Regresivní diskrétní Fourierova řada - Regressive discrete Fourier series

V aplikované matematice je regresní diskrétní Fourierova řada (RDFS) je zobecněním diskrétní Fourierova transformace Kde Fourierova řada koeficienty jsou počítány v a nejmenší čtverce smysl a období je libovolné, tj. nemusí se nutně rovnat délce dat. Poprvé to navrhl Arruda (1992a, 1992b). Může být použit k vyhlazení dat v jedné nebo více dimenzích a k výpočtu derivátů z vyhlazené křivky, povrch nebo nadpovrch.

Technika

Jednorozměrná regresní diskrétní Fourierova řada (RDFS)

Jednorozměrný RDFS navržený Arrudou (1992a) lze formulovat velmi přímočaře. Vzhledem k vzorkovanému datovému vektoru (signál ) ${displaystyle x_ {n} = x (t_ {n})}$ , lze napsat algebraický výraz:

{displaystyle x_ {n} = součet _ {k = -q} ^ {q} X_ {k} e ^ {frac {-i2pi kt_ {n}} {T}} + varepsilon _ {n}, t_ {n} {ext {arbitrary}}, quad n = 1, dots, N.,}

Typicky ${displaystyle t_ {n} = n, Delta t}$ , ale to není nutné.

Výše uvedenou rovnici lze napsat v maticové formě jako

{displaystyle WX = x + varepsilon.,}

The nejmenší čtverce řešení výše uvedeného lineární soustava rovnic lze napsat jako:

{displaystyle {hat {X}} = (W ^ {H} W) ^ {- 1} W ^ {H} x,}

kde ${displaystyle X ^ {H}}$ je konjugovaná transpozice ${displaystyle X}$ a vyhlazený signál je získán z:

{displaystyle {hat {x}} = W {hat {X}},}

První derivace vyhlazeného signálu ${displaystyle {hat {x}}}$ lze získat od:

{displaystyle {frac {dx} {dt}} (t_ {n}) = součet _ {k = -q} ^ {q} {frac {-i2pi k} {T}} X_ {k} e ^ {frac { -i2pi kt_ {n}} {T}}, čtyřkolka n = 1, tečky, N.,}

Dvourozměrná regresní diskrétní Fourierova řada (RDFS)

Dvojrozměrný nebo dvojrozměrný RDFS navržený Arrudou (1992b) lze také formulovat přímočaře. Zde bude pro jednoduchost zpracován stejně rozmístěný datový případ. Obecné případy nerovnoměrně rozmístěných a libovolných mřížek jsou uvedeny v odkazu (Arruda, 1992b). Vzhledem k vzorkované datové matici (dvojrozměrné signál ) ${displaystyle x_ {mn} = x (xi _ {m}, u _ {n}), m = 1, tečky, M; n = 1, tečky, N;}$ lze napsat algebraický výraz:

{displaystyle x_ {mn} = součet _ {k = -p} ^ {p} součet _ {l = -q} ^ {q} X_ {kl} e ^ {frac {-i2pi kxi _ {m}} {L_ {xi}}} e ^ {frac {-i2pi lu _ {n}} {L_ {u}}} + varepsilon _ {mn}, čtyřkolka m = 1, tečky, M; n = 1, tečky, N.,}

Výše uvedená rovnice může být zapsána v maticové formě pro obdélníkovou mřížku. Pro rovnoměrně rozmístěný případ odběru vzorků: ${displaystyle xi _ {m} = mDelta xi, u _ {n} = nDelta u,}$ my máme:

{displaystyle x_ {mn} = součet _ {k = -p} ^ {p} součet _ {l = -q} ^ {q} X_ {kl} e ^ {frac {-i2pi kxi _ {m}} {L_ {xi}}} e ^ {frac {-i2pi lu _ {n}} {L_ {u}}} + epsilon _ {mn}, čtyřkolka m = 1, tečky, M; n = 1, tečky, N.,}

