Campbellova věta (pravděpodobnost) - Campbells theorem (probability) - Wikipedia

v teorie pravděpodobnosti a statistika, Campbellova věta nebo Campbell – Hardyho věta je buď konkrétní rovnice nebo soubor výsledků týkajících se očekávání a funkce shrnuto přes a bodový proces do integrální zahrnující průměrná míra bodového procesu, který umožňuje výpočet očekávaná hodnota a rozptyl z náhodný součet. Jedna verze věty,^[1] také známý jako Campbellův vzorec,^[2]:28 znamená integrální rovnici pro výše uvedený součet přes obecný bodový proces, a ne nutně Poissonův bodový proces.^[2] Existují také rovnice zahrnující momentová opatření a faktoriální momentová opatření které jsou považovány za verze Campbellova vzorce. Všechny tyto výsledky jsou použity v pravděpodobnosti a statistice se zvláštním významem v teorii bodové procesy^[3] a teorie front^[4] stejně jako související pole stochastická geometrie,^[1] teorie perkolace kontinua,^[5] a prostorová statistika.^[2][6]

Další výsledek jménem Campbellova věta^[7] je speciálně pro Proces Poissonova bodu a uvádí metodu výpočtu momenty stejně jako Laplace funkční procesu Poissonova bodu.

Název obou vět vychází z díla^[8][9] podle Norman R. Campbell na termionický hluk, také známý jako hluk výstřelu, v vakuové trubky,^[3][10] který byl částečně inspirován prací Ernest Rutherford a Hans Geiger na alfa částice detekce, kde Proces Poissonova bodu vznikl jako řešení rodiny diferenciálních rovnic od Harry Bateman.^[10] V Campbellově díle představuje okamžiky a generující funkce náhodného součtu Poissonova procesu na reálné linii, ale poznamenává, že hlavní matematický argument byl způsoben G. H. Hardy, který inspiroval výsledek, aby se někdy nazýval Campbell – Hardyho věta.^[10][11]

Pozadí

Pro bodový proces ${ displaystyle N}$ definováno dne d-dimenzionální Euklidovský prostor ${ displaystyle { textbf {R}} ^ {d}}$,^[A] Campbellova věta nabízí způsob, jak vypočítat očekávání funkce se skutečnou hodnotou ${ displaystyle f}$ definováno také na ${ displaystyle { textbf {R}} ^ {d}}$ a shrnuto ${ displaystyle N}$, a to:

${ displaystyle operatorname {E} vlevo [ součet _ {x v N} f (x) vpravo],}$

kde ${ displaystyle E}$ označuje očekávání a nastavená notace se používá tak, že ${ displaystyle N}$ se považuje za náhodnou množinu (viz Bodová notace procesu ). Pro bodový proces ${ displaystyle N}$„Campbellova věta spojuje výše uvedené očekávání s mírou intenzity Λ. Ve vztahu k a Sada Borel B míra intenzity ${ displaystyle N}$ je definován jako:

${ displaystyle Lambda (B) = operatorname {E} [N (B)],}$

Kde opatření notace se používá tak, že ${ displaystyle N}$ je považován za náhodný počítání opatření. Množství ${ displaystyle Lambda (B)}$ lze interpretovat jako průměrný počet bodů bodového procesu ${ displaystyle N}$ nachází se v sadě B.

První definice: obecný bodový proces

Jedna verze Campbellovy věty je pro obecný (ne nutně jednoduchý) bodový proces ${ displaystyle N}$ s měřením intenzity:

${ displaystyle Lambda (B) = operatorname {E} [N (B)],}$

je známý jako Campbellův vzorec^[2] nebo Campbellova věta,^[1][12][13] který dává metodu pro výpočet očekávání součtů měřitelné funkce ${ displaystyle f}$ s rozsahy na skutečná linie. Přesněji řečeno, pro bodový proces ${ displaystyle N}$ a měřitelná funkce ${ displaystyle f: { textbf {R}} ^ {d} rightarrow { textbf {R}}}$, součet ${ displaystyle f}$ nad bodovým procesem je dán rovnicí:

${ displaystyle E left [ sum _ {x in N} f (x) right] = int _ {{ textbf {R}} ^ {d}} f (x) Lambda (dx), }$

kde je-li jedna strana rovnice konečná, je tomu tak i na druhé straně.^[14] Tato rovnice je v podstatě aplikací Fubiniho věta^[1] a platí pro širokou třídu bodových procesů, jednoduchých i ne.^[2] V závislosti na integrálním zápisu^[b] tento integrál lze také psát jako:^[14]

${ displaystyle operatorname {E} left [ sum _ {x in N} f (x) right] = int _ {{ textbf {R}} ^ {d}} f , d Lambda ,}$

Pokud se měří intenzita ${ displaystyle Lambda}$ bodového procesu ${ displaystyle N}$ má hustotu ${ displaystyle lambda (x)}$, pak se Campbellův vzorec stává:

${ displaystyle operatorname {E} left [ sum _ {x in N} f (x) right] = int _ {{ textbf {R}} ^ {d}} f (x) lambda (x) , dx}$

Proces stacionárního bodu

Pro stacionární bodový proces ${ displaystyle N}$ s konstantní hustotou ${ displaystyle lambda> 0}$, Campbellova věta nebo vzorec redukuje na objemový integrál:

${ displaystyle operatorname {E} left [ sum _ {x in N} f (x) right] = lambda int _ {{ textbf {R}} ^ {d}} f (x) , dx}$

Tato rovnice přirozeně platí pro homogenní procesy Poissonova bodu, což je příklad a stacionární stochastický proces.^[1]

Aplikace: Náhodné částky

Campbellova věta o obecných bodových procesech poskytuje metodu pro výpočet očekávání funkce bodu (bodového procesu) sečteného přes všechny body v bodovém procesu. Tyto náhodné součty nad bodovými procesy mají aplikace v mnoha oblastech, kde se používají jako matematické modely.

