Nedimenzionalizace a změna měřítka Navier-Stokesových rovnic - Non-dimensionalization and scaling of the Navier–Stokes equations

tento článek možná nevyvážený k určitým hlediskům. Prosím vylepšit článek přidáním informací o zanedbaných hlediscích nebo projednáním problému na internetu diskusní stránka. (Září 2012)

v mechanika tekutin, nedimenzování Navier-Stokesových rovnic je přeměna Navier-Stokesova rovnice do a nedimenzionální forma. Tato technika může usnadnit analýzu daného problému a snížit počet volné parametry. Malé nebo velké velikosti určitých bezrozměrných parametrů naznačují význam určitých termínů v rovnicích pro studovaný tok. To může poskytnout možnosti zanedbávat termíny v určitých (oblastech) uvažovaného toku. Dále, nedimenzionalizované Navier-Stokesovy rovnice mohou být prospěšné, pokud se jedná o podobné fyzické situace - to jsou problémy, kde jsou jedinými změnami základní změny rozměry systému.

Škálování rovnice Navier-Stokes odkazuje na proces výběru správného prostorové váhy - pro určitý typ toku - má se použít při nedimenzování rovnice. Protože výsledné rovnice musí být bezrozměrné, je třeba najít vhodnou kombinaci parametrů a konstant rovnic a charakteristik toku (domény). Výsledkem této kombinace je snížení počtu parametrů, které mají být analyzovány, a lze získat výsledky z hlediska škálovaných proměnných.

Potřeba nedimenzování a škálování

Kromě snížení počtu parametrů nedimenzionální rovnice pomáhá získat lepší přehled o relativní velikosti různých pojmů přítomných v rovnici.^[1][2]Po vhodném výběru stupnic pro proces nedimenzionalizace to vede k identifikaci malých pojmů v rovnici. Zanedbání menších podmínek oproti větším umožňuje zjednodušení situace. Pro případ průtoku bez přenos tepla, bezrozměrná Navier-Stokesova rovnice závisí pouze na Reynoldsovo číslo a proto všechny fyzické realizace souvisejícího experimentu budou mít stejnou hodnotu nedimenzionálních proměnných pro stejné Reynoldsovo číslo.^[3]

Škálování pomáhá zajistit lepší pochopení fyzické situace s variací rozměrů parametrů použitých v rovnici. To umožňuje provádět experimenty na prototypech menšího rozsahu za předpokladu, že jakékoli fyzikální efekty, které nejsou zahrnuty v nedimenzionální rovnici, nejsou důležité.

Nerozměrná rovnice Navier-Stokes

Nestlačitelná rovnice hybnosti Navier-Stokes je psána jako:

${ displaystyle { frac { částečné mathbf {u}} { částečné t}} + ( mathbf {u} cdot nabla) mathbf {u} = - { frac {1} { rho} } nabla p + nu nabla ^ {2} mathbf {u} + mathbf {g}.}$ ^[4][5]

kde ρ je hustota, p je tlak, ν je kinematická viskozita, u je rychlost proudění, a G je pole zrychlení těla.

Výše uvedenou rovnici lze nedimenzionalizovat výběrem vhodných stupnic následovně:

Měřítko	bezrozměrná proměnná
Délka L	${ displaystyle mathbf {r} ^ {*} = { frac { mathbf {r}} {L}}}$ a ${ displaystyle nabla ^ {*} = L nabla}$
Rychlost proudění U	${ displaystyle mathbf {u} ^ {*} = { frac { mathbf {u}} {U}} ,}$
Čas L/U	${ displaystyle t ^ {*} = { frac {t} {L / U}} ,}$
Tlak: pro stupnici tlaku neexistuje žádný přirozený výběr.	Tam, kde dominují dynamické efekty, tj. Toky s vysokou rychlostí ${ displaystyle p ^ {*} = { frac {p} { rho U ^ {2}}}}$ Tam, kde jsou dominantní viskózní efekty, tj. Plíživé toky ${ displaystyle p ^ {*} = { frac {pL} { mu U}}}$

Dosažením nedimenzionální rovnice nahrazením stupnic je:

${ displaystyle { frac { částečné mathbf {u ^ {*}}} { částečné t ^ {*}}} + ( mathbf {u ^ {*}} cdot nabla ^ {*}) mathbf {u ^ {*}} = - nabla ^ {*} p ^ {*} + { frac {1} {Re}} nabla ^ {* 2} mathbf {u ^ {*}} + { frac {1} {Fr ^ {2}}} { hat {g}}.}$[4]

(1)

kde Fr. je Froude číslo a Re je Reynoldsovo číslo.

