Odvození pole Routh - Derivation of the Routh array

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Únor 2011) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Pole Routh je a tabulková metoda umožňující jednomu zřídit stabilita systému využívajícího pouze koeficienty charakteristiky polynomiální. Středem pole návrh řídicích systémů, Routh – Hurwitzova věta a Routh pole se objeví pomocí Euklidovský algoritmus a Sturmova věta při hodnocení Cauchyho indexy.

Cauchyho index

Vzhledem k systému:

${displaystyle {egin {aligned} f (x) & {} = a_ {0} x ^ {n} + a_ {1} x ^ {n-1} + cdots + a_ {n} & {} quad (1) & {} = (x-r_ {1}) (x-r_ {2}) cdots (x-r_ {n}) & {} quad (2) end {aligned}}}$

Za předpokladu, že žádné kořeny ${displaystyle f (x) = 0}$ ležet na imaginární ose a nechat

${displaystyle N}$ = Počet kořenů ${displaystyle f (x) = 0}$ se zápornými reálnými částmi a

${displaystyle P}$ = Počet kořenů ${displaystyle f (x) = 0}$ s pozitivními skutečnými částmi

pak máme

${displaystyle N + P = nquad (3)}$

Vyjadřování ${displaystyle f (x)}$ v polární formě, máme

${displaystyle f (x) = ho (x) e ^ {j heta (x)} quad (4)}$

kde

${displaystyle ho (x) = {sqrt {{mathfrak {Re}} ^ {2} [f (x)] + {mathfrak {Im}} ^ {2} [f (x)]}} quad (5)}$

a

${displaystyle heta (x) = an ^ {- 1} {ig (} {mathfrak {Im}} [f (x)] / {mathfrak {Re}} [f (x)] {ig)} quad (6) }$

od (2) všimněte si toho

${displaystyle heta (x) = heta _ {r_ {1}} (x) + heta _ {r_ {2}} (x) + cdots + heta _ {r_ {n}} (x) quad (7)}$

kde

${displaystyle heta _ {r_ {i}} (x) = úhel (x-r_ {i}) quad (8)}$

Nyní, když i^th kořen ${displaystyle f (x) = 0}$ má pozitivní skutečnou část, pak (pomocí zápisu y = (RE [y], IM [y]))

${displaystyle {egin {aligned} heta _ {r_ {i}} (x) {ig |} _ {x = -jinfty} & = angle (x-r_ {i}) {ig |} _ {x = -jinfty } & = úhel (0- {mathfrak {Re}} [r_ {i}], - infty - {mathfrak {Im}} [r_ {i}]) & = úhel (- | {mathfrak {Re}} [r_ {i}] |, -infty) & = pi + lim _ {phi o infty} an ^ {- 1} phi = {frac {3pi} {2}} quad (9) end {aligned}} }$

a

${displaystyle heta _ {r_ {i}} (x) {ig |} _ {x = j0} = úhel (- | {mathfrak {Re}} [r_ {i}] |, 0) = pi - an ^ { -1} 0 = pi quad (10)}$

a

${displaystyle heta _ {r_ {i}} (x) {ig |} _ {x = jinfty} = úhel (- | {mathfrak {Re}} [r_ {i}] |, infty) = pi -lim _ { phi o infty} an ^ {- 1} phi = {frac {pi} {2}} quad (11)}$

Podobně, pokud i^th kořen ${displaystyle f (x) = 0}$ má negativní skutečnou část,

${displaystyle {egin {aligned} heta _ {r_ {i}} (x) {ig |} _ {x = -jinfty} & = angle (x-r_ {i}) {ig |} _ {x = -jinfty } & = úhel (0- {mathfrak {Re}} [r_ {i}], - infty - {mathfrak {Im}} [r_ {i}]) & = úhel (| {mathfrak {Re}} [ r_ {i}] |, -infty) & = 0-lim _ {phi o infty} an ^ {1} phi = - {frac {pi} {2}} quad (12) end {aligned}}}$

a

${displaystyle heta _ {r_ {i}} (x) {ig |} _ {x = j0} = úhel (| {mathfrak {Re}} [r_ {i}] |, 0) = an ^ {- 1} 0 = 0, čtyřkolka (13)}$

a

${displaystyle heta _ {r_ {i}} (x) {ig |} _ {x = jinfty} = úhel (| {mathfrak {Re}} [r_ {i}] |, infty) = lim _ {phi o infty } an ^ {- 1} phi = {frac {pi} {2}}, quad (14)}$

