}$ je prvek A_k(P(E ⊕ 1)) který omezuje na X. Od injekce q^*: A_k−r(X) → A_k(P(E ⊕ 1)) rozdělíme, můžeme psát

${ displaystyle { overline {x}} = q ^ {*} y + z}$

kde z je třída cyklu podporovaná na P(EPodle vzorce Whitneyova součtu máme: C(q^*E) = (1 − C₁(Ó(1)))C(ξ) a tak dále

${ displaystyle e ( xi) = součet _ {0} ^ {r} c_ {1} ({ mathcal {O}} (1)) ^ {i} c_ {ri} (q ^ {*} E ).}$

Pak dostaneme:

${ displaystyle q _ {*} (e ( xi) q ^ {*} y) = součet _ {i = 0} ^ {r} s_ {ir} (E oplus 1) c_ {ri} (E) y}$

kde s_Já(E ⊕ 1) je i-th Třída Segre. Vzhledem k tomu, že nultý člen třídy Segre je identita a její negativní členy jsou nulové, výše uvedený výraz se rovná y. Dále od omezení ξ do P(E) má nikde nezmizející část a z je třída cyklu podporovaná na P(E), z toho vyplývá, že E(ξ)z = 0. Z tohoto důvodu psaní π pro projekční mapu E a j pro zařazení E na P(E⊕1), dostaneme:

${ displaystyle pi ^ {*} q _ {*} (e ( xi) { overline {x}}) = pi ^ {*} (y) = j ^ {*} q ^ {*} y = j ^ {*} ({ overline {x}} - z) = j ^ {*} ({ overline {x}}) = x}$

kde předposlední rovnost je z důvodu podpory jako dříve. Tím je dokončen důkaz o explicitní formě gysinského homomorfismu.

Zbytek je formální a přímý. Používáme přesnou sekvenci

${ displaystyle 0 až xi ' až xi až r ^ {*} F až 0}$

kde r je projekční mapa pro. Psaní P pro uzavření specializace PROTIpomocí vzorce Whitneyova součtu a vzorce pro projekci máme:

${ displaystyle i ^ {!} (V) = r _ {*} (e ( xi) P) = r _ {*} (e (r ^ {*} F) e ( xi ') P) = e ( F) r _ {*} (e ( xi ') P) = e (F) {i'} ^ {!} (V).}$

${ displaystyle square}$

Jedním zvláštním případem vzorce je vzorec vlastní křižovatky, který říká: vzhledem k pravidelnému vkládání i: X → Y s normálním svazkem N,

${ displaystyle i ^ {*} i _ {*} = e (N).}$

(Chcete-li to získat, vezměte si Y' = Y ″ = X.) Například z tohoto a projekční vzorec, když X, Y jsou hladké, lze odvodit vzorec:

${ displaystyle i _ {*} (x) i _ {*} (y) = i _ {*} (e (N) xy).}$

v Chowově kruhu Y.

Nechat ${ displaystyle f: { widetilde {Y}} do Y}$ být nafouknutý podél uzavřeného podsystému X, ${ displaystyle { widetilde {X}}}$ výjimečný dělitel a ${ displaystyle g: { widetilde {g}}: { widetilde {X}} až X}$ omezení F. Převzít F lze psát jako uzavřené ponoření následované hladkým morfismem (například Y je kvazi-projektivní). Pak od ${ displaystyle f ^ {*} i _ {*} = i ^ {!} g ^ {*}}$, jeden dostane:

Příklady

V celém příkladu je základní pole algebraicky uzavřeno a má charakteristickou nulu. Všechny níže uvedené příklady (kromě prvního) pocházejí z (Fulton 1998 ) chyba harv: žádný cíl: CITEREFFulton1998 (Pomoc).

Příklad: průnik dvou rovinných křivek obsahujících stejnou součást

Nechat ${ displaystyle C_ {1} = Z (x_ {0} x_ {1})}$ a ${ displaystyle C_ {2} = Z (x_ {0} x_ {2})}$ být dvě rovinné křivky v ${ displaystyle mathbb {P} ^ {2}}$. Nastavit teoreticky, jejich průnik

${ displaystyle { begin {aligned} C_ {1} cap C_ {2} & = Z (x_ {1}, x_ {2}) cup Z (x_ {0}) & = [1: 0 : 0] cup {[0: a: b] in mathbb {P} ^ {2} } & = Z_ {1} cup Z_ {2} end {zarovnáno}}}$

je spojení bodu a vloženého ${ displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$. Podle Bézoutova věta, očekává se, že by tato křižovatka měla obsahovat ${ displaystyle 4}$ bodů, protože se jedná o průsečík dvou kuželoseček, takže interpretace tohoto průniku vyžaduje zbytkový průnik. Pak

