Devítibodová hyperbola - Nine-point hyperbola

Devítibodová hyperbola: Jedna větev půlí BA, před naším letopočtem, a BP. Druhá větev půlí PA, PC, a AC, stejně jako průchod BA.PC a AP.BC.

v rovinná geometrie s trojúhelník ABC, devítibodová hyperbola je instancí devítibodový kuželovitý tvar popsal Maxime Bôcher v roce 1892. Oslavovaný devítibodový kruh je samostatná instance Bôcherova kuželosečky:

Vzhledem k trojúhelníku ABC a bod P v jeho rovině lze kužel nakreslit následujícími devíti body:

the střední body ze stran ABC,

středy spojovacích čar P k vrcholům a

body, kde tyto poslední pojmenované čáry prořezávají strany trojúhelníku.

Kuželovitý je elipsa -li P leží v interiéru ABC nebo v jedné z oblastí roviny oddělené od vnitřku dvěma stranami trojúhelníku; jinak je kuželosečka a hyperbola. Bôcher poznamenává, že když P je ortocentrum, jeden získá devítibodovou kružnici a kdy P je na obvod z ABC, pak je kuželosečka rovnostranná hyperbola.

Allen

Přístup k devítibodové hyperbole pomocí analytická geometrie z rozdělená komplexní čísla byl navržen E. F. Allenem v roce 1941.^[1] Psaní z = A + b j, j² = 1, k vyjádření hyperboly používá aritmetiku s děleným komplexem

${displaystyle zz ^ {*} = a ^ {2}.}$

Používá se jako cirkadiální trojúhelníku ${displaystyle t_ {1}, t_ {2}, t_ {3}.}$ Nechat ${displaystyle s = t_ {1} + t_ {2} + t_ {3}.}$ Pak je devítibodový kuželovitý tvar

${displaystyle (z-s / 2) (z ^ {*} - s ^ {*} / 2) = {frac {a ^ {2}} {4}}.}$

Allenův popis devítibodové hyperboly sledoval vývoj devítibodový kruh že Frank Morley a jeho syn publikovali v roce 1933. Zrekvírovali jednotkový kruh v složité letadlo jako obvod daného trojúhelníku.

V roce 1953 Allen rozšířil svou studii na devítibodový kuželovitý trojúhelník vepsaný do jakéhokoli středového kužele.^[2]

Yaglom

Pro Yaglom je hyperbola a Minkowskian kruh jako v Minkowského letadlo. Yaglomův popis této geometrie se nachází v kapitole „Závěr“ knihy, která se původně zabývá galilejskou geometrií.^[3] Považuje trojúhelník zapsaný do „circumcircle“, který je ve skutečnosti hyperbolou. V Minkowského rovině je devítibodová hyperbola také popsána jako kruh:

... středy stran trojúhelníku ABC a nohy jeho nadmořských výšek (stejně jako středy segmentů spojujících ortocentrum △ ABC s jeho vrcholy) leží na [minkowského] kruhu S jehož poloměr je polovina poloměru kruhového kruhu trojúhelníku. Je přirozené označovat S jako šest (devíti) bodový kruh (minkowského) trojúhelníku ABC; pokud má trojúhelník ABC kruh s, pak šest- (devět-) bodový kruh S z △ ABC se dotýká svého kruhu s (Obr. 173).

Ostatní

V roce 2005 J. A. Scott^[4] použil jednotka hyperbola jako cirkadiální trojúhelníku ABC a našel podmínky pro to, aby zahrnoval šest středů trojúhelníku: the těžiště X (2) se ortocentrum X (4) se Fermatovy body X (13) a X (14) a Napoleonovy body X (17) a X (18) uvedené v seznamu Encyclopedia of Triangle Centers. Scottova hyperbola je a Kiepertova hyperbola trojúhelníku.

Christopher Bath^[5] popisuje devítibodovou obdélníkovou hyperbolu procházející těmito středy: stimulant X (1), tři excentry, těžiště X (2), de Longchamps bod X (20) a tři body získané prodloužením trojúhelníku mediány na dvojnásobek jejich cevian délka.

Reference

• Maxime Bôcher (1892) Devětibodová kuželosečka, Annals of Mathematics, odkaz od Jstor.
• Maud A. Minthorn (1912) Kužel Nine Point, Magisterská disertační práce v University of California, Berkeley, odkaz od HathiTrust. Maude Ellen Minthorn, narozen 1883, LeMars, Iowa, zemřel 1966, St. Petersburg, Florida. Dau. Pennington Minthorn, 1856-1939, (bratr Hulda Minthorn Hoover, matka pres. Herberta Hoovera) a Anna Mary Heald, 1887-1940, (sestra Franklina Hermana Healda, zakladatele Lake Elsinore, Kalifornie (WRH), Maud Minthorn také učil na Fresno, Cal, střední škola 1935-1940
• Bjørn Felsager (2004) Minkowski geometrie, část 1, Minkowski geometrie, část 2 ICME-10 Kodaň.