Skupina tříd mapování povrchu - Mapping class group of a surface

V matematice a přesněji v topologie, skupina tříd mapování a povrch, někdy nazývané modulární skupina nebo Modulární skupina Teichmüller, je skupina homeomorfismy povrchu při pohledu až k souvislému (v kompaktně otevřená topologie ) deformace. Má to zásadní význam pro studium 3 rozdělovače prostřednictvím jejich vložených povrchů a je také studována v algebraická geometrie ve vztahu k moduly problémy pro křivky.

The skupina tříd mapování lze definovat libovolně rozdělovače (skutečně pro libovolné topologické prostory), ale 2-dimenzionální nastavení je nejvíce studováno teorie skupin.

Skupina tříd mapování povrchů souvisí zejména s různými dalšími skupinami opletení skupiny a vnější skupiny automorfismu.

Dějiny

Skupina tříd mapování se objevila v první polovině dvacátého století. Jeho počátky spočívají ve studiu topologie hyperbolických povrchů, zejména ve studiu průsečíků uzavřených křivek na těchto plochách. Nejčasnějšími přispěvateli byli Max Dehn a Jakob Nielsen: Dehn prokázal konečnou generaci skupiny,^[1] a Nielsen uvedli klasifikaci mapovacích tříd a dokázali, že všechny automorfismy základní skupiny ploch lze reprezentovat homeomorfizmy (Dehn – Nielsen – Baerova věta).

Teorie Dehn – Nielsen byla v polovině sedmdesátých let znovu interpretována Thurston kdo dal subjektu geometrickější chuť^[2] a tuto práci s velkým úspěchem využil ve svém programu pro studium trojrozdělovačů.

V poslední době byla skupina tříd mapování sama o sobě ústředním tématem teorie geometrických skupin, kde poskytuje testovací základnu pro různé dohady a techniky.

Definice a příklady

Skupina tříd mapování orientovatelných povrchů

Nechat ${ displaystyle S}$ být připojeno, Zavřeno, orientovatelný povrch a ${ displaystyle mathrm {Homeo} ^ {+} (S)}$ skupina orientačně udržujících nebo pozitivních homeomorfismů ${ displaystyle S}$. Tato skupina má přirozenou topologii, kompaktně otevřenou topologii. Lze jej snadno definovat funkcí vzdálenosti: pokud dostaneme metriku ${ displaystyle d}$ na ${ displaystyle S}$ vyvolání jeho topologie pak funkce definované

${ displaystyle delta (f, g) = sup _ {x v S} vlevo (d (f (x), g (x) vpravo)}$

je vzdálenost vyvolávající kompaktně otevřenou topologii ${ displaystyle mathrm {Homeo} ^ {+} (S)}$. The propojená složka identity pro tuto topologii je označena ${ displaystyle mathrm {Homeo} _ {0} (S)}$. Podle definice se rovná homeomorfismům ${ displaystyle S}$ které jsou pro identitu izotopové. Je to normální podskupina skupiny pozitivních homeomorfismů a skupiny mapovacích tříd ${ displaystyle S}$ je skupina

${ displaystyle mathrm {Mod} (S) = mathrm {Homeo} ^ {+} (S) / mathrm {Homeo} _ {0} (S)}$.

Tohle je počitatelný skupina.

Pokud upravíme definici tak, aby zahrnovala všechny homeomorfismy, získáme rozšířená skupina tříd mapování ${ displaystyle mathrm {Mod} ^ { pm} (S)}$, který obsahuje skupinu tříd mapování jako podskupinu indexu 2.

Tuto definici lze učinit také v diferencovatelné kategorii: nahradíme-li všechny výskyty „homeomorfismu“ výše výrazem „difeomorfismus „získáme stejnou skupinu, to je zařazení ${ displaystyle mathrm {Diff} ^ {+} (S) podmnožina mathrm {Homeo} ^ {+} (S)}$ indukuje izomorfismus mezi kvocienty podle jejich příslušných složek identity.

