Stochastická geometrie - Stochastic geometry

Možný stochastický geometrický model (booleovský model) pro pokrytí bezdrátové sítě a konektivita vytvořená z náhodně velkých disků umístěných na náhodných místech

V matematice stochastická geometrie je studium náhodných prostorových vzorů. Srdcem předmětu je studium náhodných vzorů bodů. To vede k teorii procesy prostorových bodů, odtud pojmy Palm Conditioning, které sahají až do abstraktnějšího prostředí náhodná opatření.

Modely

Existují různé modely pro bodové procesy, obvykle založené na, ale překračující klasické homogenní Proces Poissonova bodu (základní model pro úplná prostorová náhodnost ) najít expresivní modely, které umožňují účinné statistické metody.

Teorie bodových vzorů poskytuje hlavní stavební kámen pro generování náhodných objektových procesů, což umožňuje konstrukci komplikovaných náhodných prostorových vzorů. Nejjednodušší verze, Booleovský model, umístí náhodný kompaktní objekt do každého bodu procesu Poissonova bodu. Složitější verze umožňují interakce založené na geometrii objektů různými způsoby. Mezi různé směry použití patří: výroba modelů pro náhodné obrázky buď jako set-union objektů, nebo jako vzory překrývajících se objektů; také generování geometricky inspirovaných modelů pro podkladový bodový proces (například rozdělení bodových vzorů může být ovlivněno exponenciálním faktorem zahrnujícím oblast spojení objektů; to souvisí s Widom-Rowlinsonovým modelem[1] statistické mechaniky).

Náhodný objekt

Co je míněno náhodným objektem? Úplná odpověď na tuto otázku vyžaduje teorii náhodné uzavřené množiny, která navazuje kontakt s pokročilými koncepty z teorie měr. Klíčovou myšlenkou je zaměřit se na pravděpodobnost, že daná náhodná uzavřená množina zasáhne určené testovací sady. Vyvstávají otázky odvození (například odhad množiny, která obklopuje daný bodový vzor) a teorie zobecnění prostředků atd., Které se použijí na náhodné množiny. Nyní dochází k propojení mezi touto poslední prací a nedávným vývojem v geometrické matematické analýze týkající se obecných metrických prostorů a jejich geometrie. Dobrá parametrizace konkrétních náhodných množin nám umožňuje odkazovat procesy náhodných objektů na teorii procesů označených bodů; páry objekt-bod jsou považovány za body ve větším produktovém prostoru vytvořeném jako produkt původního prostoru a prostoru parametrizace.

Lineární a hyperploché procesy

Předpokládejme, že se již nebudeme zabývat kompaktními objekty, ale objekty, které jsou prostorově rozšířené: čáry v rovině nebo byty ve 3 prostoru. To vede k úvahám o liniových procesech a procesech bytů nebo hyperploch. Pro každý objekt již nemůže existovat preferované prostorové umístění; teorii však lze namapovat zpět na teorii bodového procesu tak, že každý objekt bude reprezentován bodem ve vhodném reprezentačním prostoru. Například v případě směrovaných čar v rovině je možné reprezentační prostor považovat za válec. Komplikací je, že euklidovské pohybové symetrie budou poté vyjádřeny v reprezentačním prostoru poněkud neobvyklým způsobem. Výpočty navíc musí zohledňovat zajímavé prostorové předsudky (například u úseček je méně pravděpodobné, že budou zasaženy náhodnými úsečkami, s nimiž jsou téměř rovnoběžné), což poskytuje zajímavé a významné spojení s nesmírně významnou oblastí stereologie, kterou lze v některých ohledech považovat za další téma stochastické geometrie. Často se stává, že výpočty se nejlépe provádějí z hlediska svazků čar narážejících na různé testovací sady, spíše než prací v reprezentačním prostoru.

Lineární a hyperploché procesy mají své vlastní přímé aplikace, ale také najdou aplikaci jako jeden ze způsobů vytváření mozaikování dělící prostor; proto lze například hovořit o teselacích Poissonovy linie. Pozoruhodný nedávný výsledek[2] dokazuje, že buňka v počátku teselace Poissonovy linie je přibližně kruhová, když je podmíněna velkou velikostí. Teselace ve stochastické geometrii lze samozřejmě vyrobit jinými prostředky, například použitím Voronoi a variantních konstrukcí a také iterací různých konstrukčních prostředků.

Původ jména

Zdá se, že název vytvořil David Kendall a Klaus Krickeberg[3] při přípravě na červen 1969 Oberwolfach workshop, ačkoli předchůdci teorie se pod tímto názvem táhnou mnohem dále geometrická pravděpodobnost. Termín „stochastická geometrie“ používali také Frisch a Hammersley v roce 1963[4] jako jeden ze dvou návrhů názvů teorie "náhodných nepravidelných struktur" inspirovaných teorie perkolace.

