Režimy konvergence (anotovaný index) - Modes of convergence (annotated index)

tento článek ne uvést žádný Zdroje. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: Komentovaný index „Režimy konvergence“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Leden 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Účelem tohoto článku je sloužit jako anotováno index různých způsoby konvergence a jejich logické vztahy. Vysvětlující článek viz Režimy konvergence. Jednoduché logické vztahy mezi různými způsoby konvergence jsou naznačeny (např. Pokud jeden naznačuje jiný), spíše formálně než v próze pro rychlou referenci a podrobné popisy a diskuse jsou vyhrazeny pro jejich příslušné články.

Průvodce tímto rejstříkem. Abyste se vyhnuli nadměrnému vyjadřování, mějte na paměti, že každý z následujících typů objektů je zvláštním případem typů, které mu předcházejí: sady, topologické prostory, jednotné prostory, topologické abelianské skupiny (ŠTÍTEK), normované vektorové prostory, Euklidovské prostory a nemovitý /komplex čísla. Všimněte si také, že jakékoli metrický prostor je jednotný prostor. Konečně, podnadpisy vždy označují zvláštní případy jejich nadpisů.

Následuje seznam režimů konvergence pro:

Posloupnost prvků {A_n} v topologickém prostoru (Y)

• Konvergence, nebo „topologická konvergence“ pro důraz (tj. existence limitu).

... v jednotném prostoru (U)

• Cauchyova konvergence

Dopady:

- Konvergence ${displaystyle Rightarrow}$ Cauchyova konvergence

- Cauchyova konvergence a konvergence subsekvence dohromady ${displaystyle Rightarrow}$ konvergence.

  -   U se nazývá "kompletní", pokud Cauchy-konvergence (pro sítě) ${displaystyle Rightarrow}$ konvergence.

Poznámka: Sekvence vykazující Cauchyovu konvergenci se nazývá a cauchyova posloupnost zdůraznit, že to nemusí být konvergentní.

Řada prvků Σb_k ve značce (G)

• Konvergence (sekvence částečného součtu)
• Cauchyova konvergence (sekvence částečného součtu)
• Bezpodmínečná konvergence

Dopady:

- Bezpodmínečná konvergence ${displaystyle Rightarrow}$ konvergence (podle definice).

... v normovaném prostoru (N)

• Absolutní konvergence (konvergence ${displaystyle sum | b_ {k} |}$)

Dopady:

- Absolutní konvergence ${displaystyle Rightarrow}$ Cauchyova konvergence ${displaystyle Rightarrow}$ absolutní konvergence nějakého seskupení¹.

- Proto: N je Banach (úplné) pokud je absolutní konvergence ${displaystyle Rightarrow}$ konvergence.

- Absolutní konvergence a konvergence dohromady ${displaystyle Rightarrow}$ bezpodmínečná konvergence.

- Bezpodmínečná konvergence ${displaystyle ot Rightarrow}$ absolutní konvergence, i když N je Banach.

- Pokud N je euklidovský prostor, pak bezpodmínečná konvergence ${ekvivalenty zobrazení}$ absolutní konvergence.

¹ Poznámka: „seskupení“ odkazuje na sérii získanou seskupením (nikoli však přeskupením) výrazů původní série. Seskupení řady tedy odpovídá posloupnosti jejích dílčích součtů.

Posloupnost funkcí {F_n} ze sady (S) do topologického prostoru (Y)

• Bodová konvergence

... ze sady (S) do jednotného prostoru (U)

• Jednotná konvergence
• Bodově Cauchyova konvergence
• Jednotná Cauchyova konvergence

Důsledky jsou případy dřívějších, s výjimkou:

- Jednotná konvergence ${displaystyle Rightarrow}$ jak bodová konvergence, tak uniformní Cauchyova konvergence.

- Jednotná Cauchyova konvergence a bodová konvergence subsekvence ${displaystyle Rightarrow}$ jednotná konvergence.

... z topologického prostoru (X) do jednotného prostoru (U)

Pro mnoho „globálních“ režimů konvergence existují odpovídající pojmy A) „místní“ a b) „kompaktní“ konvergence, které jsou dány požadováním konvergence A) na nějakém sousedství každého bodu, nebo b) na všech kompaktních podskupinách X. Příklady:

• Místní jednotná konvergence (tj. jednotná konvergence na sousedství každého bodu)
• Kompaktní (jednotná) konvergence (tj. jednotná konvergence u všech kompaktních podmnožin)
• další instance tohoto vzoru níže.

