Formálně étale morfismus - Formally étale morphism

v komutativní algebra a algebraická geometrie se nazývá morfismus formálně étale pokud má zvedací vlastnost, která je obdobou bytí a místní difeomorfismus.

Formálně étale homomorfismy prstenů

Nechat A být topologický prsten a nechte B být topologická A-algebra. Pak B je formálně étale pokud pro všechny oddělený A-algebry C, Všechno nilpotentní ideály J z Ca vše kontinuální A-homomorfismy u : B → C/J, existuje jedinečný spojitý A-algebra mapa proti : B → C takhle u = pv, kde p : C → C/J je kanonická projekce.[1]

Formálně je étale ekvivalentní s formálně hladký Plus formálně unramified.[2]

Formálně étale morfismy schémat

Protože struktura svazek a systém přirozeně nese pouze diskrétní topologii, pojem formálně étale pro schémata je analogický s formálně étale pro diskrétní topologii pro kroužky. To znamená morfismus schémat F : X → Y je formálně étale pokud pro každou afinitu Y-systém Z, každý nilpotentní svazek ideálů J na Z s i : Z0 → Z být uzavřené ponoření určené Ja všechny Y-morfismus G : Z0 → Xexistuje jedinečný Y-morfismus s : Z → X takhle G = si.[3]

Je to ekvivalent k let Z být kdokoli Y-scheme a nech J být lokálně nilpotentní svazek ideálů Z.[4]

Vlastnosti

  • Otevřete ponoření jsou formálně étale.[5]
  • Vlastnost být formálně étale je zachována v kompozitech, změně základny a vláknité výrobky.[6]
  • Li F : X → Y a G : Y → Z jsou morfismy schémat, G je formálně unramified a gf je tedy formálně étale F je formálně étale. Zejména pokud G je tedy formálně étale F je formálně étale právě tehdy gf je.[7]
  • Vlastnost být formálně étale je místní na zdroji a cíli.[8]
  • Vlastnost být formálně étale lze zkontrolovat na stopkách. Lze ukázat, že morfismus prstenů F : A → B je formálně étale právě tehdy, když pro každé prvočíslo Q z B, indukovaná mapa A → BQ je formálně étale.[9] Tudíž, F je formálně étale právě tehdy, když pro každé prvočíslo Q z B, mapa AP → BQ je formálně étale, kde P = F−1(Q).

Příklady

Viz také

Poznámky

  1. ^ EGA 0IV, Définition 19.10.2.
  2. ^ EGA 0IV, Définition 19.10.2.
  3. ^ EGA IV4, Definice 17.1.1.
  4. ^ EGA IV4, Remarques 17.1.2 (iv).
  5. ^ EGA IV4, propozice 17.1.3 (i).
  6. ^ EGA IV4, propozice 17.1.3 (ii) - (iv).
  7. ^ EGA IV4, nabídka 17.1.4 a důsledek 17.1.5.
  8. ^ EGA IV4, propozice 17.1.6.
  9. ^ mathoverflow.net otázka
  10. ^ Ford (2017, Dodatek 4.7.3)

Reference

  • Ford, Timothy J. (2017), Oddělitelné algebry, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN  978-1-4704-3770-1, PAN  3618889
  • Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1964). „Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie“. Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 20. doi:10.1007 / bf02684747. PAN  0173675.
  • Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). „Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie“. Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 32. doi:10.1007 / bf02732123. PAN  0238860.