Cichonův diagram - Cichońs diagram - Wikipedia

V teorii množin Cichonův diagram nebo Cichonův diagram je tabulka 10 nekonečných základní čísla související s teorie množin skutečností zobrazení prokazatelných vztahů mezi nimi základní charakteristiky kontinua. Všichni tito kardinálové jsou větší nebo rovni ${ displaystyle aleph _ {1}}$ , nejmenší nespočetný kardinál, a jsou ohraničeni výše ${ displaystyle 2 ^ { aleph _ {0}}}$ , mohutnost kontinua. Čtyři kardinálové popisují vlastnosti ideál sad změřit nulu; další čtyři popisují odpovídající vlastnosti ideálu hubené sady (sady první kategorie).

Definice

Nechat Já být ideál pevné nekonečné množiny X, obsahující všechny konečné podmnožiny X. Definujeme následující "kardinální koeficienty „z Já:

${ displaystyle operatorname {add} (I) = min {| { mathcal {A}} |: { mathcal {A}} subseteq I wedge bigcup { mathcal {A}} notin I { big }}.}$

"Aditivita" Já je nejmenší počet sad z Já jehož unie není v Já víc. Protože jakýkoli ideál je uzavřen pod konečnými odbory, je toto číslo vždy alespoň

{ displaystyle aleph _ {0}}

; -li Já je σ-ideální, pak přidejte (Já) ≥

{ displaystyle aleph _ {1}}

.

${ displaystyle operatorname {cov} (I) = min {| { mathcal {A}} |: { mathcal {A}} subseteq I wedge bigcup { mathcal {A}} = X { velký }}.}$

"Krycí číslo" Já je nejmenší počet sad z Já jehož unie je celá X. Tak jako X sama o sobě není Já, musíme přidat (Já) ≤ cov (Já).

${ displaystyle operatorname {non} (I) = min {| A |: A subseteq X klín A notin I { big }},}$

"Číslo jednotnosti" Já (někdy také psáno

{ displaystyle operatorname {unif} (I)}

) je velikost nejmenší sady, která není v Já. Podle našeho předpokladu dne Já, přidat (Já) ≤ ne (Já).

${ displaystyle operatorname {cof} (I) = min {| { mathcal {B}} |: { mathcal {B}} subseteq I wedge ( forall A in I) ( existuje B in { mathcal {B}}) (A subseteq B) { big }}.}$

"Spolufinancování" Já je spolufinancování z částečná objednávka (Já, ⊆). Je snadné vidět, že musíme mít non (Já) ≤ cof (Já) a cov (Já) ≤ cof (Já).

Dále „hraniční číslo „nebo„ číslo neomezenosti “ ${ displaystyle { mathfrak {b}}}$ a „dominující číslo " ${ displaystyle { mathfrak {d}}}$ jsou definovány takto:

${ displaystyle { mathfrak {b}} = min { big {} | F |: F subseteq { mathbb {N}} ^ { mathbb {N}} wedge ( forall g v { mathbb {N}} ^ { mathbb {N}}) ( existuje f v F) ( existuje ^ { infty} n v { mathbb {N}}) (g (n) < f (n)) { velký }},}$
${ displaystyle { mathfrak {d}} = min { big {} | F |: F subseteq { mathbb {N}} ^ { mathbb {N}} klín ( forall g v { mathbb {N}} ^ { mathbb {N}}) ( existuje f v F) ( forall ^ { infty} n v { mathbb {N}}) (g (n) < f (n)) { velký }},}$

kde " ${ displaystyle existuje ^ { infty} n v { mathbb {N}}}$ „znamená:“ existuje nekonečně mnoho přirozených čísel n takové, že ... ", a" ${ displaystyle forall ^ { infty} n in { mathbb {N}}}$ „znamená“ pro všechny kromě konečně mnoha přirozených čísel n my máme...".

Diagram

Nechat ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ být σ-ideál těch podmnožin reálné linie, které jsou hubený (nebo "první kategorie") v euklidovská topologie a nechte ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ být σ-ideál těch podmnožin reálné linie, které jsou Lebesgueovo opatření nula. Pak platí následující nerovnosti (kde šipka z $A$ na $b$ je třeba číst tak, že to znamená $A \leq b$ ):

		${ displaystyle operatorname {cov} ({ mathcal {L}})}$	${ displaystyle longrightarrow}$	${ displaystyle operatorname {non} ({ mathcal {K}})}$	${ displaystyle longrightarrow}$	${ displaystyle operatorname {cof} ({ mathcal {K}})}$	${ displaystyle longrightarrow}$	${ displaystyle operatorname {cof} ({ mathcal {L}})}$	${ displaystyle longrightarrow}$	${ displaystyle 2 ^ { aleph _ {0}}}$
		${ displaystyle { Bigg uparrow}}$		${ displaystyle uparrow}$		${ displaystyle uparrow}$		${ displaystyle { Bigg uparrow}}$
				${ displaystyle { mathfrak {b}}}$	${ displaystyle longrightarrow}$	${ displaystyle { mathfrak {d}}}$
				${ displaystyle uparrow}$		${ displaystyle uparrow}$
${ displaystyle aleph _ {1}}$	${ displaystyle longrightarrow}$	${ displaystyle operatorname {add} ({ mathcal {L}})}$	${ displaystyle longrightarrow}$	${ displaystyle operatorname {add} ({ mathcal {K}})}$	${ displaystyle longrightarrow}$	${ displaystyle operatorname {cov} ({ mathcal {K}})}$	${ displaystyle longrightarrow}$	${ displaystyle operatorname {non} ({ mathcal {L}})}$