Zjistili jsme, že od (9) do (11) ${displaystyle heta _ {r_ {i}} (x) {Big |} _ {x = -jinfty} ^ {x = jinfty} = - pi}$ když i^th kořen ${displaystyle f (x)}$ má pozitivní skutečnou část a od (12) do (14) to zjistíme ${displaystyle heta _ {r_ {i}} (x) {Big |} _ {x = -jinfty} ^ {x = jinfty} = pi}$ když i^th kořen ${displaystyle f (x)}$ má negativní skutečnou část. Tím pádem,

${displaystyle heta (x) {Big |} _ {x = -jinfty} ^ {x = jinfty} = úhel (x-r_ {1}) {Big |} _ {x = -jinfty} ^ {x = jinfty} + úhel (x-r_ {2}) {Big |} _ {x = -jinfty} ^ {x = jinfty} + cdots + úhel (x-r_ {n}) {velký |} _ {x = -jinfty} ^ {x = jinfty} = pi N-pi Pquad (15)}$

Pokud tedy definujeme

${displaystyle Delta = {frac {1} {pi}} heta (x) {Big |} _ {- jinfty} ^ {jinfty} quad (16)}$

pak máme vztah

${displaystyle N-P = Delta quad (17)}$

a kombinace (3) a (17) nám dává

${displaystyle N = {frac {n + Delta} {2}}}$ a ${displaystyle P = {frac {n-Delta} {2}} quad (18)}$

Proto vzhledem k rovnici ${displaystyle f (x)}$ stupně ${displaystyle n}$ musíme tuto funkci pouze vyhodnotit ${displaystyle Delta}$ určit ${displaystyle N}$, počet kořenů se zápornými reálnými částmi a ${displaystyle P}$, počet kořenů s kladnými reálnými částmi.

Obrázek 1

${displaystyle an (heta)}$ proti ${displaystyle heta}$

V souladu s (6) a obrázkem 1 je graf ${displaystyle an (heta)}$ vs. ${displaystyle heta}$, různé ${displaystyle x}$ v intervalu (a, b) kde ${displaystyle heta _ {a} = heta (x) | _ {x = ja}}$ a ${displaystyle heta _ {b} = heta (x) | _ {x = jb}}$ jsou celočíselné násobky ${displaystyle pi}$, tato variace způsobující funkci ${displaystyle heta (x)}$ se zvýšil o ${displaystyle pi}$, označuje, že v průběhu cestování z bodu a do bodu b, ${displaystyle heta}$ „skočil“ z ${displaystyle + infty}$ na ${displaystyle -infty}$ ještě jednou, než skočil ${displaystyle -infty}$ na ${displaystyle + infty}$. Podobně, když se budeme lišit ${displaystyle x}$ v průběhu intervalu (a, b) tato změna způsobuje ${displaystyle heta (x)}$ snížit o ${displaystyle pi}$, kde znovu ${displaystyle heta}$ je násobkem ${displaystyle pi}$ u obou ${displaystyle x = ja}$ a ${displaystyle x = jb}$, to naznačuje ${displaystyle an heta (x) = {mathfrak {Im}} [f (x)] / {mathfrak {Re}} [f (x)]}$ vyskočil z ${displaystyle -infty}$ na ${displaystyle + infty}$ ještě jednou, než skočil ${displaystyle + infty}$ na ${displaystyle -infty}$ tak jako ${displaystyle x}$ se v uvedeném intervalu měnila.

Tím pádem, ${displaystyle heta (x) {Big |} _ {- jinfty} ^ {jinfty}}$ je ${displaystyle pi}$ krát rozdíl mezi počtem bodů, ve kterém ${displaystyle {mathfrak {Im}} [f (x)] / {mathfrak {Re}} [f (x)]}$ skočí z ${displaystyle -infty}$ na ${displaystyle + infty}$ a počet bodů, ve kterých ${displaystyle {mathfrak {Im}} [f (x)] / {mathfrak {Re}} [f (x)]}$ skočí z ${displaystyle + infty}$ na ${displaystyle -infty}$ tak jako ${displaystyle x}$ rozsahy v intervalu ${displaystyle (-jinfty, + jinfty,)}$ za předpokladu, že v ${displaystyle x = pm jinfty}$, ${displaystyle an [heta (x)]}$ je definováno.

