Johnsonovy kruhy - Johnson circles
v geometrie, sada Johnsonovy kruhy zahrnuje tři kruhy stejného poloměr r sdílení jednoho společného průsečíku H. V takové konfiguraci mají kruhy obvykle celkem čtyři průsečíky (body, kde se minimálně dva z nich setkávají): společný bod H že všichni sdílejí, a pro každý ze tří párů kruhů jeden další průsečík (zde označovaný jako jejich 2-průsečík). Pokud některý z kruhů náhodou osciluje, má pouze H jako společný bod, a to se pak bude považovat za to H být také jejich 2-moudrým průnikem; pokud by se měly shodovat, deklarujeme jejich 2-křižovatku jako bod diametrálně opačný H. Tři 2-křižovatky definují referenční trojúhelník postavy. Pojem je pojmenován podle Rogera Arthura Johnsona.[1][2][3]
Vlastnosti
- Středy Johnsonových kruhů leží na kruhu se stejným poloměrem r jak se Johnsonovy kruhy soustředily H. Tato centra tvoří Johnsonův trojúhelník.
- Kruh se soustředil na H s poloměrem 2r, známý jako protikomplementární kruh je tečna ke každému z Johnsonových kruhů. Tři tečné body jsou odrazy bodu H o vrcholech Johnsonova trojúhelníku.
- Body tečnosti mezi Johnsonovými kruhy a protikomplementární kružnicí tvoří další trojúhelník, který se nazývá protikomplementární trojúhelník referenčního trojúhelníku. to je podobný na Johnsonův trojúhelník a je homotetický faktorem 2 se středem na H, jejich společný circumcenter.
- Johnsonova věta: Dva průsečíky Johnsonových kruhů (vrcholy referenčního trojúhelníku ABC) leží na kruhu se stejným poloměrem r jako Johnsonovy kruhy. Tato vlastnost je také dobře známá v Rumunsko tak jako Problém s mincí 5 lei z Gheoghe Ţiţeica.
- Referenční trojúhelník je ve skutečnosti shodný na Johnsonův trojúhelník a je homotetický k tomu faktorem -1.
- Bod H je ortocentrum referenčního trojúhelníku a circumcenter Johnsonova trojúhelníku.
- Homotetický střed Johnsonova trojúhelníku a referenčního trojúhelníku je jejich společný devítibodový střed.
Důkazy
Z definice je zřejmá vlastnost 1. Vlastnost 2 je také jasná: pro libovolný kruh o poloměru ra jakýkoli bod P na něm kruh o poloměru 2r se středem na P je tečna ke kruhu v jeho opačném bodě P; to platí zejména pro P=H, což dává protikomplementární kruh COkamžitě následuje vlastnost 3 ve formulaci homothety; trojúhelník bodů tečnosti je známý jako protikomplementární trojúhelník.
U vlastností 4 a 5 nejprve pozorujte, že kterékoli dva ze tří Johnsonových kruhů jsou zaměněny odrazem ve spojující linii H a jejich 2-moudrý průnik (nebo v jejich společná tečna na H pokud by se tyto body měly shodovat) a tento odraz také zaměňuje dva vrcholy protikomplementárního trojúhelníku ležící na těchto kruzích. 2-moučný průsečík je tedy středem strany protikomplementárního trojúhelníku a H leží na kolmá osa této strany. Nyní jsou středy po stranách libovolného trojúhelníku obrazy jeho vrcholů homothety s faktorem −½, vystředěným v barycentru trojúhelníku. Aplikováno na protikomplementární trojúhelník, který je sám získáván z Johnsonova trojúhelníku homothety s faktorem 2, ze složení homotheties vyplývá, že referenční trojúhelník je homotetický k Johnsonovu trojúhelníku s faktorem -1. Protože taková homothety je a shoda, toto dává vlastnost 5 a také Johnsonovu větu, protože shodné trojúhelníky mají ohraničené kruhy stejného poloměru.
U vlastnosti 6 již bylo stanoveno, že kolmé půlící čáry po stranách protikomplementárního trojúhelníku procházejí bodem H; protože tato strana je rovnoběžná se stranou referenčního trojúhelníku, jsou tyto kolmé přímky také nadmořské výšky referenčního trojúhelníku.
