Cauchyho index - Cauchy index

v matematická analýza, Cauchyho index je celé číslo spojené se skutečným racionální funkce přes interval. Podle Routh – Hurwitzova věta, máme následující interpretaci: Cauchyův index z

r(X) = p(X)/q(X)

přes skutečná linie je rozdíl mezi počtem kořenů F(z) umístěné v pravé polorovině a ty umístěné v levé polorovině. Složitý polynom F(z) je takový, že

F(iy) = q(y) + ip(y).

Musíme to také předpokládat p má stupeň menší než stupeň q.

Definice

• The Cauchyho index byl poprvé definován pro tyč s racionální funkce r podle Augustin Louis Cauchy v roce 1837 pomocí jednostranné limity tak jako:

${ displaystyle I_ {s} r = { begin {cases} +1, & { text {if}} displaystyle lim _ {x uparrow s} r (x) = - infty ; land ; lim _ {x downarrow s} r (x) = + infty, - 1, & { text {if}} displaystyle lim _ {x uparrow s} r (x) = + infty ; land ; lim _ {x downarrow s} r (x) = - infty, 0, & { text {jinak.}} end {případy}}}$

• Zobecnění v kompaktním intervalu [A,b] je přímý (pokud ani jeden A ani b jsou póly r(X)): je to součet Cauchyových indexů ${ displaystyle I_ {s}}$ z r pro každého s nachází se v intervalu. Obvykle to označujeme ${ displaystyle I_ {a} ^ {b} r}$.
• Pak můžeme zobecnit na intervaly typu ${ displaystyle [- infty, + infty]}$ od počtu pólů r je konečné číslo (překročením limitu Cauchyova indexu [A,b] pro A a b jít do nekonečna).

Příklady

Racionální funkce

• Zvažte racionální funkci:

${ displaystyle r (x) = { frac {4x ^ {3} -3x} {16x ^ {5} -20x ^ {3} + 5x}} = { frac {p (x)} {q (x )}}.}$

Poznáváme dovnitř p(X) a q(X) respektive Čebyševovy polynomy stupně 3 a 5. Proto r(X) má póly ${ displaystyle x_ {1} = 0,9511}$, ${ displaystyle x_ {2} = 0,5878}$, ${ displaystyle x_ {3} = 0}$, ${ displaystyle x_ {4} = - 0,5878}$ a ${ displaystyle x_ {5} = - 0,9511}$, tj. ${ displaystyle x_ {j} = cos ((2i-1) pi / 2n)}$ pro ${ displaystyle j = 1, ..., 5}$. Na obrázku to vidíme ${ displaystyle I_ {x_ {1}} r = I_ {x_ {2}} r = 1}$ a ${ displaystyle I_ {x_ {4}} r = I_ {x_ {5}} r = -1}$. Pro pól v nule máme ${ displaystyle I_ {x_ {3}} r = 0}$ protože levý a pravý limit jsou stejné (což je proto p(X) má také kořen v nule). Došli jsme k závěru, že ${ displaystyle I _ {- 1} ^ {1} r = 0 = I _ {- infty} ^ {+ infty} r}$ od té doby q(X) má pouze pět kořenů, vše v [−1,1]. Nemůžeme zde použít Routh – Hurwitzovu větu jako každý složitý polynom F(iy) = q(y) + ip(y) má na imaginární čára (jmenovitě na počátku).

externí odkazy

• Cauchyho index