Dopady:

- „Globální“ způsoby konvergence znamenají odpovídající „místní“ a „kompaktní“ způsoby konvergence. Např.:

Jednotná konvergence ${displaystyle Rightarrow}$ jak lokální uniformní konvergence, tak kompaktní (uniformní) konvergence.

- „Místní“ způsoby konvergence mají tendenci implikovat „kompaktní“ způsoby konvergence. Např.,

Místní jednotná konvergence ${displaystyle Rightarrow}$ kompaktní (jednotná) konvergence.

- Pokud ${displaystyle X}$ je místně kompaktní, konverze k nim mají tendenci držet:

Místní jednotná konvergence ${ekvivalenty zobrazení}$ kompaktní (jednotná) konvergence.

... z měrného prostoru (S, μ) do komplexních čísel (C)

• Konvergence téměř všude
• Téměř jednotná konvergence
• L^p konvergence
• Konvergence v míře
• Konvergence v distribuci

Dopady:

- Bodová konvergence ${displaystyle Rightarrow}$ téměř všude konvergence.

- Jednotná konvergence ${displaystyle Rightarrow}$ téměř jednotná konvergence.

- Téměř všude konvergence ${displaystyle Rightarrow}$ konvergence v míře. (V prostoru konečné míry)

- Téměř jednotná konvergence ${displaystyle Rightarrow}$ konvergence v míře.

- L^p konvergence ${displaystyle Rightarrow}$ konvergence v míře.

- Konvergence v míře ${displaystyle Rightarrow}$ konvergence v distribuci, pokud μ je míra pravděpodobnosti a funkce jsou integrovatelné.

Řada funkcí ΣG_k ze sady (S) na TAG (G)

• Bodová konvergence (sekvence částečného součtu)
• Jednotná konvergence (sekvence částečného součtu)
• Bodově Cauchyova konvergence (sekvence částečného součtu)
• Jednotná Cauchyova konvergence (sekvence částečného součtu)
• Bezpodmínečná bodová konvergence
• Bezpodmínečná jednotná konvergence

Důsledky jsou všechny případy dřívějších.

... ze sady (S) do normovaného prostoru (N)

Obecně platí, že nahrazení „konvergence“ výrazem „absolutní konvergence“ znamená, že se odkazuje na konvergenci řady nezáporných funkcí ${displaystyle Sigma | g_ {k} |}$ namísto ${displaystyle Sigma g_ {k}}$.

• Bodová absolutní konvergence (bodová konvergence ${displaystyle Sigma | g_ {k} |}$)
• Jednotná absolutní konvergence (jednotná konvergence ${displaystyle Sigma | g_ {k} |}$)
• Normální konvergence (konvergence řady jednotné normy ${displaystyle Sigma || g_ {k} || _ {u}}$)

Důsledky jsou případy dřívějších, s výjimkou:

- Normální konvergence ${displaystyle Rightarrow}$ jednotná absolutní konvergence

... z topologického prostoru (X) na TAG (G)

• Místní jednotná konvergence (sekvence částečného součtu)
• Kompaktní (jednotná) konvergence (sekvence částečného součtu)

Důsledky jsou všechny případy dřívějších.

... z topologického prostoru (X) do normovaného prostoru (N)

• Místní jednotná absolutní konvergence
• Kompaktní (uniformní) absolutní konvergence
• Místní normální konvergence
• Kompaktní normální konvergence

Důsledky (většinou případy dřívějších):

- Jednotná absolutní konvergence ${displaystyle Rightarrow}$ jak lokální uniformní absolutní konvergence, tak kompaktní (uniformní) absolutní konvergence.

Normální konvergence ${displaystyle Rightarrow}$ jak lokální normální konvergence, tak kompaktní normální konvergence.

- Místní normální konvergence ${displaystyle Rightarrow}$ lokální uniformní absolutní konvergence.

Kompaktní normální konvergence ${displaystyle Rightarrow}$ kompaktní (uniformní) absolutní konvergence.

- Místní jednotná absolutní konvergence ${displaystyle Rightarrow}$ kompaktní (uniformní) absolutní konvergence.

Místní normální konvergence ${displaystyle Rightarrow}$ kompaktní normální konvergence

- Pokud X je místně kompaktní:

Místní jednotná absolutní konvergence ${ekvivalenty zobrazení}$ kompaktní (uniformní) absolutní konvergence.

Místní normální konvergence ${ekvivalenty zobrazení}$ kompaktní normální konvergence

Viz také

• Limit posloupnosti
• Sbližování opatření
• Konvergence v míře
• Konvergence náhodných proměnných:
  • v distribuci
  • pravděpodobně
  • téměř jistě
  • Tak určitě
  • průměrně