Bodová notace procesu - Point process notation

Pravděpodobnost
Obrys Katalog článků Pravděpodobnostní Glosář Zápis Časopisy Kategorie

v pravděpodobnost a statistika, bodová notace procesu zahrnuje řadu matematická notace slouží k symbolickému znázornění náhodný předměty známý jako bodové procesy, které se používají v souvisejících oborech, jako je stochastická geometrie, prostorová statistika a teorie perkolace kontinua a často slouží jako matematické modely náhodných jevů, reprezentovatelných jako body, v čase, prostoru nebo obojí.

Zápis se liší v důsledku historie určitých matematických polí a různých interpretací bodových procesů,^[1][2][3] a půjčuje notaci z matematických oblastí studia, jako je teorie míry a teorie množin.^[1]

Interpretace bodových procesů

Zápis, stejně jako terminologie, bodových procesů závisí na jejich nastavení a interpretaci jako matematických objektů, které lze za určitých předpokladů interpretovat jako náhodné sekvence bodů, náhodně sady bodů nebo náhodně počítání opatření.^[1]

Náhodné posloupnosti bodů

V některých matematických rámcích lze daný bodový proces považovat za posloupnost bodů, přičemž každý bod je náhodně umístěn d-dimenzionální Euklidovský prostor R^d[1] stejně jako některé další abstraktnější matematické prostory. Obecně to, zda je náhodná sekvence ekvivalentní ostatním interpretacím bodového procesu, závisí na základním matematickém prostoru, ale toto platí pro nastavení konečně-dimenzionálního euklidovského prostoru R^d.^[4]

Náhodná sada bodů

Bodový proces se nazývá jednoduchý pokud se v místě neshodují žádné dva (nebo více bodů) s pravděpodobnost jedna. Vzhledem k tomu, že bodové procesy jsou často jednoduché a na pořadí bodů nezáleží, lze kolekci náhodných bodů považovat za náhodnou sadu bodů^[1][5] Teorie náhodných množin byla nezávisle vyvinuta David Kendall a Georges Matheron. Z hlediska toho, že je považována za náhodnou množinu, je posloupnost náhodných bodů náhodnou uzavřenou množinou, pokud posloupnost nemá žádné akumulační body s pravděpodobností jedna^[6]

Bodový proces je často označen jediným písmenem,^[1][7][8] například ${ displaystyle {N}}$, a pokud je bodový proces považován za náhodnou množinu, pak odpovídající notace:^[1]

${ displaystyle x v {N},}$

se používá k označení náhodného bodu ${ displaystyle x}$ je živel z (nebo patří do) bodového procesu ${ displaystyle {N}}$. Teorie náhodných množin může být aplikována na bodové procesy díky této interpretaci, která vedle interpretace náhodné posloupnosti vyústila v bodový proces zapisovaný jako:

${ displaystyle {x_ {1}, x_ {2}, tečky } = {x } _ {i},}$

což zdůrazňuje jeho interpretaci buď jako náhodnou sekvenci, nebo jako náhodnou uzavřenou množinu bodů.^[1] Dále někdy velké písmeno označuje bodový proces, zatímco malé písmeno označuje bod z procesu, takže například bod ${ displaystyle textstyle x}$ (nebo ${ displaystyle textstyle x_ {i}}$) patří nebo je bodem bodového procesu ${ displaystyle textstyle X}$, nebo s nastavenou notací, ${ displaystyle textstyle x v X}$.^[8]

Náhodná opatření

K označení počtu bodů ${ displaystyle {N}}$ nachází se v některých Sada Borel ${ displaystyle B}$, je to někdy psáno ^[7]

${ displaystyle Phi (B) = # (B cap {N}),}$

kde ${ displaystyle Phi (B)}$ je náhodná proměnná a ${ displaystyle #}$ je počítání opatření, což udává počet bodů v nějaké sadě. V tomhle matematické vyjádření bodový proces je označen:

${ displaystyle {N}}$.