Hluk výstřelu

Campbell původně studoval problém náhodných součtů motivovaných porozuměním termionickému šumu ve ventilech, který je také známý jako hluk výstřelu. V důsledku toho je studium náhodných součtů funkcí nad bodovými procesy známé jako pravděpodobnost šumu výstřelu a zejména teorie bodových procesů.

Rušení v bezdrátových sítích

V bezdrátové komunikaci, když se vysílač pokouší vyslat signál do přijímače, lze všechny ostatní vysílače v síti považovat za rušení, což představuje podobný problém jako šum v tradičních kabelových telekomunikačních sítích, pokud jde o schopnost posílat data založená na teorii informací. Pokud se předpokládá, že umístění interferujících vysílačů tvoří určitý bodový proces, lze použít hluk výstřelu k modelování součtu jejich interferujících signálů, což vedlo k stochastickým geometrickým modelům bezdrátových sítí.^[15]

Zobecnění

Pro obecné bodové procesy existují další obecnější verze Campbellovy věty v závislosti na povaze náhodného součtu a zejména na funkci, která se sečte přes bodový proces.

Funkce více bodů

Pokud je funkce funkcí více než jednoho bodu bodového procesu, momentová opatření nebo faktoriální momentová opatření je zapotřebí bodového procesu, který lze porovnat s momenty a faktoriálem náhodných proměnných. Typ potřebné míry závisí na tom, zda body bodového procesu v náhodném součtu musí být odlišné nebo se mohou opakovat.

Opakující se body

Momentové míry se používají, když se body mohou opakovat.

Výrazné body

Míry faktoriálního momentu se používají, když se body nesmí opakovat, proto jsou body odlišné.

Funkce bodů a bodový proces

U obecných bodových procesů je Campbellova věta pouze pro součet funkcí jediného bodu bodového procesu. Pro výpočet součtu funkce jediného bodu i celého bodového procesu je zapotřebí zobecnit Campbellovy věty pomocí Palmova rozdělení bodového procesu, které je založeno na větvi pravděpodobnosti známé jako Palmova teorie nebo Palmový počet.

Druhá definice: Proces Poissonova bodu

Další verze Campbellovy věty^[7] říká, že pro proces Poissonova bodu ${ displaystyle N}$ s měřením intenzity ${ displaystyle Lambda}$ a měřitelná funkce ${ displaystyle f: { textbf {R}} ^ {d} rightarrow { textbf {R}}}$, náhodný součet

${ displaystyle S = součet _ {x v N} f (x)}$

je absolutně konvergentní s pravděpodobnost jedna kdyby a jen kdyby integrál

${ displaystyle int _ {{ textbf {R}} ^ {d}} min (| f (x) |, 1) Lambda (dx) < infty.}$

Za předpokladu, že tento integrál je konečný, pak věta dále tvrdí, že pro všechny komplex hodnota ${ displaystyle theta}$ rovnice

${ displaystyle E (e ^ { theta S}) = exp left ( int _ {{ textbf {R}} ^ {d}} [e ^ { theta f (x)} - 1] Lambda (dx) vpravo),}$

drží, pokud je integrál na pravé straně konverguje, což je případ čistě imaginární ${ displaystyle theta}$. Navíc,

${ displaystyle E (S) = int _ {{ textbf {R}} ^ {d}} f (x) Lambda (dx),}$

a pokud tento integrál konverguje, pak

${ displaystyle operatorname {Var} (S) = int _ {{ textbf {R}} ^ {d}} f (x) ^ {2} Lambda (dx),}$

kde ${ displaystyle { text {Var}} (S)}$ označuje rozptyl náhodné částky ${ displaystyle S}$.

Z této věty vyplývá několik očekávaných výsledků pro Proces Poissonova bodu následovat, včetně jeho Laplace funkční.^{[7] [C]}

Aplikace: Laplace funkční

Pro proces Poissonova bodu ${ displaystyle N}$ s měřením intenzity ${ displaystyle Lambda}$, Laplace funkční je důsledkem výše uvedené Campbellovy věty^[7] a je dána:^[15]

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {N} (sf): = E { bigl [} e ^ {- s součet _ {x v N} f (x)} { bigr]} = exp { Bigl [} - int _ {{ textbf {R}} ^ {d}} (1-e ^ {- sf (x)}) Lambda (dx) { Bigr]},}$

což pro homogenní případ je:

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {N} (sf) = exp { Bigl [} - lambda int _ {{ textbf {R}} ^ {d}} (1-e ^ { -sf (x)}) , dx { Bigr]}.}$

Poznámky

Reference