Efektivní střední aproximace - Effective medium approximations

Efektivní střední aproximace (EMA) nebo teorie efektivního média (EMT) se týkají analytické nebo teoretický modelování, které popisuje makroskopické vlastnosti kompozitní materiály. EMA nebo EMT se vyvíjejí zprůměrováním více hodnot složek, které přímo tvoří kompozitní materiál. Na úrovni složek se hodnoty materiálů liší a jsou nehomogenní. Přesný výpočet mnoha hodnot složek je téměř nemožný. Byly však vyvinuty teorie, které mohou produkovat přijatelné aproximace, které zase popisují užitečné parametry a vlastnosti kompozitního materiálu jako celek. V tomto smyslu, efektivní médium aproximace jsou popisy média (kompozitního materiálu) na základě vlastností a relativních zlomků jeho složek a jsou odvozeny z výpočtů.^[1]^[2]

Aplikace

Existuje mnoho různých efektivní médium aproximace,^[3] každý z nich je víceméně přesný za odlišných podmínek. Všichni nicméně předpokládají, že makroskopický systém je homogenní a, typický pro všechny střední teorie pole, nedokážou předpovědět vlastnosti vícefázového média v blízkosti práh perkolace kvůli absenci dalekonosných korelací nebo kritických fluktuací v teorii.

Uvažované vlastnosti jsou obvykle vodivost ${displaystyle sigma}$ nebo dielektrická konstanta ${displaystyle epsilon}$ média. Tyto parametry jsou ve vzorcích zaměnitelné v celé řadě modelů kvůli široké použitelnosti Laplaceovy rovnice. Problémy, které nespadají do této třídy, spočívají hlavně v oblasti pružnosti a hydrodynamiky kvůli tenzorovému charakteru vyššího řádu efektivní médium konstanty.

EMA mohou být diskrétní modely, například aplikované na rezistorové sítě, nebo teorie kontinua aplikované na pružnost nebo viskozitu. Většina současných teorií má však potíže s popisem perkolačních systémů. Opravdu, mezi mnoha efektivní médium aproximace, pouze Bruggemanova symetrická teorie je schopna předpovědět prahovou hodnotu. Tato charakteristická vlastnost druhé teorie ji řadí do stejné kategorie jako jiné střední polní teorie kritické jevy.^{[Citace je zapotřebí ]}

Bruggemanův model

Vzorce

Bez jakékoli ztráty obecnosti zvážíme studium efektivní vodivost (která může být buď stejnosměrná, nebo střídavá) pro systém složený ze sférických vícesložkových inkluzí s různými libovolnými vodivostmi. Poté má Bruggemanův vzorec podobu:

Kruhové a sférické inkluze

${displaystyle sum _ {i}, delta _ {i}, {frac {sigma _ {i} -sigma _ {e}} {sigma _ {i} + (n-1) sigma _ {e}}}, = , 0 ,,,,,,,,,,,,,,,,,, (1)}$

V systému euklidovské prostorové dimenze ${displaystyle n}$ který má libovolný počet komponent,^[4] součet se skládá za všechny složky. ${displaystyle delta _ {i}}$ a ${displaystyle sigma _ {i}}$ jsou zlomek a vodivost každé složky a ${displaystyle sigma _ {e}}$ je efektivní vodivost média. (Součet za ${displaystyle delta _ {i}}$ je jednota.)

Eliptické a elipsoidní inkluze

${displaystyle {frac {1} {n}}, delta alpha + {frac {(1-delta) (sigma _ {m} -sigma _ {e})} {sigma _ {m} + (n-1) sigma _ {e}}}, =, 0 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,, (2)}$

Toto je zevšeobecnění rovnice. (1) na dvoufázový systém s elipsoidními inkluze vodivosti ${displaystyle sigma}$ do matice vodivosti ${displaystyle sigma _ {m}}$ .^[5] Podíl inkluzí je ${displaystyle delta}$ a systém je ${displaystyle n}$ dimenzionální. U náhodně orientovaných inkluzí

