Kritérium stability Routh – Hurwitz - Routh–Hurwitz stability criterion

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Kritérium stability Routh – Hurwitz“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Dubna 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v teorie řídicího systému, Kritérium stability Routh – Hurwitz je matematický test, který je a nezbytné a dostatečné podmínka pro stabilita a lineární časově invariantní (LTI) kontrolní systém. Routhův test je efektivní rekurzivní algoritmus, který používá anglický matematik Edward John Routh navrženo v roce 1876 k určení, zda jsou všechny kořeny z charakteristický polynom a lineární systém mít záporné skutečné části.^[1] Německý matematik Adolf Hurwitz nezávisle navržené v roce 1895 uspořádat koeficienty polynomu do čtvercové matice, zvané Hurwitzova matice, a ukázal, že polynom je stabilní právě tehdy, pokud jsou posloupnosti determinantů jeho hlavních submatric všechny pozitivní.^[2] Tyto dva postupy jsou ekvivalentní, přičemž Routhův test poskytuje efektivnější způsob výpočtu Hurwitzových determinantů než jejich přímé výpočty. Polynomial splňující Routh – Hurwitzovo kritérium se nazývá a Hurwitzův polynom.

Důležitost kritéria je, že kořeny p charakteristické rovnice a lineární systém se zápornými reálnými částmi představují řešení E^pt systému, který je stabilní (ohraničený ). Kritérium tedy poskytuje způsob, jak určit, zda pohybové rovnice a lineární systém mít pouze stabilní řešení, aniž byste museli systém přímo řešit. U diskrétních systémů lze odpovídající test stability zpracovat podle Schur – Cohnova kritéria, Test poroty a Bistritzův test. S příchodem počítačů se kritérium stalo méně široce používaným, protože alternativou je řešení polynomu numericky a přímé získání aproximací ke kořenům.

Routhův test může být odvozen prostřednictvím použití Euklidovský algoritmus a Sturmova věta při hodnocení Cauchyho indexy. Hurwitz odvodil své podmínky jinak.^[3]

Pomocí Euklidova algoritmu

Kritérium souvisí s Routh – Hurwitzova věta. Z tvrzení této věty máme ${ displaystyle p-q = w (+ infty) -w (- infty)}$ kde:

• ${ displaystyle p}$ je počet kořenů polynomu ${ displaystyle f (z)}$ se zápornou skutečnou částí;
• ${ displaystyle q}$ je počet kořenů polynomu ${ displaystyle f (z)}$ s kladnou skutečnou částí (podle věty, ${ displaystyle f}$ nemá mít žádné kořeny ležící na imaginární čáře);
• w(X) je počet variant zobecněný Sturmův řetězec získáno od ${ displaystyle P_ {0} (y)}$ a ${ displaystyle P_ {1} (y)}$ (postupným Euklidovské divize ) kde ${ displaystyle f (iy) = P_ {0} (y) + iP_ {1} (y)}$ opravdu y.

Podle základní věta o algebře, každý polynom stupně n musí mít n kořeny v komplexní rovině (tj. pro an ƒ bez kořenů na imaginární linii, p + q = n). Máme tedy podmínku, že ƒ je (Hurwitz) stabilní polynom kdyby a jen kdyby p − q = n (dále jen důkaz je uveden níže). Pomocí věty Routh – Hurwitz můžeme podmínku nahradit p a q podmínkou na zobecněném Sturmově řetězci, což dá podmínku na koeficientechƒ.

Pomocí matic

Nechat F(z) být komplexní polynom. Proces je následující:

1. Vypočítejte polynomy ${ displaystyle P_ {0} (y)}$ a ${ displaystyle P_ {1} (y)}$ takhle ${ displaystyle f (iy) = P_ {0} (y) + iP_ {1} (y)}$ kde y je skutečné číslo.
2. Vypočítat Sylvesterova matice spojené s ${ displaystyle P_ {0} (y)}$ a ${ displaystyle P_ {1} (y)}$.
3. Uspořádejte každý řádek tak, aby lichý řádek a následující měl stejný počet úvodních nul.
4. Vypočítat každý hlavní vedlejší té matice.
5. Pokud je alespoň jeden z nezletilých záporný (nebo nula), pak polynom F není stabilní.

