Střední logika - Intermediate logic

v matematická logika, a superintucionistická logika je výroková logika prodlužování intuicionistická logika. Klasická logika je nejsilnější konzistentní superintucionistická logika; tak se nazývají konzistentní superintucionistické logiky mezilehlé logiky (logika je prostředníkem mezi intuitivní logikou a klasickou logikou).^[1]

Definice

Superintucionistická logika je sada L výrokových vzorců v počítatelné sadě proměnných p_i splňující následující vlastnosti:

1. vše axiomy intuitivní logiky patřit k L;

2. pokud F a G jsou vzorce takové, že F a F → G oba patří L, pak G také patří L (uzávěr pod modus ponens );

3. pokud F(p₁, p₂, ..., p_n) je vzorec L, a G₁, G₂, ..., G_n jsou tedy jakékoli vzorce F(G₁, G₂, ..., G_n) patří L (uzávěr při střídání).

Taková logika je přechodná, pokud navíc

4. L není množina všech vzorců.

Vlastnosti a příklady

Existuje a kontinuum různých přechodných logik. Specifické mezilehlé logiky jsou často konstruovány přidáním jednoho nebo více axiomů k intuicionistické logice nebo sémantickým popisem. Mezi příklady mezilehlé logiky patří:

• intuicionistická logika (IPC, Int, IL, H)
• klasická logika (CPC, Cl, CL): IPC + p ∨ ¬p = IPC + ¬¬p → p = IPC + ((p → q) → p) → p
• logika slabých vyloučený střední (KC, Jankov logika, De Morgan logika^[2]): IPC + ¬¬p ∨ ¬p
• Gödel –Dummett logika (LC, G): IPC + (p → q) ∨ (q → p)
• Kreisel –Putnam logika (KP): IPC + (¬p → (q ∨ r)) → ((¬p → q) ∨ (¬p → r))
• Medveděv logika konečných problémů (LM, ML): definováno sémanticky jako logika všech rámy formuláře ${ displaystyle langle { mathcal {P}} (X) setminus {X }, subseteq rangle}$ pro konečné množiny X („Boolean hypercubes without top“), od roku 2015^{[Aktualizace]} není známo, že je rekurzivně axiomatizovatelný
• realizovatelnost logika
• Scott logika (SL): IPC + ((¬¬p → p) → (p ∨ ¬p)) → (¬¬p ∨ ¬p)
• Smetanichova logika (SmL): IPC + (¬q → p) → (((p → q) → p) → p)
• logika omezené mohutnosti (před naším letopočtem_n): ${ displaystyle textstyle mathbf {IPC} + bigvee _ {i = 0} ^ {n} { bigl (} bigwedge _ {j$
• logika ohraničené šířky, známá také jako logika ohraničených antiřetězců (BW_n, BA_n): ${ displaystyle textstyle mathbf {IPC} + bigvee _ {i = 0} ^ {n} { bigl (} bigwedge _ {j neq i} p_ {j} až p_ {i} { bigr )}}$
• logika ohraničené hloubky (BD_n): IPC + p_n ∨ (p_n → (p_n−1 ∨ (p_n−1 → ... → (p₂ ∨ (p₂ → (p₁ ∨ ¬p₁)))...)))
• logika ohraničené horní šířky (Mimochodem_n): ${ displaystyle textstyle mathbf {IPC} + bigvee _ {i = 0} ^ {n} { bigl (} bigwedge _ {j$
• logika ohraničeného větvení (T_n, BB_n): ${ displaystyle textstyle mathbf {IPC} + bigwedge _ {i = 0} ^ {n} { bigl (} { bigl (} p_ {i} to bigvee _ {j neq i} p_ { j} { bigr)} to bigvee _ {j neq i} p_ {j} { bigr)} to bigvee _ {i = 0} ^ {n} p_ {i}}$
• Gödel n-hodnotová logika (G_n): LC + před naším letopočtem_n−1 = LC + BD_n−1

Superintucionistická nebo střední logika tvoří a úplná mříž s intuitivní logikou jako dno a nekonzistentní logika (v případě superintucionistické logiky) nebo klasická logika (v případě mezilehlé logiky) jako vrchol. Klasická logika je jediná coatom v mřížce superintucionistické logiky; mřížka mezilehlé logiky má také jedinečný koatom, a to SmL.

Nástroje pro studium střední logiky jsou podobné těm, které se používají pro intuitivní logiku, například Kripkeho sémantika. Například logika Gödel – Dummett má jednoduchou sémantickou charakterizaci, pokud jde o celkový počet objednávek.

Sémantika

Vzhledem k tomu, Heyting algebra H, soubor výrokové vzorce které jsou platné v H je střední logika. Naopak, vzhledem k mezilehlé logice je možné sestrojit jeho Lindenbaum – Tarski algebra, což je pak Heytingova algebra.

Intuicionistický Kripkeho rám F je částečně objednaná sada a model Kripke M je Kripkeův rám s oceněním takovým ${ displaystyle {x mid M, x Vdash p }}$ je horní podmnožina z F. Sada výrokových vzorců platných v F je střední logika. Vzhledem k přechodné logice L je možné postavit model Kripke M tak, že logika M je L (tato konstrukce se nazývá kanonický model). Rámec Kripke s touto vlastností nemusí existovat, ale a obecný rám vždycky ano.

Vztah k modální logice

Nechat A být výrokový vzorec. The Překlad Gödel – Tarski z A je definován rekurzivně takto:

• ${ displaystyle T (p_ {n}) = box p_ {n}}$
• ${ displaystyle T ( neg A) = Box neg T (A)}$
• ${ displaystyle T (A land B) = T (A) land T (B)}$
• ${ displaystyle T (A vee B) = T (A) vee T (B)}$
• ${ displaystyle T (A až B) = Box (T (A) až T (B))}$

Li M je modální logika prodlužování S4 pak ρM = {A | T(A) ∈ M} je superintucionistická logika a M se nazývá a modální společník ρM. Zejména:

• IPC = ρS4
• KC = ρS4.2
• LC = ρS4.3
• CPC = ρS5

Pro každou střední logiku L existuje mnoho modálních logik M takhle L = ρM.

Viz také

• Seznam logických systémů

Reference

• Toshio Umezawa. Na logice přechod mezi intuitivní a klasickou predikátovou logikou. Journal of Symbolic Logic, 24 (2): 141–153, červen 1959.
• Alexander Chagrov, Michael Zakharyaschev. Modální logika. Oxford University Press, 1997.