Diskrétní Čebyševova transformace - Discrete Chebyshev transform

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Diskrétní Čebyševova transformace"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Únor 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v aplikovaná matematika, diskrétní Čebyševova transformace (DCT), pojmenoval podle Pafnuty Čebyšev, je jednou ze dvou hlavních odrůd DCT: diskrétní Čebyševova transformace na „kořenové“ mřížce Čebyševovy polynomy prvního druhu ${ displaystyle T_ {n} (x)}$ a diskrétní Čebyševova transformace na „extrémní“ mřížce Čebyševových polynomů prvního druhu.

Diskrétní Čebyševova transformace na mřížce kořenů

Diskrétní chebyševova transformace u (x) v bodech ${ displaystyle {x_ {n}}}$ darováno:

${ displaystyle a_ {m} = { frac {p_ {m}} {N}} součet _ {n = 0} ^ {N-1} u (x_ {n}) T_ {m} (x_ {n })}$

kde:

${ displaystyle x_ {n} = - cos left ({ frac { pi} {N}} (n + { frac {1} {2}}) right)}$

${ displaystyle a_ {m} = { frac {p_ {m}} {N}} součet _ {n = 0} ^ {N-1} u (x_ {n}) cos vlevo (m cos ^ {- 1} (x_ {n}) vpravo)}$

kde ${ displaystyle p_ {m} = 1 Šipka doleva m = 0}$ a ${ displaystyle p_ {m} = 2}$ v opačném případě.

Pomocí definice ${ displaystyle x_ {n}}$,

${ displaystyle a_ {m} = { frac {p_ {m}} {N}} součet _ {n = 0} ^ {N-1} u (x_ {n}) cos left ({ frac {m pi} {N}} (N + n + { frac {1} {2}}) vpravo)}$

${ displaystyle a_ {m} = { frac {p_ {m}} {N}} součet _ {n = 0} ^ {N-1} u (x_ {n}) (- 1) ^ {m} cos left ({ frac {m pi} {N}} (n + { frac {1} {2}}) right)}$

a jeho inverzní transformace:

${ displaystyle u_ {n} = součet _ {m = 0} ^ {N-1} a_ {m} T_ {m} (x_ {n})}$

(To se stane se standardní sérií Čebyševů vyhodnocenou v kořenové mřížce.)

${ displaystyle u_ {n} = součet _ {m = 0} ^ {N-1} a_ {m} cos vlevo ({ frac {m pi} {N}} (N + n + { frac {1} {2}}) vpravo)}$

${ displaystyle proto u_ {n} = součet _ {m = 0} ^ {N-1} a_ {m} (- 1) ^ {m} cos left ({ frac {m pi} { N}} (n + { frac {1} {2}}) vpravo)}$

To lze snadno získat manipulací vstupních argumentů s diskrétní kosinovou transformací.

To lze prokázat pomocí následujícího MATLAB kód:

funkceA=fct(f, l)% x = -cos (pi / N * ((0: N-1) '+ 1/2));F = F(konec:-1:1,:);A = velikost(F); N = A(1);-li exist ('A (3)', 'var') && A (3) ~ = 1    pro i = 1: A (3)        A(:,:,i) = čtv(2/N) * dct(F(:,:,i));        A(1,:,i) = A(1,:,i) / čtv(2);    konecjiný    A = čtv(2/N) * dct(F(:,:,i));    A(1,:)=A(1,:) / čtv(2);konec

Diskrétní kosinová transformace (dct) je ve skutečnosti vypočítána pomocí algoritmu rychlé Fourierovy transformace v MATLABu.
A inverzní transformace je dána kódem MATLAB:

funkceF=ifct(a, l)% x = -cos (pi / N * ((0: N-1) '+ 1/2)) k = velikost(A); N=k(1);A = idct(čtv(N/2) * [A(1,:) * čtv(2); A(2:konec,:)]);konec

Diskrétní Čebyševova transformace na extrémní mřížce

Tato transformace používá mřížku:

${ displaystyle x_ {n} = - cos vlevo ({ frac {n pi} {N}} vpravo)}$

${ displaystyle T_ {n} (x_ {m}) = cos left ({ frac { pi mn} {N}} + n pi right) = (- 1) ^ {n} cos vlevo ({ frac { pi mn} {N}} doprava)}$

Tuto transformaci je obtížnější implementovat pomocí rychlé Fourierovy transformace (FFT). Je však široce používán, protože je na mřížce extrémů, která má tendenci být nejužitečnější pro problémy s hraničními hodnotami. Většinou proto, že je jednodušší použít okrajové podmínky na této mřížce.

Při výměně souborů MATLAB, kterou vytvořil Greg von Winckel, je k dispozici diskrétní (a ve skutečnosti rychlý, protože provádí dct pomocí rychlé Fourierovy transformace). Zde je tedy vynechán.

V tomto případě je transformace a její inverze

${ displaystyle u (x_ {n}) = u_ {n} = součet _ {m = 0} ^ {N} a_ {m} T_ {m} (x_ {n})}$

${ displaystyle a_ {m} = { frac {p_ {m}} {N}} vlevo [{ frac {1} {2}} (u_ {0} (- 1) ^ {m} + u_ { N}) + sum _ {n = 1} ^ {N-1} u_ {n} T_ {m} (x_ {n}) right]}$

kde ${ displaystyle p_ {m} = 1 šipka doleva m = 0}$ a ${ displaystyle p_ {m} = 2}$ v opačném případě.

Využití a implementace

Primárním využitím diskrétní Čebyševovy transformace je numerická integrace, interpolace a stabilní numerická diferenciace.^[1]Implementace, která poskytuje tyto funkce, je uvedena v C ++ Boost knihovny^[2]

Viz také

• Čebyševovy polynomy
• Diskrétní kosinová transformace
• Diskrétní Fourierova transformace
• Seznam Fourierových transformací

Reference