${displaystyle alpha, =, {frac {1} {n}} součet _ {j = 1} ^ {n}, {frac {sigma -sigma _ {e}} {sigma _ {e} + L_ {j} ( sigma -sigma _ {e})}} ,,,,,,,,,,,,,,,,,,, (3)}$

Kde ${displaystyle L_ {j}}$ Označuje vhodný dublet / triplet depolarizačních faktorů, který je řízen poměry mezi osou elipsy / elipsoidu. Například: v případě kruhu { ${displaystyle L_ {1} = 1/2}$ , ${displaystyle L_ {2} = 1/2}$ } a v případě koule { ${displaystyle L_ {1} = 1/3}$ , ${displaystyle L_ {2} = 1/3}$ , ${displaystyle L_ {3} = 1/3}$ }. (Součet za ${displaystyle L_ {j}}$ je jednota.)

Nejobecnější případ, na který byl použit Bruggemanův přístup, zahrnuje bianisotropní elipsoidní inkluze.^[6]

Derivace

Obrázek ilustruje dvousložkové médium.^[4] Vezměte v úvahu šrafovaný objem vodivosti ${displaystyle sigma _ {1}}$ , ber to jako sféru objemu ${displaystyle V}$ a předpokládejme, že je vložen do jednotného média s efektivní vodivostí ${displaystyle sigma _ {e}}$ . Pokud elektrické pole daleko od zařazení je ${displaystyle {overline {E_ {0}}}}$ pak elementární úvahy vedou k a dipólový moment spojené s objemem

${displaystyle {overline {p}}, propto, V, {frac {sigma _ {1} -sigma _ {e}} {sigma _ {1} + 2sigma _ {e}}}, {overline {E_ {0} }} ,,,,,,,,,,,,,,,,,,, (4) ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}}$

Tento polarizace produkuje odchylku od ${displaystyle {overline {E_ {0}}}}$ . Pokud má průměrná odchylka zmizet, musí zmizet celková polarizace sečtená přes dva typy inkluze. Tím pádem

${displaystyle delta _ {1} {frac {sigma _ {1} -sigma _ {e}} {sigma _ {1} + 2sigma _ {e}}}, +, delta _ {2} {frac {sigma _ { 2} -sigma _ {e}} {sigma _ {2} + 2sigma _ {e}}}, =, 0 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,, (5) }$

kde ${displaystyle delta _ {1}}$ a ${displaystyle delta _ {2}}$ jsou objemové podíly materiálu 1 a 2. To lze snadno rozšířit na systém dimenze ${displaystyle n}$ který má libovolný počet komponent. Všechny případy lze kombinovat, čímž se získá ekv. (1).

Rov. (1) lze také získat tak, že bude vyžadováno, aby odchylka proudu zmizela^[7]^[8]. Bylo zde odvozeno z předpokladu, že inkluze jsou sférické a lze ji pro tvary upravit jinými depolarizačními faktory; vedoucí k ekv. (2).

K dispozici je také obecnější derivace použitelná pro bianisotropní materiály.^[6]

Modelování perkolačních systémů

Hlavní aproximace spočívá v tom, že všechny domény jsou umístěny v ekvivalentním středním poli. Bohužel se nejedná o případ blízký prahové hodnotě perkolace, kdy je systém řízen největším shlukem vodičů, kterým je fraktál, a korelacemi dlouhého dosahu které v Bruggemanově jednoduchém vzorci zcela chybí. Prahové hodnoty obecně nejsou správně předpovídány. Je to 33% v EMA, ve třech rozměrech, daleko od 16% očekávaných z teorie perkolace a pozorovaných v experimentech. Avšak při dvou dimenzích poskytuje EMA prahovou hodnotu 50% a bylo prokázáno, že perkolaci modeluje relativně dobře.^[9]^[10]^[11]

Rovnice Maxwella Garnetta

V Maxwell Garnett aproximace, efektivní médium se skládá z maticového média s ${displaystyle varepsilon _ {m}}$ a inkluze s ${displaystyle varepsilon _ {i}}$ .