Příklad

• Nechat ${ displaystyle f (z) = az ^ {2} + bz + c}$ (pro jednoduchost vezmeme skutečné koeficienty) kde ${ displaystyle c neq 0}$ (vyhnout se kořenu v nule, abychom mohli použít Routh – Hurwitzovu větu). Nejprve musíme vypočítat skutečné polynomy ${ displaystyle P_ {0} (y)}$ a ${ displaystyle P_ {1} (y)}$:

${ displaystyle f (iy) = - ay ^ {2} + iby + c = P_ {0} (y) + iP_ {1} (y) = - ay ^ {2} + c + i (podle).}$

Dále rozdělíme tyto polynomy, abychom získali zobecněný Sturmův řetězec:

• ${ displaystyle P_ {0} (y) = ((- a / b) y) P_ {1} (y) + c,}$ výnosy ${ displaystyle P_ {2} (y) = - c,}$
• ${ displaystyle P_ {1} (y) = ((- b / c) y) P_ {2} (y),}$ výnosy ${ displaystyle P_ {3} (y) = 0}$ a Euklidovské dělení zastaví.

Všimněte si, že jsme museli předpokládat b odlišné od nuly v první divizi. Zobecněný řetězec Sturm je v tomto případě ${ displaystyle (P_ {0} (y), P_ {1} (y), P_ {2} (y)) = (c-ay ^ {2}, od, -c)}$. Uvedení ${ displaystyle y = + infty}$, znamení ${ displaystyle c-ay ^ {2}}$ je opačné znamení A a znamení podle je znamením b. Když jsme dali ${ displaystyle y = - infty}$, znaménko prvního prvku řetězu je opět opačné znaménko A a znamení podle je opačné znamení b. Konečně, -C má vždy opačný znak C.

Předpokládejme, že teď F je stabilní v Hurwitzu. Tohle znamená tamto ${ displaystyle w (+ infty) -w (- infty) = 2}$ (stupeň F). Podle vlastností funkce w, to je stejné jako ${ displaystyle w (+ infty) = 2}$ a ${ displaystyle w (- infty) = 0}$. Tím pádem, A, b a C musí mít stejné znamení. Našli jsme tedy nezbytná podmínka stability pro polynomy stupně 2.

Routh – Hurwitzovo kritérium pro polynomy druhého a třetího řádu

• Polynom druhého stupně, ${ displaystyle P (s) = s ^ {2} + a_ {1} s + a_ {0}}$má oba kořeny v otevřené levé poloviční rovině (a systém s charakteristickou rovnicí ${ displaystyle P (s) = 0}$ je stabilní) tehdy a jen tehdy, pokud oba koeficienty splňují ${ displaystyle a_ {i}> 0}$.
• Polynom třetího řádu ${ displaystyle P (s) = s ^ {3} + a_ {2} s ^ {2} + a_ {1} s + a_ {0}}$má všechny kořeny v otevřené levé poloviční rovině právě tehdy ${ displaystyle a_ {2}}$, ${ displaystyle a_ {0}}$ jsou pozitivní a ${ displaystyle a_ {2} a_ {1}> a_ {0}.}$
• Obecně kritérium stability Routh uvádí, že polynom má všechny kořeny v otevřené levé poloviční rovině právě tehdy, pokud mají všechny prvky prvního sloupce pole Routh stejné znaménko.

Příklad vyššího řádu

Ke stanovení stability lze použít tabulkovou metodu, když je obtížné získat kořeny charakteristického polynomu vyššího řádu. Pro npolynom th-stupně

• ${ displaystyle D (s) = a_ {n} s ^ {n} + a_ {n-1} s ^ {n-1} + cdots + a_ {1} s + a_ {0}}$

stůl má n + 1 řádky a následující struktura:

${ displaystyle a_ {n}}$	${ displaystyle a_ {n-2}}$	${ displaystyle a_ {n-4}}$	${ displaystyle tečky}$
${ displaystyle a_ {n-1}}$	${ displaystyle a_ {n-3}}$	${ displaystyle a_ {n-5}}$	${ displaystyle tečky}$
${ displaystyle b_ {1}}$	${ displaystyle b_ {2}}$	${ displaystyle b_ {3}}$	${ displaystyle tečky}$
${ displaystyle c_ {1}}$	${ displaystyle c_ {2}}$	${ displaystyle c_ {3}}$	${ displaystyle tečky}$
${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle ddots}$

kde prvky ${ displaystyle b_ {i}}$ a ${ displaystyle c_ {i}}$ lze vypočítat takto:

• ${ displaystyle b_ {i} = { frac {a_ {n-1} krát {a_ {n-2i}} - a_ {n} krát {a_ {n- (2i + 1)}}} {a_ {n-1}}}.}$
• ${ displaystyle c_ {i} = { frac {b_ {1} krát {a_ {n- (2i + 1)}} - a_ {n-1} krát {b_ {i + 1}}} {b_ {1}}}.}$

Po dokončení bude počet změn znaménka v prvním sloupci počet nezáporných kořenů.

V prvním sloupci jsou dvě změny znaménka (0,75 → −3 a −3 → 3), takže existují dva nezáporné kořeny, kde je systém nestabilní.