Skupiny mapovacích tříd koule a torusu

Předpokládejme to ${ displaystyle S}$ je jednotková koule v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$. Pak jakýkoli homeomorfismus z ${ displaystyle S}$ je izotopový buď k identitě, nebo k omezení na ${ displaystyle S}$ symetrie v rovině ${ displaystyle z = 0}$. Ta druhá nezachovává orientaci a vidíme, že skupina tříd mapování koule je triviální a její rozšířená skupina tříd mapování je ${ displaystyle mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}}$, cyklická skupina řádu 2.

Skupina tříd mapování torus ${ displaystyle mathbb {T} ^ {2} = mathbb {R} ^ {2} / mathbb {Z} ^ {2}}$ je přirozeně identifikován s modulární skupina ${ displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {Z})}$. Je snadné vytvořit morfismus ${ displaystyle Phi: mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {Z}) to mathrm {Mod} ( mathbb {T} ^ {2})}$: každý ${ displaystyle A in mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {Z})}$ vyvolává difeomorfismus ${ displaystyle mathbb {T} ^ {2}}$ přes ${ displaystyle x + mathbb {Z} ^ {2} mapsto Ax + mathbb {Z} ^ {2}}$. Působení difeomorfismů na první skupinu homologie ${ displaystyle mathbb {T} ^ {2}}$ dává inverzi doleva ${ displaystyle Pi}$ morfismu ${ displaystyle Phi}$ (zejména prokazující, že je to injekční) a lze to ověřit ${ displaystyle Pi}$ je injekční, takže ${ displaystyle Pi, Phi}$ jsou inverzní izomorfismy mezi ${ displaystyle mathrm {Mod} ( mathbb {T} ^ {2})}$ a ${ displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {Z})}$.^[3] Stejným způsobem skupina rozšířené třídy mapování ${ displaystyle mathbb {T} ^ {2}}$ je ${ displaystyle mathrm {GL} _ {2} ( mathbb {Z})}$.

Mapování skupiny tříd povrchů s ohraničením a proraženími

V případě, že ${ displaystyle S}$ je kompaktní povrch s neprázdným povrchem hranice ${ displaystyle částečné S}$ pak musí být definice skupiny tříd mapování přesnější. Skupina ${ displaystyle mathrm {Homeo} ^ {+} (S, částečné S)}$ homeomorfismů vzhledem k hranici je podskupina ${ displaystyle mathrm {Homeo} ^ {+} (S)}$ které omezují na identitu na hranici a podskupinu ${ displaystyle mathrm {Homeo} _ {0} (S, částečné S)}$ je propojená součást identity. Skupina třídy mapování je poté definována jako

${ displaystyle mathrm {Mod} (S) = mathrm {Homeo} ^ {+} (S, částečné S) / mathrm {Homeo} _ {0} (S, částečné S)}$.

Povrch s vpichy je kompaktní povrch s odstraněným konečným počtem bodů („propíchnutí“). Skupina tříd mapování takového povrchu je definována výše (všimněte si, že třídy mapování mohou permutovat propíchnutí, ale ne hraniční komponenty).

Mapování skupiny tříd prstence

Žádný prstenec je pro podmnožinu homeomorfní ${ displaystyle A_ {0} = {1 leq | z | leq 2 }}$ z ${ displaystyle mathbb {C}}$. Lze definovat difeomorfismus ${ displaystyle tau _ {0}}$ podle následujícího vzorce:

${ displaystyle tau _ {0} (z) = e ^ {2i pi | z |} z}$

což je identita na obou hraničních složkách ${ displaystyle {| z | = 1 }, {| z | = 2 }}$. Skupina tříd mapování ${ displaystyle A}$ je pak generován třídou ${ displaystyle tau _ {0}}$.