Vzorec

Rovnice Maxwella Garnetta zní:^[12]

{displaystyle left ({frac {varepsilon _ {mathrm {eff}} -varepsilon _ {m}} {varepsilon _ {mathrm {eff}} + 2varepsilon _ {m}}} ight) = delta _ {i} left ({ frac {varepsilon _ {i} -varepsilon _ {m}} {varepsilon _ {i} + 2varepsilon _ {m}}} no), ,,,,,,,,,,,,,,,,,,, , (6)}

kde ${displaystyle varepsilon _ {mathrm {eff}}}$ je efektivní dielektrická konstanta média, ${displaystyle varepsilon _ {i}}$ - inkluzí a - ${displaystyle varepsilon _ {m}}$ matice; ${displaystyle delta _ {i}}$ je objemový zlomek inkluzí.

Rovnici Maxwella Garnetta řeší:

{displaystyle varepsilon _ {mathrm {eff}}, =, varepsilon _ {m}, {frac {2delta _ {i} (varepsilon _ {i} -varepsilon _ {m}) + varepsilon _ {i} + 2varepsilon _ { m}} {2varepsilon _ {m} + varepsilon _ {i} -delta _ {i} (varepsilon _ {i} -varepsilon _ {m})}} ,,,,,,,,, (7)}

^[13]^[14]

pokud jmenovatel nezmizí. Jednoduchá kalkulačka MATLAB používající tento vzorec je následující.

% Tato jednoduchá kalkulačka MATLAB počítá efektivní dielektrikum% konstanta směsi inkluzního materiálu v základním médiu% podle teorie Maxwella Garnetta, jak je uvedeno v:% https://en.wikipedia.org/wiki/Effective_Medium_Approximations% VSTUPŮ:% eps_base: dielektrická konstanta základního materiálu;% eps_incl: dielektrická konstanta inkluzního materiálu;% vol_incl: objemová část inkluzního materiálu;% VÝSTUP:% eps_mean: efektivní dielektrická konstanta směsi.funkce[eps_mean] =MaxwellGarnettFormula(eps_base, eps_incl, vol_incl)small_number_cutoff = 1E - 6;    -li vol_incl <0 || vol_incl> 1        disp([„UPOZORNĚNÍ: objemová část inkluzního materiálu je mimo rozsah!“]);    konecfactor_up = 2 * (1 - vol_incl) * eps_base + (1 + 2 * vol_incl) * eps_incl;    factor_down = (2 + vol_incl) * eps_base + (1 - vol_incl) * eps_incl;    -li abs (factor_down)         disp(["VAROVÁNÍ: efektivní médium je singulární!"]);        eps_mean = 0;    jinýeps_mean = eps_base * factor_up / factor_down;    konec

Derivace

Pro odvození rovnice Maxwella Garnetta začneme s řadou polarizovatelných částic. Použitím konceptu lokálního pole Lorentz získáváme Clausius-Mossottiho vztah:

{displaystyle {frac {varepsilon -1} {varepsilon +2}} = {frac {4pi} {3}} součet _ {j} N_ {j} alfa _ {j}}

Kde ${displaystyle N_ {j}}$ je počet částic na jednotku objemu. Použitím elementární elektrostatiky získáme sférickou inkluzi s dielektrickou konstantou ${displaystyle varepsilon _ {i}}$ a poloměr ${displaystyle a}$ polarizovatelnost ${displaystyle alpha}$ :

{displaystyle alpha = left ({frac {varepsilon _ {i} -1} {varepsilon _ {i} +2}} ight) a ^ {3}}

Pokud kombinujeme ${displaystyle alpha}$ s rovnicí Clausius Mosotti dostaneme:

{displaystyle left ({frac {varepsilon _ {mathrm {eff}} -1} {varepsilon _ {mathrm {eff}} +2}} ight) = delta _ {i} left ({frac {varepsilon _ {i} - 1} {varepsilon _ {i} +2}} ight)}

