Omezená výkonová řada - Restricted power series
V algebře je kruh omezené výkonové řady je podřetězec a formální kruh mocninných řad která se skládá z výkonových řad, jejichž koeficient se blíží k nule, když stupeň přechází do nekonečna.[1] Přes non-archimedean celé pole, prsten se také nazývá a Tate algebra. Kvocienty prstenu se používají při studiu a formální algebraický prostor stejně jako rigidní analýza, druhý nad nearchimeanskými úplnými poli.
Na diskrétním topologickém kruhu se kruh omezené výkonové řady shoduje s polynomiálním kruhem; v tomto smyslu je tedy pojem „omezené výkonové řady“ zobecněním polynomu.
Definice
Nechat A být lineárně topologizovaný kruh, oddělené a úplné a základní systém otevřených ideálů. Pak je kruh omezené výkonové řady definován jako projektivní limit polynomiálních kruhů :
Jinými slovy, je to dokončení polynomiálního kruhu s ohledem na filtraci . Někdy je tento kruh omezené výkonové řady označen také .
Je zřejmé, že prsten lze identifikovat s podřetězcem formálního kruhu mocninných řad který se skládá ze sérií s koeficienty ; tj. každý obsahuje až na konečně mnoho koeficientů Také prsten splňuje (a ve skutečnosti se vyznačuje) univerzální vlastnost:[4] pro (1) každý homomorfismus kontinuálního kruhu k lineárně topologovanému kruhu , oddělené a úplné a (2) každý prvek v existuje jedinečný homomorfismus kontinuálního kruhu
prodlužování .
Tate algebra
v rigidní analýza, když základní kroužek A je oceňovací prsten kompletního nearchimédského pole , kruh omezených výkonových řad napnutý ,
se nazývá Tate algebra, pojmenovaná pro John Tate.[5] Ekvivalentně jde o podřetěz formálních mocenských řad který se skládá ze série konvergentní na , kde je oceňovací kruh v algebraické uzávěrce .
The maximální spektrum z je pak a rigidní analytický prostor který modeluje afinní prostor v tuhá geometrie.
Definujte Gaussova norma z v podle
To dělá A Banachova algebra přes k; tj. a normovaná algebra to je kompletní jako metrický prostor. S tím norma, jakýkoli ideál z je zavřený[6] a tedy, pokud Já je radikál, kvocient je také Banachova algebra s názvem afinoidní algebra.
Některé klíčové výsledky jsou:
- (Weierstrassova divize) Let být -významná řada řádu s; tj., kde , je jednotkový prvek a pro .[7] Pak pro každého existují jedinečné a jedinečný polynom stupně takhle
- (Weierstrassova příprava ) Jak je uvedeno výše, dovolte být -významná řada řádu s. Pak existuje jedinečný monický polynom stupně a jednotkový prvek takhle .[9]
- (Noether normalizace) Pokud je ideál, pak existuje konečný homomorfismus .[10]
V důsledku rozdělení, věty o přípravě a Noetherova normalizace, je Noetherian jedinečná faktorizační doména Krull dimenze n.[11] Analog z Hilbertův Nullstellensatz platí: radikál ideálu je průsečík všech maximálních ideálů obsahujících ideál.[12]
Výsledek
![]() | Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Duben 2020) |
Výsledky pro polynomiální prstence, jako je Henselův lemma, dělící algoritmy (nebo teorie Grobnerovy báze) platí také pro kruh omezených výkonových řad. V celé části pojďme A označuje lineárně topologizovaný kruh, oddělený a úplný.
- (Hensel) Nechte maximální ideál a mapa kvocientu. Vzhledem k tomu, v , pokud pro nějaký monický polynom a omezené výkonové řady takhle generovat ideální jednotku , pak existují v a v takhle
- .[13]
Poznámky
- ^ Stacks Project, tag 0AKZ.
- ^ Grothendieck & Dieudonné 1960, Ch. 0, § 7.5.1.
- ^ Bourbaki 2006, Ch. III, § 4. Definice 2 a návrh 3.
- ^ Grothendieck & Dieudonné 1960, Ch. 0, § 7.5.3.
- ^ Fujiwara & Kato 2018, Ch 0, hned po Proposition 9.3.
- ^ Bosch 2014, § 2.3. Důsledek 8
- ^ Bosch 2014, § 2.2. Definice 6.
- ^ Bosch 2014, § 2.2. Věta 8.
- ^ Bosch 2014, § 2.2. Dodatek 9.
- ^ Bosch 2014, § 2.2. Dodatek 11.
- ^ Bosch 2014, § 2.2. Návrh 14, Návrh 15, Návrh 17.
- ^ Bosch 2014, § 2.2. Tvrzení 16.
- ^ Bourbaki 2006, Ch. III, § 4. Věta 1.
Reference
- Bourbaki, N. (2006). Algèbre komutativní: Chapitres 1 à 4. Springer Berlin Heidelberg. ISBN 9783540339373.
- Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). „Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas“. Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007 / bf02684778. PAN 0217083.
- Bosch, Siegfried; Güntzer, Ulrich; Remmert, Reinhold (1984), Non-archimedean analýza, Kapitola 5: SpringerCS1 maint: umístění (odkaz)
- Bosch, Siegfried (2014), Přednášky o formální a tuhé geometrii
- Fujiwara, Kazuhiro; Kato, Fumiharu (2018), Základy tuhé geometrie I
Viz také
externí odkazy
- https://ncatlab.org/nlab/show/restricted+formal+power+series
- http://math.stanford.edu/~conrad/papers/aws.pdf
- https://web.archive.org/web/20060916051553/http://www-math.mit.edu/~kedlaya//18.727/tate-algebras.pdf
![]() | Tento algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to. |
![]() | Tento matematická analýza –Příbuzný článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to. |