Vlastnost 7 vyplývá bezprostředně z vlastnosti 6, protože homotetické centrum, jehož faktor je -1, musí ležet ve středu oběžníkůÓ referenčního trojúhelníku aH Johnsonova trojúhelníku; druhý je orthocenter referenčního trojúhelníku a jeho devítibodový střed je znám jako ten střed. Protože centrální symetrie také mapuje orthocenter referenčního trojúhelníku k tomu Johnsonova trojúhelníku, homotetický střed je také devítibodovým středem Johnsonova trojúhelníku.
K dispozici je také algebraický důkaz věty Johnsonových kruhů pomocí jednoduchého vektorového výpočtu. Existují vektory , , a , celé délky r, takže Johnsonovy kruhy jsou vycentrovány na , , a . Pak jsou 2-průsečíky průsečíky , , a a bod jasně má vzdálenost r do kteréhokoli z těchto 2-křižovatek.
Další vlastnosti
Tři Johnsonovy kružnice lze považovat za odrazy kruhového obrysu referenčního trojúhelníku kolem každé ze tří stran referenčního trojúhelníku. Dále, pod odrazy kolem tří stran referenčního trojúhelníku, jeho orthocentra H se mapuje do tří bodů na kružnici referenčního trojúhelníku, které tvoří vrcholy cirkumorthický trojúhelník, jeho circumcenter Ó mapuje na vrcholy Johnsonova trojúhelníku a jeho Eulerova linie (linka prochází Ó, N a H) generuje tři řádky, které jsou v X(110).
Johnsonův trojúhelník a jeho referenční trojúhelník sdílejí stejný střed devíti bodů, stejnou Eulerovu čáru a stejnou devítibodový kruh. Šest bodů vytvořených z vrcholů referenčního trojúhelníku a jeho Johnsonova trojúhelníku leží na Johnson v cirkuse který je vystředěn ve středu devíti bodů a který má bod X(216) referenčního trojúhelníku jako jeho perspektivy. Cirkumconic a circumcircle sdílejí čtvrtý bod, X(110) referenčního trojúhelníku.
Nakonec existují dvě zajímavé a zdokumentované cirkumkubiky, které procházejí šesti vrcholy referenčního trojúhelníku a jeho Johnsonova trojúhelníku, stejně jako circumcenter, orthocenter a devětbodový střed. První je známý jako první Musselmanova kubická - K.026. Tato kubika také prochází šesti vrcholy mediální trojúhelník a střední trojúhelník Johnsonova trojúhelníku. Druhá kubická je známá jako Eulerova centrální kubická - K.044. Tato kubika také prochází šesti vrcholy ortický trojúhelník a ortický trojúhelník Johnsonova trojúhelníku.
The X(i) bodový zápis je Clark Kimberling ATD klasifikace středů trojúhelníků.
externí odkazy
- Weisstein, Eric W. „Johnsonova věta“. MathWorld.
- F. M. Jackson a Weisstein, Eric W. „Johnson Circles“. MathWorld.
- F. M. Jackson a Weisstein, Eric W. „Johnsonův trojúhelník“. MathWorld.
- Weisstein, Eric W. „Johnson Circumconic“. MathWorld.
- Weisstein, Eric W. „Anticomplementary Triangle“. MathWorld.
- Weisstein, Eric W. „Circum-Orthic Triangle“. MathWorld.
- Bernard Gibert Circumcubic K026
- Bernard Gibert Circumcubic K044
- Clark Kimberling, “Encyklopedie středů trojúhelníků ". (Uvádí přibližně 3000 zajímavých bodů spojených s libovolným trojúhelníkem.)
Reference
- ^ Roger Arthur Johnson, Moderní geometrie:Základní pojednání o geometrii trojúhelníku a kruhu, Houghton, Mifflin Company, 1929
- ^ Roger Arthur Johnson, "Kruhová věta", Americký matematický měsíčník 23, 161–162, 1916.
- ^ Roger Arthur Johnson (1890–1954) Archivováno 2013-09-13 na Wayback Machine