Kde ${displaystyle varepsilon _ {mathrm {eff}}}$ je efektivní dielektrická konstanta média, ${displaystyle varepsilon _ {i}}$ inkluzí; ${displaystyle delta _ {i}}$ je objemový zlomek inkluzí.
Protože model Maxwella Garnetta je složením maticového média s inkluzí, vylepšujeme rovnici:

{displaystyle left ({frac {varepsilon _ {mathrm {eff}} -varepsilon _ {m}} {varepsilon _ {mathrm {eff}} + 2varepsilon _ {m}}} ight) = delta _ {i} left ({ frac {varepsilon _ {i} -varepsilon _ {m}} {varepsilon _ {i} + 2varepsilon _ {m}}} no), ,,,,,,,,,,,,,,,,,,, (8)}

Platnost

Obecně se očekává, že Maxwell Garnett EMA bude platit pro frakce s malým objemem ${displaystyle delta _ {i}}$ , protože se předpokládá, že domény jsou prostorově oddělené a elektrostatická interakce mezi vybranými inkluze a všemi ostatními sousedními inkluzí je zanedbávána.^[15] Na rozdíl od vzorce Maxwell Garnett Bruggemanův vzorec, přestane být správný, když budou inkluze rezonovat. V případě rezonance plazmonu je vzorec Maxwella Garnetta správný pouze při objemovém zlomku inkluzí ${displaystyle delta _ {i} <10 ^ {- 5}}$ .^[16] Použitelnost efektivní aproximace média pro dielektrické vícevrstvy ^[17] a kovově-dielektrické vícevrstvy ^[18] byly studovány, což ukazuje, že existují určité případy, kdy efektivní aproximace média neplatí, a při aplikaci této teorie je třeba být opatrný.

Efektivní teorie média pro rezistorové sítě

Pro síť skládající se z vysoké hustoty náhodných rezistorů může být přesné řešení pro každý jednotlivý prvek nepraktické nebo nemožné. V takovém případě lze náhodnou rezistorovou síť považovat za dvourozměrnou graf a efektivní odpor lze modelovat pomocí grafických měr a geometrických vlastností sítí.^[19]Za předpokladu, že vzdálenost od okraje << vzdálenost elektrod a okraje budou rovnoměrně rozloženy, lze uvažovat o rovnoměrném poklesu potenciálu z jedné elektrody na druhou. Odpor listu takové náhodné sítě ( ${displaystyle R_ {sn}}$ ) lze psát z hlediska hustoty hrany (drátu) ( ${displaystyle N_ {E}}$ ), měrný odpor ( ${displaystyle ho}$ ), šířka ( ${displaystyle w}$ ) a tloušťka ( ${displaystyle t}$ ) hran (drátů) jako:

${displaystyle R_ {sn}, =, {frac {pi} {2}} {frac {ho} {w, t, {sqrt {N_ {E}}}}} ,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,, (9)}$

