Maticový polynom - Matrix polynomial

V matematice, a maticový polynom je polynom s čtvercové matice jako proměnné. Vzhledem k obyčejnému polynomu se skalární hodnotou

${ displaystyle P (x) = součet _ {i = 0} ^ {n} {a_ {i} x ^ {i}} = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ { 2} + cdots + a_ {n} x ^ {n},}$

tento polynom byl vyhodnocen na matici A je

${ displaystyle P (A) = součet _ {i = 0} ^ {n} {a_ {i} A ^ {i}} = a_ {0} I + a_ {1} A + a_ {2} A ^ {2} + cdots + a_ {n} A ^ {n},}$

kde Já je matice identity.^[1]

A maticová polynomická rovnice je rovnost mezi dvěma maticovými polynomy, která platí pro konkrétní dotyčné matice. A maticová polynomiální identita je polynomiální rovnice matice, která platí pro všechny matice A ve specifikovaném maticový prsten M_n(R).

Charakteristický a minimální polynom

The charakteristický polynom matice A je polynom se skalární hodnotou, definovaný symbolem ${ displaystyle p_ {A} (t) = det vlevo (ti-A vpravo)}$. The Cayley-Hamiltonova věta uvádí, že pokud je tento polynom zobrazen jako maticový polynom a vyhodnocen na matici A výsledkem je nulová matice: ${ displaystyle p_ {A} (A) = 0}$. Charakteristický polynom je tedy polynom, který ničí A.

Existuje jedinečný monický polynom minimálního stupně, který ničí A; tento polynom je minimální polynom. Libovolný polynom, který ničí A (například charakteristický polynom) je násobkem minimálního polynomu.^[2]

Z toho vyplývá, že vzhledem ke dvěma polynomům P a Q, my máme ${ displaystyle P (A) = Q (A)}$ kdyby a jen kdyby

${ displaystyle P ^ {(j)} ( lambda _ {i}) = Q ^ {(j)} ( lambda _ {i}) qquad { text {pro}} j = 0, ldots, n_ {i} -1 { text {and}} i = 1, ldots, s,}$

kde ${ displaystyle P ^ {(j)}}$ označuje jth derivát P a ${ displaystyle lambda _ {1}, tečky, lambda _ {s}}$ jsou vlastní čísla z A s odpovídajícími indexy ${ displaystyle n_ {1}, tečky, n_ {s}}$ (index vlastního čísla je velikost jeho největšího Jordan blok ).^[3]

Maticová geometrická řada

Maticové polynomy lze použít k součtu maticových geometrických řad jako obyčejné geometrické řady,

${ displaystyle S = I + A + A ^ {2} + cdots + A ^ {n}}$

${ displaystyle AS = A + A ^ {2} + A ^ {3} + cdots + A ^ {n + 1}}$

${ displaystyle (I-A) S = S-AS = I-A ^ {n + 1}}$

${ displaystyle S = (I-A) ^ {- 1} (I-A ^ {n + 1})}$

Li Já − A je nonsingular lze vyhodnotit výraz pro součetS.

Viz také

• Latimer – MacDuffee věta
• Exponenciální matice
• Maticová funkce

Poznámky

Reference

• Gohberg, Izrael; Lancaster, Peter; Rodman, Leiba (2009) [1982]. Maticové polynomy. Classics in Applied Mathematics. 58. Lancaster, PA: Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku. ISBN  0-898716-81-0. Zbl  1170.15300.
• Higham, Nicholas J. (2000). Funkce matic: Teorie a výpočet. SIAM. ISBN  089-871-777-9.CS1 maint: ref = harv (odkaz).
• Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (1990). Maticová analýza. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-38632-6.CS1 maint: ref = harv (odkaz).