Hurwitzův polynom - Hurwitz polynomial

v matematika, a Hurwitzův polynom, pojmenoval podle Adolf Hurwitz, je polynomiální jehož kořeny (nuly ) jsou umístěny v levé polorovině složité letadlo nebo na imaginární ose, tj. skutečná část každého kořene je nulová nebo záporná.[1] Takový polynom musí mít kladné koeficienty reálná čísla. Termín je někdy omezen na polynomy, jejichž kořeny mají skutečné části, které jsou přísně negativní, s výjimkou osy (tj. Hurwitz stabilní polynom ).[2][3]

Polynomiální funkce P(s) a komplexní proměnná s je považován za Hurwitz, pokud jsou splněny následující podmínky:

1. P(s) je skutečné kdy s je skutečný.
2. Kořeny P(s) mají skutečné části, které jsou nulové nebo záporné.

Hurwitzovy polynomy jsou důležité v teorie řídicích systémů, protože představují charakteristické rovnice z stabilní lineární systémy. Zda polynom je Hurwitz lze určit řešením rovnice k nalezení kořenů nebo z koeficientů bez řešení rovnice pomocí Kritérium stability Routh – Hurwitz.

Příklady

Jednoduchý příklad Hurwitzova polynomu je následující:

Jediným skutečným řešením je −1, jak to zohledňuje

Obecně platí, že všechny polynomy druhého stupně s kladnými koeficienty jsou Hurwitz. Vyplývá to přímo z kvadratický vzorec:

kde, pokud je diskriminující b ^ 2-4ac je menší než nula, pak bude mít polynom dvě řešení se složitou konjugací se skutečnou částí -b / 2a, což je negativní pro pozitivní A a bPokud se bude rovnat nule, budou existovat dvě shodná skutečná řešení -b / 2a. Nakonec, pokud je diskriminátor větší než nula, budou existovat dvě skutečná negativní řešení, protože pro pozitivní A, b a C.

Vlastnosti

Aby polynomem byl Hurwitz, je nutné, ale nestačí, aby všechny jeho koeficienty byly kladné (kromě polynomů druhého stupně, což také neznamená dostatečnost). Nutnou a dostatečnou podmínkou, že polynom je Hurwitz, je to, že projde Kritérium stability Routh – Hurwitz. Daný polynom lze efektivně otestovat, zda je Hurwitz nebo ne, pomocí techniky Routhova pokračujícího rozšiřování zlomků.

Reference

  1. ^ Kuo, Franklin F. (1966). Síťová analýza a syntéza, 2. vyd. John Wiley & Sons. str. 295–296. ISBN  0471511188.
  2. ^ Weisstein, Eric W (1999). „Hurwitzův polynom“. Wolfram Mathworld. Wolfram Research. Citováno 3. července 2013.
  3. ^ Reddy, Hari C. (2002). „Teorie dvojrozměrných Hurwitzových polynomů“. Příručka Obvody a filtry, 2. vydání. CRC Press. str. 260–263. ISBN  1420041401. Citováno 3. července 2013.
  • Wayne H. Chen (1964) Návrh a syntéza lineární sítě, strana 63, McGraw Hill.