Viz také

Reference

^ Wenshan, Cai; Shalaev, Vladimir (listopad 2009). Optické metamateriály: základy a aplikace. Springer. Kapitola 2.4. ISBN 978-1-4419-1150-6.
^ Wang, M; Pan, N (2008). „Předpovědi účinných fyzikálních vlastností složitých vícefázových materiálů“ (Stažení PDF zdarma). Věda o materiálech a inženýrství: R: Zprávy. 63: 1–30. doi:10.1016 / j.mser.2008.07.001.
^ Tinga, W. R .; Voss, W. A. G .; Blossey, D. F. (1973). „Zobecněný přístup k teorii vícefázové dielektrické směsi“. J. Appl. Phys. 44 (9): 3897. Bibcode:1973JAP .... 44.3897T. doi:10.1063/1.1662868. Archivovány od originál dne 16. 7. 2012. Citováno 2019-04-24.
^ ^A ^b Landauer, Rolf (duben 1978). „Elektrická vodivost v nehomogenních médiích“. Sborník konferencí AIP. 40. Americký fyzikální institut. s. 2–45. doi:10.1063/1.31150. Archivovány od originál dne 10.7.2012. Citováno 2010-02-07.
^ Granqvist, C. G .; Hunderi, O. (1978). „Vodivost nehomogenních materiálů: teorie efektivního média s interakcí dipól-dipól“. Phys. Rev. B. 18 (4): 1554–1561. Bibcode:1978PhRvB..18.1554G. doi:10.1103 / PhysRevB.18.1554.
^ ^A ^b Weiglhofer, W. S .; Lakhtakia, A .; Michel, B. (1998). „Maxwell Garnett a Bruggeman formalizace pro částicový kompozit s bianisotropním hostitelským médiem“. Microw. Opt. Technol. Lett. 15 (4): 263–266. doi:10.1002 / (SICI) 1098-2760 (199707) 15: 4 <263 :: AID-MOP19> 3.0.CO; 2-8. Archivovány od originál dne 05.01.2013.
^ Stroud, D. (1975). „Zobecněný efektivní a střední přístup k vodivosti nehomogenního materiálu“. Phys. Rev. B. 12 (8): 3368–3373. Bibcode:1975PhRvB..12.3368S. doi:10.1103 / PhysRevB.12.3368.
^ Davidson, A .; Tinkham, M. (1976). "Fenomenologické rovnice pro elektrickou vodivost mikroskopicky nehomogenních materiálů". Phys. Rev. B. 13 (8): 3261–3267. Bibcode:1976PhRvB..13.3261D. doi:10.1103 / PhysRevB.13.3261.
^ Kirkpatrick, Scott (1973). "Perkolace a vedení". Rev. Mod. Phys. 45 (4): 574–588. Bibcode:1973RvMP ... 45..574K. doi:10.1103 / RevModPhys.45,574.
^ Zallen, Richard (1998). Fyzika amorfních pevných látek. Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-29941-7.
^ Rozen, John; Lopez, René; Haglund, Richard F. Jr.; Feldman, Leonard C. (2006). „Dvourozměrná perkolace proudu ve filmech nanokrystalického oxidu vanadičitého“. Appl. Phys. Lett. 88 (8): 081902. Bibcode:2006ApPhL..88h1902R. doi:10.1063/1.2175490. Archivovány od originál dne 2012-07-12. Citováno 2019-04-24.
^ Choy, Tuck C. (1999). Efektivní střední teorie. Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-851892-1.
^ Levy, O., & Stroud, D. (1997). Teorie Maxwella Garnetta pro směsi anizotropních inkluzí: Aplikace na vodivé polymery. Fyzická revize B, 56 (13), 8035.
^ Liu, Tong a kol. „Mikroporézní nanočástice Co @ CoO s vynikajícími mikrovlnnými absorpčními vlastnostmi.“ Nanoscale 6.4 (2014): 2447-2454.
^ Jepsen, Peter Uhd; Fischer, Bernd M .; Thoman, Andreas; Helm, Hanspeter; Suh, J. Y .; Lopez, René; Haglund, R. F. Jr. (2006). „Fázový přechod kov-izolátor ve VO₂ tenký film pozorovaný terahertzovou spektroskopií ". Phys. Rev. B. 74 (20): 205103. Bibcode:2006PhRvB..74t5103J. doi:10.1103 / PhysRevB.74.205103.
^ Belyaev, B. A .; Tyurnev, V. V. (2018). "Elektrodynamický výpočet efektivních elektromagnetických parametrů dielektrického média s kovovými nanočásticemi dané velikosti". Journal of Experimental and Theoretical Physics. 127 (4): 608–619. Bibcode:2018JETP..127..608B. doi:10.1134 / S1063776118100114. S2CID 125250487.
^ Zhukovsky, S. V .; Andryieuski, A., Takayama, O .; Shkondin, E., Malureanu, R .; Jensen, F., Lavrinenko, A. V. (2015). „Experimentální demonstrace efektivního rozkladu aproximace média v hluboko subvlnných all-dielektrických vrstvách“. Dopisy o fyzické kontrole. 115 (17): 177402. arXiv:1506.08078. Bibcode:2015PhRvL.115q7402Z. doi:10.1103 / PhysRevLett.115.177402. PMID 26551143. S2CID 4018894.
^ Sukham, J .; Takayama, O., Mahmoodi, M .; Sychev, S., Bogdanov, A .; Hassan Tavassoli, S., Lavrinenko, A. V .; Malureanu R. (2019). „Vyšetřování efektivní použitelnosti médií pro ultratenké vícevrstvé struktury“. Nanoměřítko. 11 (26): 12582–12588. doi:10.1039 / C9NR02471A. PMID 31231735.
^ Kumar, Ankush; Vidhyadhiraja, N. S .; Kulkarni, G. U. (2017). "Rozložení proudu ve vedení nanodrátových sítí". Journal of Applied Physics. 122 (4): 045101. Bibcode:2017JAP ... 122d5101K. doi:10.1063/1.4985792.