Na druhé straně symbol:

${ displaystyle Phi}$

představuje počet bodů ${ displaystyle {N}}$ v ${ displaystyle B}$. V rámci náhodných měr lze napsat:

${ displaystyle Phi (B) = n}$

k označení, že existuje množina ${ displaystyle B}$ který obsahuje ${ displaystyle n}$ body ${ displaystyle {N}}$. Jinými slovy lze bodový proces považovat za náhodné opatření který přiřadí nějaké nezáporné celé číslo opatření do sad.^[1] Tato interpretace motivovala bodový proces, který byl považován za jiný název pro a míra náhodného počítání^[9]:106 a techniky teorie náhodných měření nabízející další způsob studia bodových procesů,^[1][10] což také vyvolává použití různých notací používaných v integrace a teorie měření. ^[A]

Duální notace

Různé interpretace bodových procesů jako náhodných množin a míry počítání jsou zachyceny často používanou notací ^{[1][3][8][11]} ve kterém:

• ${ displaystyle {N}}$ označuje sadu náhodných bodů.
• ${ displaystyle {N} (B)}$ označuje náhodnou proměnnou, která udává počet bodů ${ displaystyle {N}}$ v ${ displaystyle B}$ (proto se jedná o náhodné počítání).

Znovu označíme počítací míru pomocí ${ displaystyle #}$, tato dvojí notace znamená:

${ displaystyle {N} (B) = # (B cap {N}).}$

Součty

Li ${ displaystyle f}$ je nějaký měřitelná funkce na R^d, pak součet ${ displaystyle f (x)}$ přes všechny body ${ displaystyle x}$ v ${ displaystyle {N}}$ lze psát mnoha způsoby ^[1][3] jako:

${ displaystyle f (x_ {1}) + f (x_ {2}) + cdots}$

který má vzhled náhodné sekvence, nebo s nastavenou notací jako:

${ displaystyle sum _ {x v {N}} f (x)}$

nebo ekvivalentně s integrační notací jako:

${ displaystyle int _ {{ textbf {R}} ^ {d}} f (x) {N} (dx)}$

kde klade důraz na výklad ${ displaystyle {N}}$ je míra náhodného počítání. Pro zápis tohoto integrálu lze použít alternativní zápis integrace jako:

${ displaystyle int _ {{ textbf {R}} ^ {d}} f , d {N}}$

Duální interpretace bodových procesů je ilustrována při zápisu počtu ${ displaystyle {N}}$ body v sadě ${ displaystyle B}$ tak jako:

${ displaystyle {N} (B) = součet _ {x v {N}} 1_ {B} (x)}$

Kde funkce indikátoru ${ displaystyle 1_ {B} (x) = 1}$ pokud jde o bod ${ displaystyle x}$ existuje v ${ displaystyle B}$ a jinak nula, která je v tomto nastavení známá také jako a Diracova míra.^[11] V tomto výrazu je interpretace náhodné míry na levá strana zatímco je použita náhodná množinová notace na pravé straně.

Očekávání

The průměrný nebo očekávaná hodnota součtu funkcí nad bodovým procesem se zapisuje jako:^[1][3]

${ displaystyle E left [ sum _ {x in {N}} f (x) right] qquad { text {or}} qquad int _ { textbf {N}} sum _ { x in {N}} f (x) P (d {N}),}$

kde (ve smyslu náhodné míry) ${ displaystyle P}$ je vhodné míra pravděpodobnosti definováno v prostoru počítání opatření ${ displaystyle { textbf {N}}}$. Očekávaná hodnota ${ displaystyle {N} (B)}$ lze napsat jako:^[1]

${ displaystyle E [{N} (B)] = E vlevo ( součet _ {x v {N}} 1_ {B} (x) vpravo) qquad { text {nebo}} qquad int _ { textbf {N}} sum _ {x v {N}} 1_ {B} (x) P (d {N}).}$

který je také známý jako první momentové opatření z ${ displaystyle {N}}$. Očekávání takového náhodného součtu, známého jako a proces hluku výstřelu v teorii bodových procesů lze vypočítat pomocí Campbellova věta.^[2]

Použití v jiných oblastech

Bodové procesy se používají v jiných matematických a statistických disciplínách, proto lze notaci použít v takových oborech stochastická geometrie, prostorová statistika nebo teorie perkolace kontinua a oblasti, které používají metody a teorii z těchto oborů.

Viz také

• Matematické alfanumerické symboly
• Matematická notace
• Pravděpodobnost zápisu
• Tabulka matematických symbolů

Poznámky

Reference