v matematika, omezit a sekvence z sady A1, A2, ... (podmnožiny společné sady X) je sada, jejíž prvky jsou určeny posloupností jedním ze dvou ekvivalentních způsobů: (1) horním a dolním ohraničením sekvence, které se monotónně sbíhají do stejné množiny (analogicky k konvergence reálných sekvencí ) a (2) konvergencí posloupnosti funkce indikátorů kteří jsou sami nemovitý -hodnota. Stejně jako u sekvencí jiných objektů není konvergence nutná nebo dokonce obvyklá.
Obecněji, opět analogicky k reálným hodnotám, tím méně omezující omezit infimum a omezit supremum nastavené posloupnosti vždy existuje a lze ji použít ke stanovení konvergence: limit existuje, pokud jsou limit infimum a limit supremum totožné. (Viz. níže). Takto stanovené limity jsou v teorie míry a pravděpodobnost.
Je běžnou mylnou představou, že zde popsané limity infimum a supremum zahrnují sady akumulačních bodů, tj. Sady X = limk→∞ Xk, kde každý Xk je v některých Ank. To platí pouze v případě, že konvergenci určuje diskrétní metrika (to znamená, Xn → X Pokud existuje N takhle Xn = X pro všechny n ≥ N). Tento článek je omezen na tuto situaci, protože je jediný relevantní pro teorii míry a pravděpodobnost. Viz příklady níže. (Na druhou stranu existují obecnější topologické představy o množinové konvergenci které zahrnují akumulační body pod různými metriky nebo topologie.)
Definice
Tyto dvě definice
Předpokládejme to je sled množin. Dvě ekvivalentní definice jsou následující.
- a
- Pokud jsou tyto dvě množiny stejné, pak set-teoretický limit posloupnosti An existuje a rovná se té společné sadě. K získání limitu lze použít kteroukoli z výše popsaných možností a pro získání limitu mohou existovat i jiné způsoby.
- a
- kde výrazy uvnitř závorek vpravo jsou, respektive, omezit infimum a omezit supremum sekvence se skutečnou hodnotou 1An(X). Opět platí, že pokud jsou tyto dvě množiny stejné, pak množinově-teoretický limit posloupnosti An existuje a rovná se té společné sadě a k získání limitu lze použít buď sadu, jak je popsáno výše.
Chcete-li vidět ekvivalenci definic, zvažte limit infimum. Použití De Morganův zákon níže vysvětluje, proč to pro limit supremum postačuje. Protože funkce indikátoru nabývají pouze hodnot 0 a 1, lim infn→∞ 1An(X) = 1 kdyby a jen kdyby 1An(x) bere hodnotu 0 jen konečně mnohokrát. Ekvivalentně jen tehdy, pokud existuje n tak, že prvek je v Am pro každého m ≥ n, což znamená, že právě tehdy X ∉ An jen konečně mnoho n.
Proto, X je v lim infn→∞ An iff X je ve všech, ale konečně mnoho An. Z tohoto důvodu je zkratková fráze pro limit infimum „X ∈ An všichni ale konečně často ", obvykle vyjádřeno nebo"An a.b.f.o. "
Podobně prvek X je v limitu supremum pokud, bez ohledu na to, jak velký n je tam existuje m ≥ n tak, že prvek je v Am. To znamená, X je v limitu supremum iff X je nekonečně mnoho An. Z tohoto důvodu je zkratková fráze pro limit supremum „X ∈ An nekonečně často ", obvykle vyjádřeno"An i.o. “.
Jinými slovy, limit infimum se skládá z prvků, které „nakonec zůstanou navždy“ (jsou v každý nastavit po nějaký n), zatímco limitní supremum se skládá z prvků, které „nikdy neodcházejí navždy“ (jsou v nějaký nastavit po každý n).
Monotónní sekvence
Sekvence (An) se říká, že je nezvyšující se -li An+1 ⊆ An pro každého n, a neklesající -li An ⊆ An+1 pro každého n. V každém z těchto případů existuje nastavený limit. Vezměme si například nezvyšující se sekvenci (An). Pak
Z toho vyplývá, že
Podobně, pokud (An) potom neklesá
Vlastnosti
- Pokud je limit 1An(X), tak jako n jde do nekonečna, existuje pro všechny X pak
- Jinak je limit pro (An) neexistuje.
- Je možné ukázat, že limit infimum je obsažen v limitu supremum:
- například pouhým pozorováním X ∈ An vše ale konečně často naznačuje X ∈ An nekonečně často.
- Za použití monotónnost z a ze dne ,
- To znamená, X ∈ An ale až konečně je často to samé jako X ∉ An konečně často.
- Z druhé definice výše a definic pro limit infimum a limit supremum sekvence se skutečnou hodnotou,
- a
- Předpokládat je σ-algebra podskupin X. To znamená, je neprázdný a je uzavřena pod doplňkem a pod odbory a křižovatkami nespočetně mnoho sady. Poté podle první výše uvedené definice, pokud každá An ∈ pak oba lim infn → ∞ An a lim supn → ∞ An jsou prvky .
Příklady
- Nechat An = (−1/n, 1 − 1/n]. Pak
- a
- Tak limn→∞ An = [0, 1) existuje.
- Změňte předchozí příklad na An = ((−1)n/n, 1 − (−1)n/n]. Pak
- a
- Tak limn→∞An neexistuje, a to navzdory skutečnosti, že levý a pravý koncový bod intervaly konvergovat k 0, respektive 1.
- Nechat An = {0, 1/n, 2/n, ..., (n−1)/n, 1}. Pak
- (což je vše racionální čísla mezi 0 a 1, včetně), protože i pro j < n a 0 ≤ k ≤ j, k/j = (nk)/(nj) je prvkem výše uvedeného. Proto,
- Na druhou stranu,
- z čehož vyplývá
- V tomto případě sekvence A1, A2, ... nemá limit. Všimněte si, že lim supn→∞ An není množina akumulačních bodů, což by byl celý interval [0, 1] (podle obvyklých Euklidovská metrika ).
Pravděpodobnost používá
Stanovené limity, zejména limit infimum a limit supremum, jsou nezbytné pro pravděpodobnost a teorie míry. Takové limity se používají k výpočtu (nebo prokázání) pravděpodobností a měr jiných, účelnějších množin. Pro následující, je pravděpodobnostní prostor, což znamená je σ-algebra podskupin a je míra pravděpodobnosti definované na této σ-algebře. Sady v σ-algebře jsou známé jako Události.
Li A1, A2, ... je monotónní sekvence událostí v pak limn→∞ An existuje a
Lemata Borel – Cantelli
Pravděpodobně dva Lemata Borel – Cantelli může být užitečné k prokázání, že omezení sledu událostí má pravděpodobnost rovnou 1 nebo 0. Výrok prvního (původního) Borel – Cantelliho lematu je
Druhé lemel Borel – Cantelli je částečnou konverzací:
Téměř jistá konvergence
Jedna z nejdůležitějších aplikací pro pravděpodobnost je pro předvedení téměř jistá konvergence posloupnosti náhodné proměnné. Událost, že posloupnost náhodných proměnných Y1, Y2, ... konverguje k jiné náhodné proměnné Y je formálně vyjádřen jako . Bylo by chybou to však psát jednoduše jako omezení událostí. To je toto není událost ! Místo toho doplněk akce je
Proto,
Reference
- ^ A b Resnick, Sidney I. (1998). Cesta pravděpodobnosti. Boston: Birkhäuser. ISBN 3-7643-4055-X.