Skupiny opletení a mapování skupin tříd

Skupiny opletení lze definovat jako skupiny tříd mapování disku s propíchnutím. Přesněji řečeno, skupina opletení je zapnutá n strands je přirozeně izomorfní ke skupině třídy mapování disku s n propíchnutí.^[4]

Dehnova – Nielsen – Baerova věta

Li ${ displaystyle S}$ je Zavřeno a ${ displaystyle f}$ je homeomorfismus z ${ displaystyle S}$ pak můžeme definovat automorfismus ${ displaystyle f _ {*}}$ základní skupiny ${ displaystyle pi _ {1} (S, x_ {0})}$ takto: opravte cestu ${ displaystyle gamma}$ mezi ${ displaystyle x_ {0}}$ a ${ displaystyle f (x_ {0})}$ a pro smyčku ${ displaystyle alpha}$ se sídlem v ${ displaystyle x_ {0}}$ představující prvek ${ displaystyle [ alpha] in pi _ {1} (S, x_ {0})}$ definovat ${ displaystyle f _ {*} ([ alpha])}$ být prvkem základní skupiny spojené se smyčkou ${ displaystyle { bar { gamma}} * f ( alpha) * gamma}$. Tento automorfismus závisí na výběru ${ displaystyle gamma}$, ale pouze do konjugace. Tak dostaneme dobře definovanou mapu z ${ displaystyle mathrm {Homeo} (S)}$ do vnější skupiny automorfismu ${ displaystyle mathrm {Out} ( pi _ {1} (S, x_ {0}))}$. Tato mapa je morfismem a její jádro je přesně podskupinou ${ displaystyle mathrm {Homeo} _ {0} (S)}$. Věta Dehn – Nielsen – Baer uvádí, že je navíc surjektivní.^[5] Zejména to znamená, že:

Rozšířená skupina tříd mapování ${ displaystyle mathrm {Mod} ^ { pm} (S)}$ je izomorfní se skupinou vnějšího automorfismu ${ displaystyle mathrm {Out} ( pi _ {1} (S))}$.

Obrázek skupiny mapovacích tříd je podskupinou indexu 2 skupiny vnějšího automorfismu, kterou lze charakterizovat působením na homologii.

Závěr věty neplatí, když ${ displaystyle S}$ má neprázdnou hranici (kromě konečného počtu případů). V tomto případě je základní skupina volná skupina a vnější skupina automorfismu Out (Fn) je striktně větší než obraz skupiny mapovacích tříd prostřednictvím morfismu definovaného v předchozím odstavci. Obrázek je přesně ten vnější automorfismus, který zachovává každou třídu konjugace v základní skupině odpovídající hraniční složce.

Birmanova přesná sekvence

Toto je přesná sekvence vztahující se ke skupině mapovacích tříd povrchů se stejným rodem a hranicí, ale s jiným počtem propíchnutí. Jedná se o základní nástroj, který umožňuje používat rekurzivní argumenty při studiu mapování skupin tříd. Bylo prokázáno Joan Birman v roce 1969.^[6] Přesné prohlášení je následující.^[7]

Nechat ${ displaystyle S}$ být kompaktní povrch a ${ displaystyle x v S}$. Existuje přesná sekvence

${ displaystyle 1 to pi _ {1} (S, x) to mathrm {Mod} (S setminus {x }) to mathrm {Mod} (S) až 1}$.

V případě, že ${ displaystyle S}$ sama má defekty ve skupině mapovacích tříd ${ displaystyle mathrm {Mod} (S setminus {x })}$ musí být nahrazena podskupinou konečných indexů oprav tříd mapování ${ displaystyle x}$.