Kromě toho platí následující vztahy:

${ displaystyle operatorname {add} ({ mathcal {K}}) = min { operatorname {cov} ({ mathcal {K}}), { mathfrak {b}} }}$ a ${ displaystyle operatorname {cof} ({ mathcal {K}}) = max { operatorname {non} ({ mathcal {K}}), { mathfrak {d}} }.}$ ^[1]

Ukazuje se, že nerovnosti popsané v diagramu, spolu s výše uvedenými vztahy, jsou všechny vztahy mezi těmito kardinály, které jsou prokazatelné v ZFC, v následujícím omezeném smyslu. Nechat A být jakýmkoli úkolem kardinálů ${ displaystyle aleph _ {1}}$ a ${ displaystyle aleph _ {2}}$ k 10 kardinálům v Cichonově diagramu. Pak, pokud A je v souladu s diagramem v tom, že není žádná šipka od ${ displaystyle aleph _ {2}}$ na ${ displaystyle aleph _ {1}}$ , a pokud A také splňuje dva další vztahy A lze realizovat v nějakém modelu ZFC.

U větších velikostí kontinua je situace méně jasná. Je v souladu se ZFC, že všichni kardinálové Cichonova diagramu se od sebe liší ${ displaystyle operatorname {add} ({ mathcal {K}})}$ a ${ displaystyle operatorname {cof} ({ mathcal {K}})}$ (které se rovnají ostatním položkám),^[2]^[3] ale (od roku 2019) zůstává otevřené, zda jsou všechny kombinace kardinálních uspořádání konzistentní s diagramem konzistentní.

Některé nerovnosti v diagramu (například „add ≤ cov“) vyplývají okamžitě z definic. Nerovnosti ${ displaystyle operatorname {cov} ({ mathcal {K}}) leq operatorname {non} ({ mathcal {L}})}$ a ${ displaystyle operatorname {cov} ({ mathcal {L}}) leq operatorname {non} ({ mathcal {K}})}$ jsou klasické věty a vyplývají ze skutečnosti, že skutečnou linii lze rozdělit na skromnou množinu a množinu nulové míry.

Poznámky

Britský matematik David Fremlin pojmenoval diagram podle polského matematika z Vratislav, Jacek Cichoń [pl ].^[4]

The hypotéza kontinua, z ${ displaystyle 2 ^ { aleph _ {0}}}$ rovná se ${ displaystyle aleph _ {1}}$ , učiní všechny tyto šipky rovnocennými.

Martinův axiom, oslabení CH znamená, že všichni kardinálové v diagramu (kromě snad ${ displaystyle aleph _ {1}}$ ) se rovnají ${ displaystyle 2 ^ { aleph _ {0}}}$ .

Reference

^ Bartoszyński, Tomek (2009), „Invariants of Measure and Category“, Foreman, Matthew (ed.), Příručka teorie množin, Springer-Verlag, str. 491–555, arXiv:matematika / 9910015, doi:10.1007/978-1-4020-5764-9_8, ISBN 978-1-4020-4843-2
^ Martin Goldstern, Jakob Kellner, Saharon Shelah (2019), „Cichońské maximum“, Annals of Mathematics, 190 (1): 113–143, arXiv:1708.03691, doi:10.4007 / annals.2019.190.1.2CS1 maint: používá parametr autoři (odkaz)
^ Martin Goldstern, Jakob Kellner, Diego A. Mejía, Saharon Shelah (2019), Cichonské maximum bez velkých kardinálů, arXiv:1906.06608CS1 maint: používá parametr autoři (odkaz)
^ Fremlin, David H. (1984), „Cichonův diagram“, Semin. Zahájení Anal. 23ème Année-1983/84Publ. Matematika. Pierre a Marie Curie University, 66, Zbl 0559.03029, Exp. Č. 5, 13 str..

[survey-1] Bartoszyński, Tomek (2009), „Invariants of Measure and Category“, Foreman, Matthew (ed.), Příručka teorie množin, Springer-Verlag, str. 491–555, arXiv:matematika / 9910015, doi:10.1007/978-1-4020-5764-9_8, ISBN 978-1-4020-4843-2

[2] Martin Goldstern, Jakob Kellner, Saharon Shelah (2019), „Cichońské maximum“, Annals of Mathematics, 190 (1): 113–143, arXiv:1708.03691, doi:10.4007 / annals.2019.190.1.2CS1 maint: používá parametr autoři (odkaz)

[3] Martin Goldstern, Jakob Kellner, Diego A. Mejía, Saharon Shelah (2019), Cichonské maximum bez velkých kardinálů, arXiv:1906.06608CS1 maint: používá parametr autoři (odkaz)

[4] Fremlin, David H. (1984), „Cichonův diagram“, Semin. Zahájení Anal. 23ème Année-1983/84Publ. Matematika. Pierre a Marie Curie University, 66, Zbl 0559.03029, Exp. Č. 5, 13 str..

[1]

[2]

[3]

[4]