Jacobsonův prsten - Jacobson ring - Wikipedia

Nesmí být zaměňována s Jacobson poloplášťový prsten.

V algebře, a Hilbertův prsten nebo a Jacobsonův prsten je prsten takový, že každý hlavní ideál je křižovatkou primitivní ideály. Pro komutativní prsteny jsou primitivní ideály stejné jako maximální ideály takže v tomto případě je Jacobsonův prsten takový, ve kterém je každý hlavní ideál průnikem maximálních ideálů.

Jacobson prsteny byly zavedeny nezávisle na Wolfgang Krull  (1951, 1952 ), který je pojmenoval Nathan Jacobson kvůli jejich vztahu k Jacobsonovým radikálům a Oscar Goldman  (1951 ), který je pojmenoval podle Hilberta David Hilbert kvůli jejich vztahu k Hilbertův Nullstellensatz.

Jacobson zazvoní a Nullstellensatz

Hilbertův Nullstellensatz z algebraická geometrie je speciální případ tvrzení, že polynomiálním prstencem v definitivně mnoha proměnných nad polem je Hilbertův prsten. Obecná forma Nullstellensatz uvádí, že pokud R je Jacobsonův prsten, pak je také definitivně vygenerován R-algebra S. Navíc návratnost jakéhokoli maximálního ideálu J z S je maximální ideál Já z R, a S / J je konečné rozšíření pole R / já.

Zejména morfismus konečného typu Jacobsonových prstenů indukuje morfismus maximálního spektra prstenů. To vysvětluje, proč u algebraických variet nad poli často stačí pracovat s maximálními ideály než se všemi prvotními ideály, jak tomu bylo před zavedením schémat. U obecnějších prstenů, jako jsou místní prsteny, již neplatí, že morfismy prstenů indukují morfismy maximálních spekter a použití primárních ideálů místo maximálních ideálů dává čistší teorii.

Příklady

  • Jakýmkoli polem je Jacobsonův prsten.
  • Jakákoli hlavní ideální doména nebo doména Dedekind s Jacobson radikální nula je Jacobsonův prsten. V hlavních ideálních doménách a doménách Dedekind jsou nenulové primární ideály již maximální, takže je třeba zkontrolovat pouze to, zda je nulový ideál průnikem maximálních ideálů. To zaručuje požadavek na nula Jacobsonova radikálu. V hlavních ideálních doménách a doménách Dedekinda Jacobsonův radikál mizí právě tehdy, když existuje nekonečně mnoho hlavních ideálů.
  • Jakákoli konečně generovaná algebra nad Jacobsonovým prstenem je Jacobsonův prsten. Zejména jakákoli konečně generovaná algebra nad polem nebo celými čísly, například souřadnicový kruh jakékoli afinní algebraické množiny, je Jacobsonův kruh.
  • Místní prsten má přesně jeden maximální ideál, takže je to Jacobsonův prsten přesně tehdy, když je tento maximální ideál jediným prvotřídním ideálem. Tedy jakýkoli komutativní místní kruh s Dimenze Krull nula je Jacobson, ale pokud je Krullův rozměr 1 nebo více, prsten nemůže být Jacobson.
  • (Amitsur 1956 ) ukázal, že jakákoli spočítatelná generovaná algebra nad nespočetným polem je Jacobsonův prsten.
  • Tate algebry přes non-archimedean pole jsou Jacobsonovy prsteny.
  • Komutativní prsten R je Jacobsonův prsten právě tehdy R [x], kruh polynomů přes R, je Jacobsonův prsten.[1]

Charakterizace

Následující podmínky na komutativním kruhu R jsou ekvivalentní:

  • R je Jacobsonův prsten
  • Každý hlavní ideál R je křižovatkou maximálních ideálů.
  • Každý radikální ideál je křižovatkou maximálních ideálů.
  • Každý Goldman ideální je maximální.
  • Každý kvocient R hlavním ideálem má nulu Jacobson radikální.
  • V každém prstenci kvocientu nilradikální se rovná Jacobsonově radikálu.
  • Každá konečně vygenerovaná algebra skončila R to je pole je definitivně generováno jako R-modul. (Zariskiho lemma )
  • Každý hlavní ideál P z R takhle R/P má prvek X s (R/P)[X−1] pole je maximální primární ideál.
  • Spektrum R je Jacobsonův prostor, což znamená, že každá uzavřená podmnožina je uzavřením množiny uzavřených bodů v ní.
  • (Pro noetherianské prsteny R): R nemá hlavní ideály P takhle R/P je jednorozměrný pololokální kruh.

Poznámky

  1. ^ Kaplansky, Věta 31

Reference