Prvky skupiny tříd mapování

Dehn se zvrtne

Li ${ displaystyle c}$ je orientovaná jednoduchá uzavřená křivka na ${ displaystyle S}$ a jeden si zvolí uzavřenou trubkovou čtvrť ${ displaystyle A}$ pak existuje homeomorfismus ${ displaystyle f}$ z ${ displaystyle A}$ ke kanonickému mezikruží ${ displaystyle A_ {0}}$ definované výše, odesílání ${ displaystyle c}$ do kruhu s proti směru hodinových ručiček orientace. Používá se k definování homeomorfismu ${ displaystyle tau _ {c}}$ z ${ displaystyle S}$ takto: na ${ displaystyle S setminus A}$ je to identita atd ${ displaystyle A}$ to se rovná ${ displaystyle f ^ {- 1} circ tau _ {0} circ f}$. Třída ${ displaystyle tau _ {c}}$ ve skupině tříd mapování ${ displaystyle mathrm {Mod} (S)}$ nezávisí na výběru ${ displaystyle f}$ výše a výsledný prvek se nazývá Dehn twist o ${ displaystyle c}$. Li ${ displaystyle c}$ není null-homotopická, tato třída mapování je netriviální a obecněji jsou Dehnovy zvraty definované dvěma nehomotopickými křivkami odlišnými prvky ve skupině tříd mapování.

Ve skupině třídy mapování torusu identifikované s ${ displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {Z})}$ Dehnovy zvraty odpovídají unipotentním maticím. Například matice

${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 1 0 & 1 end {pmatrix}}}$

odpovídá Dehnovu zákrutu kolem horizontální křivky v torusu.

Klasifikace Nielsen – Thurston

Existuje klasifikace mapovacích tříd na povrchu, původně kvůli Nielsenovi a znovu objevená Thurstonem, kterou lze uvést následovně. Prvek ${ displaystyle g in mathrm {Mod} (S)}$ je buď:

• konečného řádu (tj. existuje ${ displaystyle n> 0}$ takhle ${ displaystyle g ^ {n}}$ je identita),
• reducible: existuje sada disjunktních uzavřených křivek ${ displaystyle S}$ který je zachován působením ${ displaystyle g}$;
• nebo pseudo-Anosov.

Hlavní náplní věty je, že třída mapování, která není ani konečného řádu, ani redukovatelná, musí být pseudo-Anosov, který lze explicitně definovat dynamickými vlastnostmi.^[8]

Pseudo-anosovské difeomorfismy

Studium pseudo-anosovských difeomorfismů povrchu je zásadní. Jedná se o nejzajímavější difeomorfismy, protože třídy mapování konečného řádu jsou izotopické vůči izometriím, a proto jsou dobře pochopeny, a studium redukovatelných tříd se v podstatě redukuje na studium mapovacích tříd na menších plochách, které samy o sobě mohou být buď konečným řádem nebo pseudo- Anosov.

Třídy mapování Pseudo-Anosov jsou "obecné" ve skupině tříd mapování různými způsoby. Například náhodná procházka ve skupině tříd mapování skončí na prvku pseudo-Anosov s pravděpodobností tendencí k 1, jak počet kroků roste.

Akce skupiny tříd mapování

Akce v prostoru Teichmüller

Vzhledem k propíchnutému povrchu ${ displaystyle S}$ (obvykle bez hranice) Teichmüllerův prostor ${ displaystyle T (S)}$ je prostor označených komplexních (ekvivalentně, konformních nebo úplných hyperbolických) struktur na ${ displaystyle S}$. Ty jsou reprezentovány dvojicemi ${ displaystyle (X, f)}$ kde ${ displaystyle X}$ je Riemannův povrch a ${ displaystyle f: S až X}$ homeomorfismus, modulo vhodný vztah ekvivalence. Je zjevná akce skupiny ${ displaystyle mathrm {Homeo} ^ {+} (S)}$ na takové páry, které sestoupí k akci ${ displaystyle mathrm {Mod} (S)}$ na Teichmüllerově prostoru.