${ displaystyle (C_ {1} cap C_ {2}) ^ {Z_ {1}} = left {{ frac {c (N_ {C_ {1} / mathbb {P} ^ {2}} ) c (N_ {C_ {2} / mathbb {P} ^ {2}})}} c (N_ {Z_ {1} / mathbb {P} ^ {2}})}} vpravo } _ {0} v A_ {0} (Z_ {1})}$${ displaystyle (C_ {1} cap C_ {2}) ^ {Z_ {2}} = left {{ frac {c (N_ {C_ {1} / mathbb {P} ^ {2}} ) c (N_ {C_ {2} / mathbb {P} ^ {2}})}} c (N_ {Z_ {2} / mathbb {P} ^ {2}})}} vpravo } _ {1} v A_ {1} (Z_ {2})}$

Od té doby ${ displaystyle C_ {1}, C_ {2}}$ jsou oba stupně ${ displaystyle 2}$ hyperplochy, jejich normální svazek je návratem ${ displaystyle { mathcal {O}} (2)}$, proto čitatel dvou zbytkových složek je

${ displaystyle { begin {aligned} c ({ mathcal {O}} (2)) c ({ mathcal {O}} (2)) & = (1 + 2 [H]) (1 + 2 [ H]) & = 1 + 4 [H] +4 [H] ^ {2} end {zarovnáno}}}$

Protože ${ displaystyle Z_ {1}}$ je dán mizejícím místem ${ displaystyle Z (x_ {1}, x_ {2})}$ jeho normální svazek je ${ displaystyle { mathcal {O}} (1) oplus { mathcal {O}} (1)}$, proto

${ displaystyle { begin {aligned} c (N_ {Z_ {1} / mathbb {P} ^ {2}}) & = c ({ mathcal {O}} (1) oplus { mathcal {O }} (1)) & = (1+ [H]) (1+ [H]) & = 1 + 2 [H] + [H] ^ {2} & = 1 end { zarovnaný}}}$

od té doby ${ displaystyle Z_ {1}}$ je dimenze ${ displaystyle 0}$. Podobně je čitatel také ${ displaystyle 1}$, proto zbytková křižovatka má stupeň ${ displaystyle 1}$, jak se od té doby očekávalo ${ displaystyle Z_ {1}}$ je úplná křižovatka daná mizejícím místem ${ displaystyle Z (x_ {1}, x_ {2})}$. Také normální svazek ${ displaystyle Z_ {2}}$ je ${ displaystyle { mathcal {O}} (1)}$ protože je to dáno mizejícím místem ${ displaystyle Z (x_ {0})}$, tak

${ displaystyle c (N_ {Z_ {2}} / X) = 1 + [H]}$

Obrácení ${ displaystyle c (N_ {Z_ {2}} / X)}$ dává sérii

${ displaystyle { frac {1} {1+ [H]}} = 1- [H] + [H] ^ {2}}$

proto

${ displaystyle { begin {aligned} { frac {c (N_ {C_ {1} / mathbb {P} ^ {2}}) c (N_ {C_ {2} / mathbb {P} ^ {2 }})} {c (N_ {Z_ {2} / mathbb {P} ^ {2}})}} = & (1 + 4 [H] +4 [H] ^ {2}) (1- [ H] + [H] ^ {2}) = & (1- [H] + [H] ^ {2}) & + (4 [H] -4 [H] ^ {2}) & + 4 [H] ^ {2} = & 1 + 3 [H] + [H] ^ {2} = & 1 + 3 [H] end {zarovnáno}}}$

dává zbytkovou křižovatku ${ displaystyle 3 [H]}$ pro ${ displaystyle Z_ {2}}$. Posun vpřed tyto dvě třídy dává ${ displaystyle 4 [H] ^ {2}}$ v ${ displaystyle A ^ {*} ( mathbb {P} ^ {2})}$, podle přání.

Příklad: stupeň křivky ve třech plochách

Nechat ${ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, X_ {3} podmnožina mathbb {P} ^ {3}}$ být tři povrchy. Předpokládejme, že křižovatka teoreticko-schématická ${ displaystyle bigcap X_ {i}}$ je disjunktní spojení hladké křivky C a schéma nulové dimenze S. Lze se zeptat: jaký je stupeň S? Na to může odpovědět #vzorec.

Příklad: kuželosečka tečná k daným pěti řádkům

Rovinné kuželosečky jsou parametrizovány pomocí ${ displaystyle mathbb {P} ^ {{ binom {2 + 2} {2}} - 1} = mathbb {P} ^ {5}}$. Vzhledem k pěti obecným řádkům ${ displaystyle ell _ {1}, ldots, ell _ {5} podmnožina mathbb {P} ^ {2}}$, nechť ${ displaystyle H _ { ell _ {i}} podmnožina mathbb {P} ^ {5}}$ být hyperplochy kuželoseček tečny k ${ displaystyle ell _ {i}}$; lze ukázat, že tyto hyperplochy mají stupeň dva.

