Hartleyova transformace - Hartley transform
v matematika, Hartleyova transformace (HT) je integrální transformace úzce souvisí s Fourierova transformace (FT), ale který transformuje funkce se skutečnou hodnotou na funkce se skutečnou hodnotou. Bylo navrženo jako alternativa k Fourierově transformaci Ralph V. L. Hartley v roce 1942,[1] a je jedním z mnoha známých Fourierovy transformace. Ve srovnání s Fourierovou transformací má Hartleyova transformace výhody transformace nemovitý funkce na skutečné funkce (na rozdíl od požadavku komplexní čísla ) a být jeho vlastní inverzní.
Diskrétní verze transformace, diskrétní Hartleyova transformace (DHT), představil Ronald N. Bracewell v roce 1983.[2]
Dvojrozměrná Hartleyova transformace může být vypočítána analogickým optickým procesem podobným analogickému optická Fourierova transformace (OFT), s navrhovanou výhodou, že je třeba určit pouze jeho amplitudu a znaménko, nikoli jeho komplexní fázi.[3] Zdá se však, že optické Hartleyovy transformace neviděly široké použití.
Definice
Hartleyova transformace a funkce je definováno:
kde může v aplikacích být úhlová frekvence a
je kosinus a sinus (cas) nebo Hartley jádro. Z technického hlediska tato transformace bere signál (funkci) z časové domény do Hartleyho spektrální domény (frekvenční doména).
Inverzní transformace
Hartleyova transformace má výhodnou vlastnost, že je vlastní inverzní (an involuce ):
Konvence
Výše uvedené je v souladu s původní definicí Hartleyho, ale (stejně jako u Fourierovy transformace) jsou různé drobné detaily konvence a lze je změnit bez změny základních vlastností:
- Místo použití stejné transformace pro dopřednou a inverzní funkci lze odstranit z dopředné transformace a použití pro inverzní - nebo vlastně jakoukoli dvojici normalizací, jejichž produktem je . (Takové asymetrické normalizace se někdy vyskytují v čistě matematických i technických kontextech.)
- Lze také použít namísto (tj. frekvence místo úhlové frekvence), v takovém případě koeficient je zcela vynechán.
- Jeden může použít namísto jako jádro.
Vztah k Fourierově transformaci
Tato transformace se liší od klasické Fourierovy transformace při výběru jádra. Ve Fourierově transformaci máme exponenciální jádro:kde je imaginární jednotka.
Tyto dvě transformace však úzce souvisejí a Fourierova transformace (za předpokladu, že používá to samé konvence normalizace) lze vypočítat z Hartleyovy transformace pomocí:
To znamená, že skutečné a imaginární části Fourierovy transformace jsou jednoduše dány sudý a lichý části Hartleyovy transformace.
Naopak pro funkce se skutečnou hodnotou F(t), Hartleyova transformace je dána ze skutečné a imaginární části Fourierovy transformace:
kde a označují skutečné a imaginární části složité Fourierovy transformace.
Vlastnosti
Hartleyova transformace je skutečná lineární operátor, a je symetrický (a Hermitian ). Ze symetrických a samoinverzních vlastností vyplývá, že transformace je a nečleněný operátor (Vskutku, ortogonální ).
K dispozici je také analog konvoluční věta pro Hartleyovu transformaci. Pokud dvě funkce a mít Hartleyho transformace a , respektive pak jejich konvoluce má Hartleyovu transformaci[Citace je zapotřebí ]:
Podobně jako Fourierova transformace je Hartleyova transformace funkce sudá / lichá sudá / lichá.
cas
Vlastnosti Hartleyovo jádro, pro kterou Hartley představil jméno cas pro funkci (od kosinus a sinus) v roce 1942,[1][4] následovat přímo z trigonometrie a její definice jako trigonometrické funkce s fázovým posunem . Například má identitu přidání úhlu:
Dodatečně:
a jeho derivát je dán vztahem:
Viz také
Reference
- ^ A b Hartley, Ralph V. L. (Březen 1942). „Symetrickější Fourierova analýza aplikovaná na problémy s přenosem“. Sborník IRE. 30 (3): 144–150. doi:10.1109 / JRPROC.1942.234333. S2CID 51644127.
- ^ Bracewell, Ronald N. (1983). "Diskrétní Hartleyova transformace". Journal of the Optical Society of America. 73 (12): 1832–1835. doi:10.1364 / JOSA.73.001832.
- ^ Villasenor, John D. (1994). "Optické Hartleyovy transformace". Sborník IEEE. 82 (3): 391–399. doi:10.1109/5.272144.
- ^ Bracewell, Ronald N. (Červen 1999) [1985, 1978, 1965]. Fourierova transformace a její aplikace (3. vyd.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07303938-1. (Pozn. Druhé vydání také přeloženo do japonštiny a polštiny.)
- Bracewell, Ronald N. (1986). Napsáno ve Stanfordu v Kalifornii, USA. Hartleyova transformace. Oxford Engineering Science Series. 19 (1. vyd.). New York, NY, USA: Oxford University Press, Inc. ISBN 0-19-503969-6. (Pozn. Přeloženo také do němčiny a ruštiny.)
- Bracewell, Ronald N. (1994). "Aspekty Hartleyovy transformace". Sborník IEEE. 82 (3): 381–387. doi:10.1109/5.272142.
- Millane, Rick P. (1994). "Analytické vlastnosti Hartleyovy transformace". Sborník IEEE. 82 (3): 413–428. doi:10.1109/5.272146.
Další čtení
- Olnejniczak, Kraig J .; Heydt, Gerald T., eds. (Březen 1994). „Skenování speciální sekce o Hartleyově transformaci“. Zvláštní vydání k Hartleyho transformaci. Sborník IEEE. 82. 372–380. Citováno 2017-10-31. (Pozn. Obsahuje rozsáhlou bibliografii.)