Další čtení

Lakhtakia (Ed.), A. (1996). Vybrané články o lineárních optických kompozitních materiálech [Milestone Vol. 120]. Bellingham, WA, USA: SPIE Press. ISBN 978-0-8194-2152-4.CS1 maint: další text: seznam autorů (odkaz)
Tuck, Choy (1999). Efektivní střední teorie (1. vyd.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-851892-1.
Lakhtakia (vyd.), A. (2000). Elektromagnetická pole v nekonvenčních materiálech a strukturách. New York: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-36356-9.CS1 maint: další text: seznam autorů (odkaz)
Weiglhofer (vyd.); Lakhtakia (Ed.), A. (2003). Úvod do komplexních médií pro optiku a elektromagnetiku. Bellingham, WA, USA: SPIE Press. ISBN 978-0-8194-4947-4.CS1 maint: další text: seznam autorů (odkaz)
Mackay, T. G.; Lakhtakia, A. (2010). Elektromagnetická anizotropie a bianizotropie: Polní průvodce (1. vyd.). Singapur: World Scientific. ISBN 978-981-4289-61-0.

[Cai-book-1] Wenshan, Cai; Shalaev, Vladimir (listopad 2009). Optické metamateriály: základy a aplikace. Springer. Kapitola 2.4. ISBN 978-1-4419-1150-6.

[wang-pan-2] Wang, M; Pan, N (2008). „Předpovědi účinných fyzikálních vlastností složitých vícefázových materiálů“ (Stažení PDF zdarma). Věda o materiálech a inženýrství: R: Zprávy. 63: 1–30. doi:10.1016 / j.mser.2008.07.001.

[3] Tinga, W. R .; Voss, W. A. G .; Blossey, D. F. (1973). „Zobecněný přístup k teorii vícefázové dielektrické směsi“. J. Appl. Phys. 44 (9): 3897. Bibcode:1973JAP .... 44.3897T. doi:10.1063/1.1662868. Archivovány od originál dne 16. 7. 2012. Citováno 2019-04-24.

[landauer-4] A ^b Landauer, Rolf (duben 1978). „Elektrická vodivost v nehomogenních médiích“. Sborník konferencí AIP. 40. Americký fyzikální institut. s. 2–45. doi:10.1063/1.31150. Archivovány od originál dne 10.7.2012. Citováno 2010-02-07.

[5] Granqvist, C. G .; Hunderi, O. (1978). „Vodivost nehomogenních materiálů: teorie efektivního média s interakcí dipól-dipól“. Phys. Rev. B. 18 (4): 1554–1561. Bibcode:1978PhRvB..18.1554G. doi:10.1103 / PhysRevB.18.1554.

[www3.interscience.wiley-6] A ^b Weiglhofer, W. S .; Lakhtakia, A .; Michel, B. (1998). „Maxwell Garnett a Bruggeman formalizace pro částicový kompozit s bianisotropním hostitelským médiem“. Microw. Opt. Technol. Lett. 15 (4): 263–266. doi:10.1002 / (SICI) 1098-2760 (199707) 15: 4 <263 :: AID-MOP19> 3.0.CO; 2-8. Archivovány od originál dne 05.01.2013.