Charakteristická rovnice servosystému je dána vztahem^[4] :

• ${ displaystyle b_ {0} s ^ {4} + b_ {1} s ^ {3} + b_ {2} s ^ {2} + b_ {3} s + b_ {4} = 0}$

${ displaystyle b_ {0}}$	${ displaystyle b_ {2}}$	${ displaystyle b_ {4}}$	0
${ displaystyle b_ {1}}$	${ displaystyle b_ {3}}$	0	0
${ displaystyle b_ {1} b_ {2} -b_ {0} b_ {3} nad b_ {1}}$	${ displaystyle b_ {1} b_ {4} -b_ {0} krát 0 nad b_ {1}}$=${ displaystyle b_ {4}}$	0	0
${ displaystyle (b_ {1} b_ {2} -b_ {0} b_ {3}) b_ {3} -b_ {1} ^ {2} b_ {4} nad b_ {1} b_ {2} - b_ {0} b_ {3}}$	0	0	0
${ displaystyle b_ {4}}$	0	0	0

pro stabilitu musí být všechny prvky v prvním sloupci pole Routh kladné. Podmínky, které musí být splněny pro stabilitu daného systému, jsou tedy následující^[4] :

${ displaystyle b_ {1}> 0, b_ {1} b_ {2} -b_ {0} b_ {3}> 0, (b_ {1} b_ {2} -b_ {0} b_ {3}) b_ {3} -b_ {1} ^ {2} b_ {4}> 0, b_ {4}> 0}$^[4]

Vidíme, že pokud

${ displaystyle (b_ {1} b_ {2} -b_ {0} b_ {3}) b_ {3} -b_ {1} ^ {2} b_ {4} geq 0}$

pak

${ displaystyle b_ {1} b_ {2} -b_ {0} b_ {3}> 0}$

Je spokojen.

• ${ displaystyle s ^ {4} + 6s ^ {3} + 11s ^ {2} + 6s + 200 = 0}$^[5]

Máme následující tabulku:

existují dvě změny znaménka. Systém je nestabilní, protože má dva póly pravé poloviny roviny a dva póly levé poloviny roviny. Systém nemůže mít póly jω, protože se v tabulce Routh neobjevila řada nul.^[5]

Někdy přítomnost pólů na imaginární ose vytváří situaci mezní stability. V takovém případě se koeficienty „Routhova pole“ v celé řadě stanou nulovými, a proto další řešení polynomu pro hledání změn ve znaménku není možné. Pak přichází na řadu jiný přístup. Řádek polynomu, který je těsně nad řádkem obsahujícím nuly, se nazývá „pomocný polynom“.

• ${ displaystyle s ^ {6} + 2s ^ {5} + 8s ^ {4} + 12s ^ {3} + 20s ^ {2} + 16s + 16 = 0. ,}$

Máme následující tabulku:

V takovém případě je pomocný polynom ${ displaystyle A (s) = 2s ^ {4} + 12s ^ {2} +16. ,}$ což se opět rovná nule. Dalším krokem je rozlišení výše uvedené rovnice, která poskytne následující polynom. ${ displaystyle B (s) = 8s ^ {3} + 24s ^ {1}. ,}$. Koeficienty řádku obsahujícího nulu se nyní stávají „8“ a „24“. Proces Routhova pole probíhá pomocí těchto hodnot, které dávají dva body na imaginární ose. Tyto dva body na imaginární ose jsou hlavní příčinou mezní stability.^[6]

Viz také

Reference

• Felix Gantmacher (J.L. Brenner translator) (1959) Aplikace teorie matic, str. 177–80, New York: Interscience.
• Pippard, A. B .; Dicke, R. H. (1986). „Odezva a stabilita, úvod do fyzikální teorie“. American Journal of Physics. 54 (11): 1052. Bibcode:1986AmJPh..54.1052P. doi:10.1119/1.14826. Archivovány od originál dne 2016-05-14. Citováno 2008-05-07.
• Richard C. Dorf, Robert H. Bishop (2001). Moderní řídicí systémy (9. vydání). Prentice Hall. ISBN  0-13-030660-6.
• Rahman, Q. I .; Schmeisser, G. (2002). Analytická teorie polynomů. Monografie London Mathematical Society. Nová řada. 26. Oxford: Oxford University Press. ISBN  0-19-853493-0. Zbl  1072.30006.
• Weisstein, Eric W. „Routh-Hurwitzova věta“. MathWorld - webový zdroj Wolfram.

externí odkazy

• Skript MATLAB implementující Routh-Hurwitzův test
• Online implementace kritéria Routh-Hurwitz-Criterion