The nejmenší čtverce řešení se může ukázat jako:

{displaystyle {hat {X}} = (W_ {L_ {xi}} ^ {H} W_ {L_ {xi}}) ^ {- 1} W_ {L_ {xi}} ^ {H} xW_ {L_ {u }} ^ {*} (W_ {L_ {u}} W_ {L_ {u}} ^ {H}) ^ {- 1},}

a vyhlazená dvojrozměrná plocha je dána vztahem:

{displaystyle {hat {x}} = W_ {L_ {xi}} {hat {X}} W_ {L_ {u}} ^ {t},}

kde ${displaystyle X ^ {H}}$ je konjugát a ${displaystyle X ^ {t}}$ je transpozice ${displaystyle X}$ .

Diferenciace s ohledem na ${displaystyle xi {ext {and}} u}$ lze snadno implementovat analogicky k jednorozměrnému případu (Arruda, 1992b).

Aktuální aplikace

Prostorově husté aplikace pro kondenzaci dat: Arruda, J.R.F. [1993] použil RDFS ke kondenzaci prostorově hustých prostorových měření provedených pomocí a laserový Dopplerův vibrometr před podáním žádosti modální analýza odhad parametrů metody. V poslední době Vanherzeele a kol. (2006,2008a) navrhl zobecněný a optimalizovaný RDFS pro stejný druh aplikace. Přehled zpracování optického měření pomocí RDFS publikovali Vanherzeele et al. (2009).
Prostorové derivační aplikace: Batista a kol. [2009] použil RDFS k získání prostorových derivátů bimenzionálních naměřených dat vibrací k identifikaci vlastnosti materiálu z příčných režimů obdélníkových desek.
Aplikace SHM: Vanherzeele a kol. [2009] aplikoval zobecněnou verzi RDFS na tomografie rekonstrukce.

Software

Nedávno byl vyvinut balíček, který obsahuje jedno a dvourozměrný RDFS, aby se usnadnilo jeho použití ve svobodném a otevřeném zdrojovém softwaru R:

Balíček R pro RDFS na Githubu

Viz také

Reference

Arruda, J.R.F., 1992a: Analýza nerovnoměrně rozložených dat pomocí regresní diskrétní Fourierovy řady. Journal of Sound and Vibration, 156 (3), 571–574.
Arruda, J.R.F., 1992b: Vyhlazení povrchu a částečné prostorové derivace pomocí regresní diskrétní Fourierovy řady. Mechanické systémy a zpracování signálu, 6 (1), 41–50.
Arruda, J.R.F., 1993: Modální analýza prostorové domény lehce tlumených struktur pomocí laserových velocimetrů. Journal of Vibration and Acoustics, 115, 225–231.
Batista, F.B., Albuquerque, E.L., Arruda, J.R.F., Dias Jr., M., 2009: Identifikace ohybové tuhosti symetrických laminátů pomocí regresní diskrétní Fourierovy řady a konečných rozdílů. Journal of Sound and Vibration, 320, 793–807.
Vanherzeele, J., Guillaume, P., Vanlanduit, S., Verboten, P., 2006: Redukce dat pomocí zobecněné regresní diskrétní Fourierovy řady, Journal of Sound and Vibration, 298, 1–11.
Vanherzeele, J., Vanlanduit, S., Guillaume, P., 2008a: Snižování prostorových dat pomocí optimalizované regresní diskrétní Fourierovy řady, Journal of Sound and Vibration, 309, 858–867.
Vanherzeele, J., Longo, R., Vanlanduit, S., Guillaume, P., 2008b: Tomografická rekonstrukce s použitím zobecněné regresní diskrétní Fourierovy řady, Mechanické systémy a zpracování signálu, 22, 1237–1247.
Vanherzeele, J., Vanlanduit, S., Guillaume, P., 2009: Zpracování optických měření pomocí regresní diskrétní Fourierovy řady, Optické a lasery ve strojírenství, 47, 461–472.