Tato akce má mnoho zajímavých vlastností; například to je správně nesouvislé (i když ne volný, uvolnit ). Je kompatibilní s různými geometrickými strukturami (metrickými nebo komplexními), se kterými ${ displaystyle T (S)}$ může být obdařen. Zejména Teichmüllerova metrika může být použita ke stanovení některých rozsáhlých vlastností skupiny tříd mapování, například že maximální kvazi-izometricky vložené byty v ${ displaystyle mathrm {Mod} (S)}$ mají rozměr ${ displaystyle 3g-3 + k}$.^[9]

Akce se vztahuje na Thurstonova hranice Teichmüllerova prostoru a Nielsen-Thurstonovu klasifikaci mapovacích tříd lze vidět v dynamických vlastnostech akce na Teichmüllerově prostoru spolu s jeho Thurstonovou hranicí. A to:^[10]

• Prvky konečného řádu fixují bod uvnitř Teichmüllerova prostoru (konkrétněji to znamená, že jakákoli třída mapování konečného řádu v ${ displaystyle mathrm {Mod} (S)}$ lze realizovat jako izometrii pro nějakou hyperbolickou metriku ${ displaystyle S}$);
• Třídy Pseudo-Anosov fixují dva body na hranici odpovídající jejich stabilní a nestabilní foliaci a akce je minimální (má hustou dráhu) na hranici;
• Reducibilní třídy nepůsobí na hranici minimálně.

Akce na komplexu křivky

The křivkový komplex povrchu ${ displaystyle S}$ je komplex, jehož vrcholy jsou izotopové třídy jednoduchých uzavřených křivek ${ displaystyle S}$. Akce skupin tříd mapování ${ displaystyle mathrm {Mod} (S)}$ na vrcholech se přenáší do celého komplexu. Akce není správně nespojitá (stabilizátor jednoduché uzavřené křivky je nekonečná skupina).

Tuto akci lze společně s kombinatorickými a geometrickými vlastnostmi komplexu křivek použít k prokázání různých vlastností skupiny tříd mapování.^[11] Zejména vysvětluje některé hyperbolické vlastnosti skupiny tříd mapování: zatímco jak bylo uvedeno v předchozí části, skupina tříd mapování není hyperbolická skupina, má některé vlastnosti, které jim připomínají.

Další komplexy s akcí skupiny mapování třídy

Kalhoty komplex

The kalhotový komplex kompaktního povrchu ${ displaystyle S}$ je komplex, jehož vrcholy jsou rozklady kalhot z ${ displaystyle S}$ (třídy izotopy maximálních systémů disjunktních jednoduchých uzavřených křivek). Akce ${ displaystyle mathrm {Mod} (S)}$ se vztahuje i na akci v tomto komplexu. Tento komplex je kvazi-izometrický vůči Teichmüllerovu prostoru obdařenému Weil – Peterssonova metrika.^[12]

Komplex značení

Stabilizátory působení skupiny mapovacích tříd na komplexy křivky a kalhot jsou poměrně velké. The komplex značení je komplex, jehož vrcholy jsou značení z ${ displaystyle S}$, na které působí skupina triviálních stabilizátorů ve skupině tříd mapování ${ displaystyle mathrm {Mod} (S)}$. Je (na rozdíl od komplexu křivky nebo kalhot) a místně konečné komplex, který je kvazi-izometrický vůči skupině tříd mapování.^[13]

Značení^[A] je určen rozkladem kalhot ${ displaystyle alpha _ {1}, ldots, alpha _ { xi}}$ a soubor příčných křivek ${ displaystyle beta _ {1}, ldots, beta _ { xi}}$ tak, že každý z ${ displaystyle beta _ {i}}$ protíná maximálně jeden z ${ displaystyle alpha _ {i}}$, a to „minimálně“ (jedná se o technický stav, který lze konstatovat následovně: pokud ${ displaystyle alpha _ {i}, beta _ {i}}$ jsou obsaženy v podpovrchové homeomorfní k torusu, pak se protínají jednou, a pokud je povrchem koule se čtyřmi otvory, protínají se dvakrát). Dvě odlišná označení jsou spojena hranou, pokud se liší „elementárním pohybem“, a úplný komplex se získá přidáním všech možných výškově jednoduchých jednoduchostí.