Obrázek 2

${displaystyle -cot (heta)}$ proti ${displaystyle heta}$

V případě, že je výchozím bodem nesoulad (tj. ${displaystyle heta _ {a} = pi / 14:00 ipi}$, i = 0, 1, 2, ...) konečný bod bude také na nesrovnalosti, podle rovnice (17) (od ${displaystyle N}$ je celé číslo a ${displaystyle P}$ je celé číslo, ${displaystyle Delta}$ bude celé číslo). V tomto případě můžeme dosáhnout stejného indexu (rozdíl v kladných a záporných skokech) posunutím os tangenciální funkce o ${displaystyle pi / 2}$, přidáním ${displaystyle pi / 2}$ na ${displaystyle heta}$. Náš index je tedy nyní plně definován pro jakoukoli kombinaci koeficientů v ${displaystyle f (x)}$ hodnocením ${displaystyle an [heta] = {mathfrak {Im}} [f (x)] / {mathfrak {Re}} [f (x)]}$ za interval (a, b) = ${displaystyle (+ jinfty, -jinfty)}$ když náš výchozí (a tedy i koncový) bod není nesrovnalost, a to hodnocením

${displaystyle an [heta '(x)] = an [heta + pi / 2] = - cot [heta (x)] = - {mathfrak {Re}} [f (x)] / {mathfrak {Im}} [ f (x)] quad (19)}$

v uvedeném intervalu, když je náš výchozí bod v nesrovnalosti.

Tento rozdíl, ${displaystyle Delta}$, negativních a pozitivních nesrovnalostí při skákání, které se vyskytly při procházení ${displaystyle x}$ z ${displaystyle -jinfty}$ na ${displaystyle + jinfty}$ se nazývá Cauchyův index tečny fázového úhlu, přičemž fázový úhel je ${displaystyle heta (x)}$ nebo ${displaystyle heta '(x)}$, v závislosti na ${displaystyle heta _ {a}}$ je celočíselný násobek ${displaystyle pi}$ nebo ne.

Kritérium Routh

Abychom odvodili Routhovo kritérium, nejprve použijeme jinou notaci k rozlišení mezi sudými a lichými členy ${displaystyle f (x)}$:

${displaystyle f (x) = a_ {0} x ^ {n} + b_ {0} x ^ {n-1} + a_ {1} x ^ {n-2} + b_ {1} x ^ {n- 3} + cdots quad (20)}$

Nyní máme:

${displaystyle {egin {aligned} f (jomega) & = a_ {0} (jomega) ^ {n} + b_ {0} (jomega) ^ {n-1} + a_ {1} (jomega) ^ {n- 2} + b_ {1} (jomega) ^ {n-3} + cdots & {} quad (21) & = a_ {0} (jomega) ^ {n} + a_ {1} (jomega) ^ {n -2} + a_ {2} (jomega) ^ {n-4} + cdots & {} quad (22) & + b_ {0} (jomega) ^ {n-1} + b_ {1} (jomega) ^ {n-3} + b_ {2} (jomega) ^ {n-5} + cdots end {zarovnáno}}}$

Proto pokud ${displaystyle n}$ je dokonce,

${displaystyle {egin {aligned} f (jomega) & = (- 1) ^ {n / 2} {ig [} a_ {0} omega ^ {n} -a_ {1} omega ^ {n-2} + a_ {2} omega ^ {n-4} -cdots {ig]} & {} quad (23) & + j (-1) ^ {(n / 2) -1} {ig [} b_ {0} omega ^ {n-1} -b_ {1} omega ^ {n-3} + b_ {2} omega ^ {n-5} -cdots {ig]} & {} end {zarovnáno}}}$

a pokud ${displaystyle n}$ je liché:

${displaystyle {egin {aligned} f (jomega) & = j (-1) ^ {(n-1) / 2} {ig [} a_ {0} omega ^ {n} -a_ {1} omega ^ {n -2} + a_ {2} omega ^ {n-4} -cdots {ig]} & {} quad (24) & + (- 1) ^ {(n-1) / 2} {ig [} b_ {0} omega ^ {n-1} -b_ {1} omega ^ {n-3} + b_ {2} omega ^ {n-5} -cdots {ig]} & {} end {zarovnáno}}}$

