Kharitonovova věta - Kharitonovs theorem - Wikipedia

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale její zdroje zůstávají nejasné, protože jí chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Březen 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Kharitonovova věta je výsledek použitý v teorie řízení posoudit stabilita a dynamický systém když nejsou přesně známy fyzikální parametry systému. Když koeficienty charakteristický polynom jsou známy, Kritérium stability Routh – Hurwitz lze použít ke kontrole, zda je systém stabilní (tj. zda jsou všechny kořeny mít záporné reálné části). Kharitonovova věta může být použita v případě, kdy je známo, že koeficienty jsou pouze ve stanovených rozmezích. Poskytuje test stability pro tzv intervalový polynom, zatímco Routh – Hurwitz se zabývá obyčejným polynomiální.

Definice

Intervalový polynom je rodina všech polynomů

${ displaystyle p (s) = a_ {0} + a_ {1} s ^ {1} + a_ {2} s ^ {2} + ... + a_ {n} s ^ {n}}$

kde každý koeficient ${ displaystyle a_ {i} v R}$ může nabrat jakoukoli hodnotu ve stanovených intervalech

${ displaystyle l_ {i} leq a_ {i} leq u_ {i}.}$

Rovněž se předpokládá, že počáteční koeficient nemůže být nula: ${ displaystyle 0 notin [l_ {n}, u_ {n}]}$.

Teorém

Intervalový polynom je stabilní (tj. Všichni členové rodiny jsou stabilní) právě tehdy, když jsou čtyři tzv Kharitonovovy polynomy

${ displaystyle k_ {1} (s) = l_ {0} + l_ {1} s ^ {1} + u_ {2} s ^ {2} + u_ {3} s ^ {3} + l_ {4} s ^ {4} + l_ {5} s ^ {5} + cdots}$

${ displaystyle k_ {2} (s) = u_ {0} + u_ {1} s ^ {1} + l_ {2} s ^ {2} + l_ {3} s ^ {3} + u_ {4} s ^ {4} + u_ {5} s ^ {5} + cdots}$

${ displaystyle k_ {3} (s) = l_ {0} + u_ {1} s ^ {1} + u_ {2} s ^ {2} + l_ {3} s ^ {3} + l_ {4} s ^ {4} + u_ {5} s ^ {5} + cdots}$

${ displaystyle k_ {4} (s) = u_ {0} + l_ {1} s ^ {1} + l_ {2} s ^ {2} + u_ {3} s ^ {3} + u_ {4} s ^ {4} + l_ {5} s ^ {5} + cdots}$

jsou stabilní.

Co je na Kharitonovově výsledku překvapivé, je to, že i když v zásadě testujeme stabilitu nekonečného počtu polynomů, ve skutečnosti musíme testovat pouze čtyři. To můžeme udělat pomocí Routh – Hurwitze nebo jakoukoli jinou metodou. Informování o stabilitě intervalového polynomu tedy trvá jen čtyřikrát více práce, než testování stability běžného polynomu.

Kharitonovova věta je užitečná v oblasti robustní ovládání, která se snaží navrhnout systémy, které budou dobře fungovat navzdory nejistotám v chování komponent kvůli chyby měření, změny provozních podmínek, opotřebení zařízení atd.

Reference

• V. L. Kharitonov „Asymptotická stabilita rovnovážné polohy rodiny systémů diferenciálních rovnic“, Differentsialnye uravneniya, 14 (1978), 2086-2088. (v Rusku)
• Akademická domovská stránka prof. V. L. Kharitonova