Generátory a relace pro mapování skupin tříd

Dehn – Lickorishova věta

Skupina tříd mapování je generována podmnožinou Dehnových zvratů o všech jednoduchých uzavřených křivkách na povrchu. Dehn – Lickorishova věta uvádí, že k vygenerování skupiny tříd mapování stačí vybrat konečný počet z nich.^[14] Tím se zobecňuje skutečnost, že ${ displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {Z})}$ je generován maticemi

${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 1 0 & 1 end {pmatrix}}, { begin {pmatrix} 1 & 0 1 & 1 end {pmatrix}}}$.

Zejména skupina tříd mapování povrchu je a konečně generovaná skupina.

Nejmenší počet Dehnových zvratů, které mohou generovat skupinu tříd mapování uzavřeného povrchu rodu ${ displaystyle g geq 2}$ je ${ displaystyle 2g + 1}$; toto bylo později prokázáno Humphriesem.

Konečná prezentovatelnost

Je možné dokázat, že všechny vztahy mezi Dehnovými zvraty v generovací sadě pro skupinu tříd mapování lze mezi nimi zapsat jako kombinace konečného počtu. To znamená, že skupina tříd mapování povrchu je a konečně představená skupina.

Jedním ze způsobů, jak dokázat tuto větu, je odvodit ji z vlastností působení skupiny mapovacích tříd na komplex kalhotek: stabilizátor vrcholu je viděn jako konečně prezentovaný a akce je spolurčitá. Vzhledem k tomu, že komplex je propojen a jednoduše připojen, vyplývá z toho, že skupina tříd mapování musí být definitivně vygenerována. Existují i ​​jiné způsoby, jak získat konečné prezentace, ale v praxi je jediným, který poskytuje explicitní vztahy pro všechny geny, ten, který je popsán v tomto odstavci s mírně odlišným komplexem místo komplexu křivek, který se nazývá složitý systém řezu.^[15]

Příkladem vztahu mezi Dehnovými zvraty vyskytujícími se v této prezentaci je vztah lucerny.

Jiné systémy generátorů

Kromě Dehnových zvratů existují pro skupinu tříd mapování další zajímavé systémy generátorů. Například, ${ displaystyle mathrm {Mod} (S)}$ lze generovat dvěma prvky^[16] nebo involucemi.^[17]

Kohomologie skupiny tříd mapování

Li ${ displaystyle S}$ je povrch rodu ${ displaystyle g}$ s ${ displaystyle b}$ mezní složky a ${ displaystyle k}$ defekty pak virtuální cohomologická dimenze z ${ displaystyle mathrm {Mod} (S)}$ je rovný ${ displaystyle 4g-4 + b + k}$.

První homologie skupiny tříd mapování je konečná^[18] a z toho vyplývá, že první kohomologická skupina je také konečná.

Podskupiny skupin tříd mapování

Podskupina Torelli

Tak jako singulární homologie je funkcionář, skupina tříd mapování ${ displaystyle mathrm {Mod} (S)}$ působí automorfismem na první skupinu homologie ${ displaystyle H_ {1} (S)}$. Toto je bezplatná abelianská skupina hodností ${ displaystyle 2g}$ -li ${ displaystyle S}$ je uzavřen rodu ${ displaystyle g}$. Tato akce tedy dává a lineární reprezentace ${ displaystyle mathrm {Mod} (S) to mathrm {GL} _ {2g} ( mathbb {Z})}$.

Tato mapa je ve skutečnosti surjection s obrazem rovným celočíselným bodům ${ displaystyle mathrm {Sp} _ {2g} ( mathbb {Z})}$ z symplektická skupina. To vychází ze skutečnosti, že číslo křižovatky uzavřených křivek indukuje symplektickou formu na první homologii, která je zachována působením skupiny tříd mapování. Surjektivita je prokázána ukázáním, že obrazy Dehnových zvratů generují ${ displaystyle mathrm {Sp} _ {2g} ( mathbb {Z})}$.^[19]

Jádro morfismu ${ displaystyle mathrm {Mod} (S) to mathrm {Sp} _ {2g} ( mathbb {Z})}$ se nazývá Skupina Torelli z ${ displaystyle S}$. Je to definitivně generovaná podskupina bez kroucení^[20] a její studie má zásadní význam pro její vliv jak na strukturu samotné skupiny mapovacích tříd (od aritmetická skupina ${ displaystyle mathrm {Sp} _ {2g} ( mathbb {Z})}$ je poměrně dobře pochopen, spousta faktů o ${ displaystyle mathrm {Mod} (S)}$ scvrknout na prohlášení o své podskupině Torelli) a aplikace na 3-dimenzionální topologii a algebraickou geometrii.

