Kritérium stability poroty - Jury stability criterion

v zpracování signálu a teorie řízení, Kritérium stability poroty je metoda stanovení stability lineárního diskrétního časového systému analýzou jeho koeficientů charakteristický polynom. Je to diskrétní analog času Kritérium stability Routh – Hurwitz. Porota kritérium stability vyžaduje, aby póly systému byly umístěny uvnitř jednotkové kružnice se středem v počátku, zatímco kritérium stability Routh-Hurwitz vyžaduje, aby póly byly v levé polovině komplexní roviny. Kritérium poroty je pojmenováno po Porota Eliahu Ibraham.

Metoda

Pokud je charakteristický polynom systému dán vztahem

{displaystyle f (z) = a_ {n} + a_ {n-1} z ^ {1} + a_ {n-2} z ^ {2} + cdots + a_ {1} z ^ {n-1} + a_ {0} z ^ {n}}

pak je tabulka konstruována následovně:^[1]

řádek	zⁿ	z^n-1	z^n-2	z^....	z¹	z⁰
1	A₀	A₁	A₂	...	A_n-1	A_n
2	A_n	A_n-1	A_n-2	...	A₁	A₀
3	b₀	b₁	...	b_n-2	b_n-1
4	b_n-1	b_n-2	...	b₁	b₀
5	C₀	C₁	...	C_n-2
6	C_n-2	C_n-3	...	C₀
...	...	...	...	...	...	...
2n-5	str₀	str₁	str₂	p3
2n-4	str₃	str₂	str₁	p0
2n-3	q₂	q₁	q₀

To znamená, že první řada je konstruována z polynomiálních koeficientů v pořadí a druhá řada je první řada v opačném pořadí a konjugovaná.

Třetí řádek tabulky se vypočítá odečtením ${displaystyle {frac {a_ {n}} {a_ {0}}}}$ krát druhý řádek z prvního řádku a čtvrtý řádek je třetí řádek s obrácenými prvními n prvky (protože finální prvek je nula).

{displaystyle {egin {aligned} a_ {0} ;; & a_ {1} ;; & dots ;; & a_ {n-1} ;; & a_ {n} a_ {n} ;; & a_ {n-1} ;; & dots ;; & a_ {1} ;; & a_ {0} left (a_ {0} -a_ {n} {frac {a_ {n}} {a_ {0}}} ight) ;; & left (a_ {1} - a_ {n-1} {frac {a_ {n}} {a_ {0}}} ight) ;; & dots ;; & left (a_ {n-1} -a_ {1} {frac {a_ {n}} { a_ {0}}} ight) ;; & 0 left (a_ {n-1} -a_ {1} {frac {a_ {n}} {a_ {0}}} ight) ;; & dots ;; & left (a_ {1} -a_ {n-1} {frac {a_ {n}} {a_ {0}}} ight) ;; & left (a_ {0} -a_ {n} {frac {a_ {n}} {a_ {0}}} ight) ;; & 0 end {zarovnáno}}}

Tímto způsobem pokračuje rozšiřování tabulky, dokud není dosaženo řádku obsahujícího pouze jeden nenulový prvek.

Všimněte si ${displaystyle {frac {a_ {n}} {a_ {0}}}}$ je ${displaystyle a_ {n}}$ pro první dva řádky. Poté se pro 3. a 4. řádek změní koeficient (tj. ${displaystyle {frac {b_ {n-1}} {b_ {0}}}}$ ). To lze považovat za nový polynom, který má o jeden stupeň méně a poté pokračuje.

Zkouška stability

Li ${displaystyle {a_ {0}}> 0}$ pak pro každou hodnotu ${displaystyle {a_ {0}}}$ , ${displaystyle {b_ {0}}}$ , ${displaystyle {c_ {0}}}$ ... to je záporné, polynom má jeden kořen mimo disk jednotky. To znamená, že metodu lze zastavit po zjištění první záporné hodnoty při kontrole stability.

Ukázková implementace

Tuto metodu lze velmi snadno implementovat pomocí dynamických polí v počítači. Také říká, zda všechny moduly kořenů (komplexní a skutečné) leží uvnitř disku jednotky. Vektor v obsahuje skutečné koeficienty původního polynomu v pořadí od nejvyššího stupně po nejnižší stupeň.

        / * vvd je pole poroty * /        vvd.zatlačit zpátky(proti); // Uložte první řádek        zvrátit(proti.začít(),proti.konec());        vvd.zatlačit zpátky(proti); // Uložení druhého řádku        pro (i=2;;i+=2)        {            proti.Průhledná();            dvojnásobek mult = vvd[i-2][vvd[i-2].velikost()-1]/vvd[i-2][0]; // Toto je / a0, jak je uvedeno v článku.            pro (j=0; j<vvd[i-2].velikost()-1; j++) // Vezměte poslední 2 řádky a vypočítejte další řádek                   proti.zatlačit zpátky(vvd[i-2][j] - vvd[i-1][j] * mult);            vvd.zatlačit zpátky(proti);            zvrátit(proti.začít(), proti.konec()); // převrátí další řádek            vvd.zatlačit zpátky(proti);            -li (proti.velikost() == 1) přestávka;         }         // Kontrola se provádí pomocí         pro (i=0; i<vvd.velikost(); i+=2)         {              -li (vvd[i][0]<=0) přestávka;         }         -li (i == vvd.velikost())              „Všechny kořeny leží uvnitř disku jednotky“         jiný              "Ne"

Viz také

Kritérium Liénard – Chipart, další kritérium stability odvozené od Routh-Hurwitze (pro systémy s nepřetržitým časem)

Reference

^ Systémy diskrétního času (2. vydání), str. 185. Prentice-Hall, Inc. Upper Saddle River, NJ, USA © 1995 ISBN 0-13-034281-5

Další podrobnosti najdete v těchto referencích:

Pro pokročilé zdroje:

Archivováno 2. srpna 2008 v Wayback Machine
Benidir, M. (1996). Msgstr "O rozdělení kořenů obecných polynomů vzhledem k jednotkové kružnici". Zpracování signálu. 53: 75. doi:10.1016/0165-1684(96)00077-1.
http://www.laas.fr/~henrion/Papers/lyap.ps.gz

Pro implementace:

http://www.ticalc.org/archives/files/fileinfo/426/42696.html (Grafická kalkulačka TI-83 + / 84 +)

[1] Systémy diskrétního času (2. vydání), str. 185. Prentice-Hall, Inc. Upper Saddle River, NJ, USA © 1995 ISBN 0-13-034281-5

[1]