Nyní pozorujte, že pokud ${displaystyle n}$ je liché celé číslo, pak (3) ${displaystyle N + P}$ je zvláštní. Li ${displaystyle N + P}$ je tedy liché celé číslo ${displaystyle N-P}$ je také zvláštní. Stejný argument podobně ukazuje, že když ${displaystyle n}$ je dokonce, ${displaystyle N-P}$ bude rovnoměrné. Rovnice (15) ukazuje, že pokud ${displaystyle N-P}$ je dokonce, ${displaystyle heta}$ je celočíselný násobek ${displaystyle pi}$. Proto, ${displaystyle an (heta)}$ je definováno pro ${displaystyle n}$ sudý, a je tedy správným indexem, který se použije, když n je sudé, a podobně ${displaystyle an (heta ') = an (heta + pi) = - postýlka (heta)}$ je definováno pro ${displaystyle n}$ zvláštní, což je v tomto druhém případě správný index.

Tedy z (6) a (23), pro ${displaystyle n}$ dokonce:

${displaystyle Delta = I _ {- infty} ^ {+ infty} {frac {- {mathfrak {Im}} [f (x)]} {{mathfrak {Re}} [f (x)]}} = I _ {- infty} ^ {+ infty} {frac {b_ {0} omega ^ {n-1} -b_ {1} omega ^ {n-3} + cdots} {a_ {0} omega ^ {n} -a_ {1 } omega ^ {n-2} + ldots}} čtyřkolka (25)}$

a od (19) a (24) pro ${displaystyle n}$ zvláštní:

${displaystyle Delta = I _ {- infty} ^ {+ infty} {frac {{mathfrak {Re}} [f (x)]} {{mathfrak {Im}} [f (x)]}} = I _ {- infty } ^ {+ infty} {frac {b_ {0} omega ^ {n-1} -b_ {1} omega ^ {n-3} + ldots} {a_ {0} omega ^ {n} -a_ {1} omega ^ {n-2} + ldots}} quad (26)}$

Lo a hle, hodnotíme stejný Cauchyův index pro oba:

${displaystyle Delta = I _ {- infty} ^ {+ infty} {frac {b_ {0} omega ^ {n-1} -b_ {1} omega ^ {n-3} + ldots} {a_ {0} omega ^ {n} -a_ {1} omega ^ {n-2} + ldots}} čtyřkolka (27)}$

Sturmova věta

Sturm dává nám metodu hodnocení ${displaystyle Delta = I _ {- infty} ^ {+ infty} {frac {f_ {2} (x)} {f_ {1} (x)}}}$. Jeho věta uvádí následovně:

Vzhledem k posloupnosti polynomů ${displaystyle f_ {1} (x), f_ {2} (x), tečky, f_ {m} (x)}$ kde:

1) Pokud ${displaystyle f_ {k} (x) = 0}$ pak ${displaystyle f_ {k-1} (x) eq 0}$, ${displaystyle f_ {k + 1} (x) eq 0}$, a ${displaystyle operatorname {sign} [f_ {k-1} (x)] = - operatorname {sign} [f_ {k + 1} (x)]}$

2) ${displaystyle f_ {m} (x) eq 0}$ pro ${displaystyle -infty$

a definujeme ${displaystyle V (x)}$ jako počet změn znaménka v pořadí ${displaystyle f_ {1} (x), f_ {2} (x), tečky, f_ {m} (x)}$ pro pevnou hodnotu ${displaystyle x}$, pak:

${displaystyle Delta = I _ {- infty} ^ {+ infty} {frac {f_ {2} (x)} {f_ {1} (x)}} = V (-infty) -V (+ infty) quad (28 )}$

Sekvence splňující tyto požadavky se získá pomocí Euklidovský algoritmus, což je následující:

Začínání s ${displaystyle f_ {1} (x)}$ a ${displaystyle f_ {2} (x)}$a označující zbytek ${displaystyle f_ {1} (x) / f_ {2} (x)}$ podle ${displaystyle f_ {3} (x)}$ a podobně označující zbytek ${displaystyle f_ {2} (x) / f_ {3} (x)}$ podle ${displaystyle f_ {4} (x)}$a tak dále získáváme vztahy:

${displaystyle {egin {aligned} & f_ {1} (x) = q_ {1} (x) f_ {2} (x) -f_ {3} (x) quad (29) & f_ {2} (x) = q_ {2} (x) f_ {3} (x) -f_ {4} (x) & ldots & f_ {m-1} (x) = q_ {m-1} (x) f_ {m} (x ) end {zarovnáno}}}$

nebo obecně

${displaystyle f_ {k-1} (x) = q_ {k-1} (x) f_ {k} (x) -f_ {k + 1} (x)}$

kde poslední nenulový zbytek, ${displaystyle f_ {m} (x)}$ bude tedy nejvyšším společným faktorem ${displaystyle f_ {1} (x), f_ {2} (x), tečky, f_ {m-1} (x)}$. Lze pozorovat, že takto konstruovaná sekvence splní podmínky Sturmovy věty, a proto byl vyvinut algoritmus pro určení uvedeného indexu.

Je to v použití Sturmovy věty (28) na (29) pomocí výše uvedeného euklidovského algoritmu, kde je vytvořena Routhova matice.

Dostaneme

${displaystyle f_ {3} (omega) = {frac {a_ {0}} {b_ {0}}} f_ {2} (omega) -f_ {1} (omega) čtyřkolka (30)}$

a identifikaci koeficientů tohoto zbytku do ${displaystyle c_ {0}}$, ${displaystyle -c_ {1}}$, ${displaystyle c_ {2}}$, ${displaystyle -c_ {3}}$, a tak dále, tvoří náš vytvořený zbytek

${displaystyle f_ {3} (omega) = c_ {0} omega ^ {n-2} -c_ {1} omega ^ {n-4} + c_ {2} omega ^ {n-6} -cdots quad (31 )}$

kde

${displaystyle c_ {0} = a_ {1} - {frac {a_ {0}} {b_ {0}}} b_ {1} = {frac {b_ {0} a_ {1} -a_ {1} b_ { 0}} {b_ {0}}}; c_ {1} = a_ {2} - {frac {a_ {0}} {b_ {0}}} b_ {2} = {frac {b_ {0} a_ { 2} -a_ {0} b_ {2}} {b_ {0}}}; ldots quad (32)}$

Pokračování v euklidovském algoritmu o těchto nových koeficientech nám dává

${displaystyle f_ {4} (omega) = {frac {b_ {0}} {c_ {0}}} f_ {3} (omega) -f_ {2} (omega) quad (33)}$

kde opět označíme koeficienty zbytku ${displaystyle f_ {4} (omega)}$ podle ${displaystyle d_ {0}}$, ${displaystyle -d_ {1}}$, ${displaystyle d_ {2}}$, ${displaystyle -d_ {3}}$,

takže náš vytvořený zbytek

${displaystyle f_ {4} (omega) = d_ {0} omega ^ {n-3} -d_ {1} omega ^ {n-5} + d_ {2} omega ^ {n-7} -cdots quad (34 )}$

a dává nám

${displaystyle d_ {0} = b_ {1} - {frac {b_ {0}} {c_ {0}}} c_ {1} = {frac {c_ {0} b_ {1} -b_ {1} c_ { 0}} {c_ {0}}}; d_ {1} = b_ {2} - {frac {b_ {0}} {c_ {0}}} c_ {2} = {frac {c_ {0} b_ { 2} -b_ {0} c_ {2}} {c_ {0}}}; ldots quad (35)}$

Řádky pole Routh jsou určeny přesně tímto algoritmem, když jsou použity na koeficienty (20). Pozorování, které stojí za zmínku, je, že v běžném případě polynomy ${displaystyle f_ {1} (omega)}$ a ${displaystyle f_ {2} (omega)}$ mít jako nejvyšší společný faktor ${displaystyle f_ {n + 1} (omega)}$ a tak tam bude ${displaystyle n}$ polynomy v řetězci ${displaystyle f_ {1} (x), f_ {2} (x), tečky, f_ {m} (x)}$.

Všimněte si nyní, že při určování znaků členů posloupnosti polynomů ${displaystyle f_ {1} (x), f_ {2} (x), tečky, f_ {m} (x)}$ že v ${displaystyle omega = pm infty}$ dominující síla ${displaystyle omega}$ bude první člen každého z těchto polynomů, a tedy pouze tyto koeficienty odpovídající nejvyšším mocninám ${displaystyle omega}$ v ${displaystyle f_ {1} (x), f_ {2} (x), tečky}$, a ${displaystyle f_ {m} (x)}$, což jsou ${displaystyle a_ {0}}$, ${displaystyle b_ {0}}$, ${displaystyle c_ {0}}$, ${displaystyle d_ {0}}$, ... určit známky ${displaystyle f_ {1} (x)}$, ${displaystyle f_ {2} (x)}$, ..., ${displaystyle f_ {m} (x)}$ v ${displaystyle omega = pm infty}$.