Zbytková konečnost a podskupiny konečných indexů

Příkladem použití podskupiny Torelli je následující výsledek:

Skupina tříd mapování je zbytkově konečné.

Důkaz probíhá nejprve pomocí zbytkové konečnosti lineární skupiny ${ displaystyle mathrm {Sp} _ {2g} ( mathbb {Z})}$, a pak pro jakýkoli netriviální prvek skupiny Torelli konstrukci geometrickými prostředky podskupiny konečného indexu, který jej neobsahuje.^[21]

Zajímavá třída podskupin konečných indexů je dána jádry morfismů:

${ displaystyle Phi _ {n}: mathrm {Mod} (S) to mathrm {Sp} _ {2g} ( mathbb {Z}) to mathrm {Sp} _ {2g} ( mathbb {Z} / n mathbb {Z})}$

Jádro ${ displaystyle Phi _ {n}}$ se obvykle nazývá a podskupina kongruence z ${ displaystyle mathrm {Mod} (S)}$. Je to skupina bez kroucení pro všechny ${ displaystyle n geq 3}$ (to snadno vyplývá z klasického výsledku Minkowského na lineárních skupinách a ze skutečnosti, že skupina Torelli je bez kroucení).

Konečné podskupiny

Skupina tříd mapování má pouze konečně mnoho tříd konečných skupin, jak vyplývá ze skutečnosti, že podskupina konečných indexů ${ displaystyle ker ( Phi _ {3})}$ je torzní, jak je popsáno v předchozím odstavci. Navíc to také znamená, že každá konečná podskupina ${ displaystyle mathrm {Mod} (S)}$ je podskupina konečné skupiny ${ displaystyle mathrm {Mod} (S) / ker ( Phi _ {3}) cong mathrm {Sp} _ {2g} ( mathbb {Z} / 3)}$.

Vázaný na pořadí konečných podskupin lze také získat pomocí geometrických prostředků. Řešení Nielsenův problém realizace znamená, že jakákoli taková skupina je realizována jako skupina izometrií hyperbolického povrchu rodu ${ displaystyle g}$. Hurwitz je svázán pak znamená, že maximální řád se rovná ${ displaystyle 84 (g-1)}$.

Obecná fakta o podskupinách

Skupiny tříd mapování splňují Prsa alternativa: to znamená, že jakákoli jeho podskupina obsahuje neabelian volný, uvolnit podskupina nebo je to prakticky řešitelné (ve skutečnosti abelian).^[22]

Jakákoli podskupina, která není redukovatelná (tj. Nezachovává sadu třídy izotopů disjunktních jednoduchých uzavřených křivek), musí obsahovat prvek pseudo-Anosov.^[23]

Lineární reprezentace

Je to otevřená otázka ať už je skupina tříd mapování lineární skupinou či nikoli. Kromě výše vysvětleného symplektického znázornění na homologii existují i ​​další zajímavé konečně-dimenzionální lineární znázornění topologická kvantová teorie pole. Obrazy těchto reprezentací jsou obsaženy v aritmetických skupinách, které nejsou symplektické, což umožňuje vytvořit mnohem více konečných podílů ${ displaystyle mathrm {Mod} (S)}$.^[24]

V opačném směru je spodní hranice dimenze (domnělého) věrného zobrazení, která musí být alespoň ${ displaystyle 2 { sqrt {g-1}}}$.^[25]

Poznámky

Citace

Zdroje