Kritérium stability Bistritz - Bistritz stability criterion

v zpracování signálu a teorie řízení, Bistritzovo kritérium je jednoduchá metoda k určení, zda a oddělený systém lineárního invariantního času (LTI) je stabilní navrhl Yuval Bistritz.^[1][2] Stabilita diskrétního systému LTI to vyžaduje charakteristické polynomy

${ displaystyle D_ {n} (z) = d_ {0} + d_ {1} z + d_ {2} z ^ {2} + cdots + d_ {n-1} z ^ {n-1} + d_ {n} z ^ {n}}$

(získaná z její rozdílové rovnice, její dynamické matice nebo jako jmenovatel její přenosové funkce) je a stabilní polynom, kde ${ displaystyle D_ {n} (z)}$ se říká, že je stabilní, pokud jsou všechny jeho nuly uvnitř jednotkového kruhu, viz.

${ displaystyle | z_ {k} | <1, k = 1, ldots, n}$,

kde ${ displaystyle D_ {n} (z) = d_ {n} prod _ {k = 1} ^ {n} (z-z_ {k})}$. Test určuje, zda ${ displaystyle D_ {n} (z)}$ je stabilní algebraicky (tj. bez numerického určení nul). Metoda také řeší problém s úplným nulovým umístěním (ZL). Jmenovitě dokáže spočítat počet vnitřních nul v jednotkovém kruhu (IUC) ${ displaystyle (~ | z_ {k} | <1 ~)}$, na jednotkách kruhu nuly (UC) nuly ${ displaystyle (~ | z_ {k} | = 1 ~)}$ a mimo nuly jednotkového kruhu (OUC) ${ displaystyle (~ | z_ {k} |> 1 ~)}$ pro jakýkoli skutečný nebo složitý polynom.^[1][2]Bistritzův test je diskrétním ekvivalentem Routh kritérium používané k testování stability spojitých systémů LTI. Tento titul byl představen brzy po jeho představení.^[3] Bylo také uznáno, že je účinnější než dříve dostupné testy stability pro diskrétní systémy, jako jsou Schur – Cohn a Test poroty.^[4]

V následujícím textu se zaměříme pouze na to, jak otestovat stabilitu skutečného polynomu. Dokud však základní rekurze potřebná k testování stability zůstane v platnosti, přinesou se také pravidla ZL.

Algoritmus

Zvážit ${ displaystyle D_ {n} (z)}$ jak je uvedeno výše a předpokládejme ${ displaystyle D_ {n} (1) neq 0}$. (Li ${ displaystyle D_ {n} (1) = 0}$ polynom není stabilní.) Definujte jeho reciproční polynom

${ displaystyle D_ {n} ^ { sharp} (z) = z ^ {n} D_ {n} (1 / z) = d_ {n} + d_ {n-1} z + d_ {n-2} z ^ {2} + cdots + d_ {n-1} z ^ {n-1} + d_ {0} z ^ {n}}$.

Algoritmus přiřadí ${ displaystyle D_ {n} (z)}$ posloupnost symetrické polynomy

${ displaystyle T_ {m} (z) = T_ {m} ^ { sharp} (z), m = n, n-1, ldots, 0}$

vytvořený tříčlennou polynomiální rekurzí. Napište polynomy podle jejich koeficientů,

${ displaystyle T_ {m} (z) = součet _ {k = 1} ^ {m} t_ {m, k} z ^ {k}}$,

symetrie to znamená

${ displaystyle T_ {m} (z) = t_ {m, 0} + t_ {m, 1} z + cdots + t_ {m, 1} z ^ {m-1} + t_ {m, 0} z ^ {m}}$,

takže stačí vypočítat pro každý polynom pouze asi polovinu koeficientů. Rekurze začíná dvěma počátečními polynomy odvozenými od součtu a rozdílu testovaného polynomu a jeho vzájemnosti, poté je každý následující polynom sníženého stupně vytvořen z posledních dvou známých polynomů.

Zahájení:

${ displaystyle T_ {n} (z) = D_ {n} (z) + D_ {n} ^ { sharp} (z) quad, quad T_ {n-1} (z) = { frac { D_ {n} (z) -D_ {n} ^ { sharp} (z)} {z-1}}}$

Rekurze: Pro ${ displaystyle m = n-1, ldots, 1}$ dělat:

${ displaystyle delta _ {m + 1} = { frac {T_ {m + 1} (0)} {T_ {m} (0)}}}$

${ displaystyle T_ {m-1} (z) = { frac { delta _ {m + 1} (1 + z) T_ {m} (z) -T_ {m + 1} (z)} {z }}}$

Podmínka stability

Úspěšné dokončení sekvence s výše uvedenou rekurzí vyžaduje${ displaystyle T_ {m} (0) neq 0, quad m = n-1, ldots, 1}$. Rozšíření těchto podmínek do${ displaystyle T_ {m} (0) neq 0, quad m = n, ldots, 0}$se nazývají normální podmínky.