Takže máme ${displaystyle V (+ infty) = V (a_ {0}, b_ {0}, c_ {0}, d_ {0}, tečky)}$ to je ${displaystyle V (+ infty)}$ je počet změn znaménka v sekvenci ${displaystyle a_ {0} infty ^ {n}}$, ${displaystyle b_ {0} infty ^ {n-1}}$, ${displaystyle c_ {0} infty ^ {n-2}}$, ... což je počet změn znaménka v sekvenci ${displaystyle a_ {0}}$, ${displaystyle b_ {0}}$, ${displaystyle c_ {0}}$, ${displaystyle d_ {0}}$, ... a ${displaystyle V (-infty) = V (a_ {0}, - b_ {0}, c_ {0}, - d_ {0}, ...)}$; to je ${displaystyle V (-infty)}$ je počet změn znaménka v sekvenci ${displaystyle a_ {0} (- infty) ^ {n}}$, ${displaystyle b_ {0} (- infty) ^ {n-1}}$, ${displaystyle c_ {0} (- infty) ^ {n-2}}$, ... což je počet změn znaménka v sekvenci ${displaystyle a_ {0}}$, ${displaystyle -b_ {0}}$, ${displaystyle c_ {0}}$, ${displaystyle -d_ {0}}$, ...

Od našeho řetězce ${displaystyle a_ {0}}$, ${displaystyle b_ {0}}$, ${displaystyle c_ {0}}$, ${displaystyle d_ {0}}$, ... budu mít ${displaystyle n}$ členů je jasné, že ${displaystyle V (+ infty) + V (-infty) = n}$ protože uvnitř ${displaystyle V (a_ {0}, b_ {0}, c_ {0}, d_ {0}, tečky)}$ pokud jde od ${displaystyle a_ {0}}$ na ${displaystyle b_ {0}}$ uvnitř nedošlo ke změně znaménka ${displaystyle V (a_ {0}, - b_ {0}, c_ {0}, - d_ {0}, tečky)}$ jít z ${displaystyle a_ {0}}$ na ${displaystyle -b_ {0}}$ jeden má, a podobně pro všechny ${displaystyle n}$ přechody (neexistují žádné podmínky rovné nule), které nám dávají ${displaystyle n}$ celkové znaménkové změny.

Tak jako ${displaystyle Delta = V (-infty) -V (+ infty)}$ a ${displaystyle n = V (+ infty) + V (-infty)}$a od (18) ${displaystyle P = (n-Delta / 2)}$, máme to ${displaystyle P = V (+ infty) = V (a_ {0}, b_ {0}, c_ {0}, d_ {0}, tečky)}$ a odvodili Routhovu větu -

Počet kořenů skutečného polynomu ${displaystyle f (z)}$ které leží v pravé polovině roviny ${displaystyle {mathfrak {Re}} (r_ {i})> 0}$ se rovná počtu změn znaménka v prvním sloupci schématu Routh.

A pro stabilní případ, kdy ${displaystyle P = 0}$ pak ${displaystyle V (a_ {0}, b_ {0}, c_ {0}, d_ {0}, tečky) = 0}$ podle kterého máme Routhovo slavné kritérium:

Aby všechny kořeny polynomu ${displaystyle f (z)}$ abychom měli záporné reálné části, je nutné a dostatečné, aby všechny prvky v prvním sloupci Routhova schématu byly odlišné od nuly a stejného znaménka.

Reference

• Hurwitz, A., „O podmínkách, za kterých má rovnice pouze kořeny se zápornými reálnými částmi“, Rpt. in Selected Papers on Mathematical Trends in Control Theory, Ed. R. T. Ballman a kol. New York: Dover 1964
• Routh, E. J., Pojednání o stabilitě daného stavu pohybu. London: Macmillan, 1877. Rpt. in Stability of Motion, Ed. A. T. Fuller. London: Taylor & Francis, 1975
• Felix Gantmacher (J.L. Brenner translator) (1959) Aplikace teorie matic, str. 177–80, New York: Interscience.