[7] Stroud, D. (1975). „Zobecněný efektivní a střední přístup k vodivosti nehomogenního materiálu“. Phys. Rev. B. 12 (8): 3368–3373. Bibcode:1975PhRvB..12.3368S. doi:10.1103 / PhysRevB.12.3368.

[8] Davidson, A .; Tinkham, M. (1976). "Fenomenologické rovnice pro elektrickou vodivost mikroskopicky nehomogenních materiálů". Phys. Rev. B. 13 (8): 3261–3267. Bibcode:1976PhRvB..13.3261D. doi:10.1103 / PhysRevB.13.3261.

[9] Kirkpatrick, Scott (1973). "Perkolace a vedení". Rev. Mod. Phys. 45 (4): 574–588. Bibcode:1973RvMP ... 45..574K. doi:10.1103 / RevModPhys.45,574.

[10] Zallen, Richard (1998). Fyzika amorfních pevných látek. Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-29941-7.

[11] Rozen, John; Lopez, René; Haglund, Richard F. Jr.; Feldman, Leonard C. (2006). „Dvourozměrná perkolace proudu ve filmech nanokrystalického oxidu vanadičitého“. Appl. Phys. Lett. 88 (8): 081902. Bibcode:2006ApPhL..88h1902R. doi:10.1063/1.2175490. Archivovány od originál dne 2012-07-12. Citováno 2019-04-24.

[TuckChoy-12] Choy, Tuck C. (1999). Efektivní střední teorie. Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-851892-1.

[13] Levy, O., & Stroud, D. (1997). Teorie Maxwella Garnetta pro směsi anizotropních inkluzí: Aplikace na vodivé polymery. Fyzická revize B, 56 (13), 8035.

[14] Liu, Tong a kol. „Mikroporézní nanočástice Co @ CoO s vynikajícími mikrovlnnými absorpčními vlastnostmi.“ Nanoscale 6.4 (2014): 2447-2454.

[15] Jepsen, Peter Uhd; Fischer, Bernd M .; Thoman, Andreas; Helm, Hanspeter; Suh, J. Y .; Lopez, René; Haglund, R. F. Jr. (2006). „Fázový přechod kov-izolátor ve VO₂ tenký film pozorovaný terahertzovou spektroskopií ". Phys. Rev. B. 74 (20): 205103. Bibcode:2006PhRvB..74t5103J. doi:10.1103 / PhysRevB.74.205103.

[16] Belyaev, B. A .; Tyurnev, V. V. (2018). "Elektrodynamický výpočet efektivních elektromagnetických parametrů dielektrického média s kovovými nanočásticemi dané velikosti". Journal of Experimental and Theoretical Physics. 127 (4): 608–619. Bibcode:2018JETP..127..608B. doi:10.1134 / S1063776118100114. S2CID 125250487.

[17] Zhukovsky, S. V .; Andryieuski, A., Takayama, O .; Shkondin, E., Malureanu, R .; Jensen, F., Lavrinenko, A. V. (2015). „Experimentální demonstrace efektivního rozkladu aproximace média v hluboko subvlnných all-dielektrických vrstvách“. Dopisy o fyzické kontrole. 115 (17): 177402. arXiv:1506.08078. Bibcode:2015PhRvL.115q7402Z. doi:10.1103 / PhysRevLett.115.177402. PMID 26551143. S2CID 4018894.

[18] Sukham, J .; Takayama, O., Mahmoodi, M .; Sychev, S., Bogdanov, A .; Hassan Tavassoli, S., Lavrinenko, A. V .; Malureanu R. (2019). „Vyšetřování efektivní použitelnosti médií pro ultratenké vícevrstvé struktury“. Nanoměřítko. 11 (26): 12582–12588. doi:10.1039 / C9NR02471A. PMID 31231735.

[19] Kumar, Ankush; Vidhyadhiraja, N. S .; Kulkarni, G. U. (2017). "Rozložení proudu ve vedení nanodrátových sítí". Journal of Applied Physics. 122 (4): 045101. Bibcode:2017JAP ... 122d5101K. doi:10.1063/1.4985792.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]