Pro stabilitu jsou nutné normální podmínky. To znamená, že testovaný polynom může být prohlášen za nestabilní, jakmile a ${ displaystyle T_ {m} (0) = t_ {m, 0} = t_ {m, m} = 0}$ je pozorován. Z toho také vyplývá, že výše uvedená rekurze je dostatečně široká pro testování stability, protože polynom lze deklarovat jako nestabilní, než dojde k dělení nulou.

Teorém. Pokud sekvence není normální, pak ${ displaystyle D_ {n} (z)}$ není stabilní. Pokud platí normální podmínky, je úplná posloupnost symetrických polynomů dobře definována. Nechat

${ displaystyle nu = Var {T_ {n} (1), T_ {n-1} (1), ldots, T_ {1} (1), t_ {0,0} }}$

označit počet počtu variací znaménka v uvedené sekvenci. Pak${ displaystyle D_ {n} (z)}$ je stabilní právě tehdy ${ displaystyle nu = 0}$Obecněji, pokud tedy platí normální stav ${ displaystyle D_ {n} (z)}$ nemá UC nuly,${ displaystyle nu}$ Nuly OUC a ${ displaystyle n- nu}$ IUC nuly.

Porušení různých podmínek nezbytných pro stabilitu lze výhodně použít jako časné náznaky, že polynom není stabilní (má alespoň jednu UC nebo OUC nulu). Polynom lze prohlásit za nestabilní, jakmile a ${ displaystyle T_ {m} (0) = 0}$nebo ${ displaystyle delta _ {m} <0}$, nebo změna znaménka v pořadí ${ displaystyle T_ {m} (1)}$je pozorován.

Příklad

Zvažte polynom ${ displaystyle D_ {3} (z) = 2 + Kz-22z ^ {2} + 24z ^ {3}}$, kde ${ displaystyle K}$ je skutečný parametr.

Q1: Pro jaké hodnoty ${ displaystyle K}$ polynom je stabilní?

Vytvořte sekvenci:

${ displaystyle T_ {3} (z) = 26 + (K-22) z + (K-22) z ^ {2} + 26z ^ {3}}$

${ displaystyle T_ {2} (z) = 22-Kz + 22z ^ {2}}$

${ displaystyle T_ {1} (z) = { frac {24 (22-K)} {11}} (1 + z)}$

${ displaystyle T_ {0} (z) = 44 + K}$

Použijte jejich hodnoty při z = 1 pro vytvoření

${ displaystyle operatorname {Var} (8 + 2K, 44-K, 48 (22-K) / 11,44 + k) ,}$

Všechny položky v sekvenci jsou pozitivní pro -4 K. jsou všechny negativní). Proto je D (z) stabilní pro −4 <K. < 22.

Q2: Najít ZL pro K = 33 Var {71, 11, -48, 11} = 2 => 2 OUC, 1 IUC nuly.

Q3: Najít ZL pro K = -11 Var {-14, 55, 144, 33} = 1 => 1 OUC, 2 IUC nuly.

Komentáře

(1) Zkouška je pozoruhodně podobná zkoušce Routh test. To lze nejlépe pozorovat, když je Routhův test vhodně uspořádán do odpovídající tříčlenné polynomické rekurze.

(2) Bistritzův test používá tříčlennou polynomickou rekurzi, která šíří polynomy se symetrií, na rozdíl od dříve dostupných klasických testů pro diskrétní systémy, které šíří polynomy bez konkrétní struktury pomocí dvoučlenné rekurze. Stimuloval objev více algoritmů v oblasti digitálního zpracování signálu (např. Řešení lineární predikce problém) a diskrétní systémy (např. testování stability výškových systémů) souhrnně nazývané algoritmy „imitance“ nebo „rozdělení“, které přijaly tuto techniku ​​k efektivnějším protějškům i jiných klasických tzv. „rozptylových“ algoritmů.^[5][6][7] Bistritzův test tvoří protějšek „imitance“ klasických testů typu „rozptyl“ Schur – Cohna a Porota.

Reference