The průsečík ${ displaystyle bigcap _ {i} H _ { ell _ {i}}}$ obsahuje Veronese povrch ${ displaystyle Z simeq mathbb {P} ^ {2}}$ skládající se z dvojitých čar; je to schematicko-teoretická propojená součást ${ displaystyle bigcap _ {i} H _ { ell _ {i}}}$. Nechat ${ displaystyle h = c_ {1} ({ mathcal {O}} _ {Z} (1))}$být třídou nadroviny = první třída Chern z Ó(1) v Chow prsten z Z. Nyní, ${ displaystyle Z = mathbb {P} ^ {2} hookrightarrow mathbb {P} ^ {5}}$ takhle ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {5}} (1)}$ odtáhne zpět ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {2}} (2)}$ a tak normální svazek na ${ displaystyle H _ { ell _ {i}}}$ omezeno na Z je

${ displaystyle N_ {H _ { ell _ {i}} / mathbb {P} ^ {5}} | _ {Z} = { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {5}} (H _ { ell _ {i}}) | _ {Z} = { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {5}} (2) | _ {Z} = { mathcal {O }} _ {Z} (4).}$

Takže celkem Třída Chern toho je

${ displaystyle c (N_ {H _ { ell _ {i}} / mathbb {P} ^ {5}} | _ {Z}) = 1 + 4 h.}$

Podobně použití tohoto normálního svazku s regulárním ${ displaystyle X hookrightarrow Y}$ je ${ displaystyle T_ {Y} | _ {X} / T_ {X}}$ stejně jako Eulerova sekvence, dostaneme, že celková třída Chern normálního svazku ${ displaystyle Z hookrightarrow mathbb {P} ^ {5}}$ je

${ displaystyle c (N_ {Z / mathbb {P} ^ {5}}) = c (T _ { mathbb {P} ^ {5}} | _ {Z}) / c (T_ {Z}) = c ({ mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {5}} (1) ^ { oplus 6} | _ {Z}) / c ({ mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {2}} (1) ^ { oplus 3}) = (1 + 2h) ^ {6} / (1 + h) ^ {3}.}$

To znamená, že Třída Segre z ${ displaystyle Z hookrightarrow mathbb {P} ^ {5}}$ je

${ displaystyle s (Z, mathbb {P} ^ {5}) = c (N_ {Z / mathbb {P} ^ {5}}) ^ {- 1} = 1-9h + 51h ^ {2} .}$

Proto je rovnocennost Z je

${ displaystyle deg ((1 + 4h) ^ {5} (1-9h + 51h ^ {2})) = 160-180 + 51 = 31.}$

Podle Bézoutova věta, stupeň ${ displaystyle bigcap _ {i} H _ { ell _ {i}}}$ je ${ displaystyle 2 ^ {5} = 32}$ a proto zbytková množina sestává z jediného bodu, který odpovídá jedinečné kuželovité tečně k daným všem pěti řádkům.

Alternativně ekvivalence Z lze vypočítat pomocí #vzorec?; od té doby ${ displaystyle deg (c_ {1} (T _ { mathbb {P} ^ {2}})) = deg (c_ {2} (T _ { mathbb {P} ^ {2}})) = 3 }$ a ${ displaystyle deg (Z) = 4}$, to je:

${ displaystyle 3 + 4 (3) + (40-10 (6) +21) deg (Z) = 31.}$

Příklad: kuželosečka tečná k daným pěti kuželosečkám

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Březen 2019)

Předpokládejme, že máme pět rovinných kuželoseček ${ displaystyle C_ {1}, ldots, C_ {5} podmnožina mathbb {P} ^ {2}}$ v obecných pozicích. Lze postupovat přesně jako v předchozím příkladu. Tak tedy ${ displaystyle H_ {C_ {i}} podmnožina mathbb {P} ^ {5}}$ být hyperplocha kuželoseček tečna k ${ displaystyle C_ {i}}$; lze ukázat, že má stupeň 6. Průsečík ${ displaystyle bigcap _ {i} H_ {C_ {i}}}$ obsahuje povrch Veronese Z dvojitých čar.

Příklad: funkčnost konstrukce rafinovaného gysinského homomorfismu

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Březen 2019)

Fuctoriality je název sekce odkazuje: vzhledem k tomu dvě pravidelné vkládání ${ displaystyle X { overset {i} { hookrightarrow}} Y { overset {j} { hookrightarrow}} Z}$,

${ displaystyle (j circ i) ^ {!} = j ^ {!} circ i ^ {!}}$

kde rovnost má následující smysl:

Poznámky

Reference

• William Fulton (1998), „Kapitola 9 i část 17.6“, Teorie křižovatky, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 2 (2. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-62046-4, PAN  1644323
• S. L. Kleiman, vícebodové vzorce I. Iterace, Acta Math. 147 (1981), 13–49.
• Quillen, Základní důkazy některých výsledků teorie cobordism pomocí Steenrodových operací, 1971
• Ziv Ran, „Curvilinear enumerative geometry“, Preprint, University of Chicago, 1983.

Další čtení

• Teorie křižovatky s aplikacemi na invomenty Gromov-Witten