Aplikace

Tento stručný popis se zaměřil na teorii[3][5] stochastické geometrie, která umožňuje pohled na strukturu subjektu. Velká část života a zájmu subjektu, a samozřejmě mnoho jeho původních myšlenek, však plyne z velmi široké škály aplikací, například: astronomie,[6] prostorově distribuované telekomunikace,[7] modelování a analýza bezdrátových sítí,[8] modelování blednutí kanálu,[9][10] lesnictví,[11] statistická teorie tvaru,[12] věda o materiálech,[13] vícerozměrná analýza, problémy v analýza obrazu[14] a stereologie. Existují odkazy na statistickou mechaniku,[15] Markovský řetězec Monte Carlo a implementace teorie ve statistických výpočtech (například spatstat[16] v R ). V poslední době začínají hrát roli determinantní a permanentní bodové procesy (spojené s teorií náhodných matic).[17]

Viz také

Reference

  1. ^ Chayes, J. T .; Chayes, L .; Kotecký, R. (1995). „Analýza Widom-Rowlinsonova modelu stochastickými geometrickými metodami“. Komunikace v matematické fyzice. 172 (3): 551–569. Bibcode:1995CMaPh.172..551C. doi:10.1007 / BF02101808.
  2. ^ Kovalenko, I.N. (1999). „Zjednodušený důkaz domněnky D. G. Kendalla o tvarech náhodných polygonů“. Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis. 12 (4): 301–310. doi:10.1155 / S1048953399000283.
  3. ^ A b Viz předmluva v Stoyan, D .; Kendall, W. S .; Mecke, J. (1987). Stochastická geometrie a její aplikace. Wiley. ISBN  0-471-90519-4.
  4. ^ Frisch, H.L .; Hammersley, J. M. (1963). "Procesy perkolace a související témata". SIAM Journal on Applied Mathematics. 11 (4): 894–918. doi:10.1137/0111066.
  5. ^ Schneider, R.; Weil, W. (2008). Stochastická a integrální geometrie. Pravděpodobnost a její aplikace. Springer. doi:10.1007/978-3-540-78859-1. ISBN  978-3-540-78858-4. PAN  2455326.
  6. ^ Martinez, V. J .; Saar, E. (2001). Statistiky distribuce Galaxy. Chapman & Hall. ISBN  1-58488-084-8.
  7. ^ Baccelli, F .; Klein, M .; Lebourges, M .; Zuyev, S. (1997). "Stochastická geometrie a architektura komunikačních sítí". Telekomunikační systémy. 7: 209–227. doi:10.1023 / A: 1019172312328.
  8. ^ M. Haenggi. Stochastická geometrie pro bezdrátové sítě. Cambridge University Press, 2012.
  9. ^ Piterbarg, V. I .; Wong, K. T. (2005). „Spatial-Correlation-Coefficient at the Basestation, in Closed-Form Explicit Analytic Expression, due to Heterogeneously Poisson Distributed Scatterers“. Antény IEEE a bezdrátové propagační dopisy. 4 (1): 385–388. Bibcode:2005IAWPL ... 4..385P. doi:10.1109 / LAWP.2005.857968.
  10. ^ Abdulla, M .; Shayan, Y. R. (2014). "Chování při velkém měřítku slábnutí pro celulární síť s jednotnou prostorovou distribucí". Wiley's Wireless Communications and Mobile Computing Journal. 4 (7): 1–17. arXiv:1302.0891. doi:10,1002 / WCM.2565.
  11. ^ Stoyan, D .; Penttinen, A. (2000). "Nedávné aplikace metod bodových procesů v lesnické statistice". Statistická věda. 15: 61–78.
  12. ^ Kendall, D. G. (1989). „Průzkum statistické teorie tvaru“. Statistická věda. 4 (2): 87–99. doi:10.1214 / ss / 1177012582.
  13. ^ Torquato, S. (2002). Náhodné heterogenní materiály. Springer-Verlag. ISBN  0-387-95167-9.
  14. ^ Van Lieshout, M. N. M. (1995). Stochastické geometrické modely v analýze obrazu a prostorové statistice. Trakt CWI, 108. CWI. ISBN  90-6196-453-9.
  15. ^ Georgii, H. O .; Häggström, O .; Maes, C. (2001). "Náhodná geometrie rovnovážných fází". Fázové přechody a kritické jevy. 18. Akademický tisk. s. 1–142.
  16. ^ Baddeley, A .; Turner, R. (2005). "Spatstat: Balíček R pro analýzu vzorů prostorových bodů". Žurnál statistického softwaru. 12 (6): 1–42. doi:10.18637 / jss.v012.i06.
  17. ^ McCullagh, P .; Møller, J. (2006). "Trvalý proces". Pokroky v aplikované pravděpodobnosti. 38 (4): 873–888. doi:10,1239 / aap / 1165414583.