Průtoky s vysokou viskozitou

Pro toky kde viskózní síly jsou dominantní, tj. pomalé proudění s velkou viskozitou, viskózní tlaková stupnice μU/L se používá. Pokud není volný povrch, získá se rovnice

${ displaystyle Re left ({ frac { částečné mathbf {u ^ {*}}} { částečné t ^ {*}}} + ( mathbf {u ^ {*}} cdot nabla ^ { *}) mathbf {u ^ {*}} right) = - nabla ^ {*} p ^ {*} + nabla ^ {* 2} mathbf {u ^ {*}}.}$

(2)

Stokesův režim

Škálování rovnice (1) lze provést v toku, kde je setrvačný člen menší než viskózní člen, tj. když Re → 0, pak lze setrvačné členy zanedbávat, takže rovnice a plíživý pohyb.

${ displaystyle Re { frac { mathrm {D} mathbf {u ^ {*}}} { mathrm {D} t ^ {*}}} = - nabla ^ {*} p ^ {*} + nabla ^ {* 2} mathbf {u ^ {*}}.}$

Takové toky mívají vliv viskózní interakce na velké vzdálenosti od objektu.^{[Citace je zapotřebí ]} Při nízkém Reynoldsově čísle se stejná rovnice redukuje na a difúzní rovnice, pojmenovaný Stokesova rovnice

${ displaystyle - nabla ^ {*} p ^ {*} + nabla ^ {* 2} mathbf {u ^ {*}} = mathbf {0}.}$

Eulerův režim

Podobně, pokud Re → ∞, tj. Když dominují setrvačné síly, lze viskózní příspěvek zanedbávat. Bez dimenze Eulerova rovnice pro neviditelný tok je

${ displaystyle { frac { částečné mathbf {u ^ {*}}} { částečné t}} + ( mathbf {u ^ {*}} cdot nabla ^ {*}) mathbf {u ^ {*}} = - nabla ^ {*} p ^ {*}.}$^[6]

Když se hustota mění v důsledku koncentrace i teploty

Kolísání hustoty v důsledku koncentrace i teploty je důležitým studijním oborem dvojitá difúzní konvekce. Pokud se vezmou v úvahu změny hustoty v důsledku teploty i slanosti, pak některé další výrazy přidávají do Z-složky hybnosti následovně:^[7][8]

${ displaystyle { frac { částečné W} { částečné t}} + U { frac { částečné W} { částečné X}} + W { frac { částečné W} { částečné Z}} = - { frac {1} { rho _ {o}}} { frac { částečné p_ {d}} { částečné Z}} + v vlevo ({ frac { částečné ^ {2} Z } { částečné X ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} W} { částečné Z ^ {2}}} pravé) -g levé ( beta _ {s} nabla {S} - beta _ {T} nabla {T} doprava)}$

Kde S je slanost tekutiny, β_T je koeficient tepelné roztažnosti při konstantním tlaku a β_S je koeficient expanze solného roztoku při konstantním tlaku a teplotě.

Bez dimenzování pomocí stupnice:

${ displaystyle S ^ {*} = { frac {S-S_ {B}} {S_ {T} -S_ {B}}}}$ a ${ displaystyle T ^ {*} = { frac {T-T_ {B}} {T_ {T} -T_ {B}}}}$

dostaneme

${ displaystyle { frac { částečné W ^ {*}} { částečné t ^ {*}}} + U ^ {*} { frac { částečné W ^ {*}} { částečné X ^ {* }}} + W ^ {*} { frac { částečné W ^ {*}} { částečné Z ^ {*}}} = - { frac { částečné p_ {d}} { částečné Z ^ {*}}} + Pr left ({ frac { částečné ^ {2} W ^ {*}} { částečné X ^ {* 2}}} + { frac { částečné ^ {2} W ^ {*}} { částečné Z ^ {* 2}}} vpravo) - {Ra_ {s} Pr_ {s} S} + {Ra_ {T} Pr_ {T} T}}$

kde S_T, T_T označte slanost a teplotu v horní vrstvě, S_B, T_B označuje slanost a teplotu ve spodní vrstvě, Ra je Rayleighovo číslo a Pr je Prandtl číslo. Znamení Ra_S a Ra_T se bude měnit v závislosti na tom, zda stabilizuje nebo destabilizuje systém.

Reference

Poznámky pod čarou

jiný

Další čtení