Rovnoměrný tvar - Equable shape

A dvourozměrný vyrovnaný tvar (nebo dokonalý tvar) je ten, jehož plocha se číselně rovná jeho obvod.[1] Například a pravoúhlý trojúhelník se stranami 5, 12 a 13 má plochu a obvod mají jednotkovou číselnou hodnotu 30.

Škálování a jednotky

Plocha se nemůže rovnat délce, s výjimkou relativní k určité měrné jednotce. Například pokud má tvar plochu 5 metrů čtverečních a obvod 5 metrů, pak má plochu 45 metrů čtverečních (4,2 m2) a obvod 15 stop (protože 3 stopy = 1 yard a tedy 9 čtverečních stop = 1 čtvereční yard). Navíc, na rozdíl od toho, co název napovídá, změna velikosti při zachování neporušeného tvaru změní „vyrovnaný tvar“ na nerovný tvar. Nicméně jeho běžné použití jako Maturita Kurz vedl k tomu, že se stal přijatým konceptem. Pro jakýkoli tvar existuje podobný rovnoměrný tvar: pokud tvar S má obvod str a oblast A, pak škálování S faktorem p / A vede k vyrovnanému tvaru. Alternativně lze najít rovnocenné tvary vytvořením a řešením rovnice, ve které se plocha rovná obvodu. Například v případě čtverce je tato rovnice

Řešení tohoto přináší to X = 4, takže čtverec 4 × 4 je rovný.

Tangenciální polygony

A tangenciální mnohoúhelník je mnohoúhelník, ve kterém jsou všechny strany tečny ke společné kružnici. Každý tangenciální polygon může být triangulován nakreslením hran od středu kruhu k vrcholům polygonu, čímž se vytvoří kolekce trojúhelníků, které mají výšku rovnou poloměru kruhu; z tohoto rozkladu vyplývá, že celková plocha tangenciálního polygonu se rovná polovině obvodu krát poloměru. Tangenciální polygon je tedy rovný právě tehdy, je-li jeho inradius jsou dva. Všechny trojúhelníky jsou tangenciální, takže zejména rovné trojúhelníky jsou přesně trojúhelníky s inradius dva.[2][3]

Celočíselné rozměry

Kombinace omezení, že tvar je vyrovnaný a jeho rozměry jsou celá čísla, je podstatně přísnější než kterékoli jiné omezení. Například je jich nekonečně mnoho Pytagorejské trojnásobky popisující celočíselnou stránku pravé trojúhelníky, a existuje nekonečně mnoho rovných pravoúhlých trojúhelníků s necelými stranami; existují však pouze dva rovné celočíselné pravoúhlé trojúhelníky s délkami stran (5,12,13) ​​a (6,8,10).[4]

Obecněji řečeno, problém najít všechny rovné trojúhelníky s celočíselnými stranami (tj. Rovné Heronské trojúhelníky ) byl považován B. Yatesem v roce 1858.[5][6] Tak jako W. A. ​​Whitworth a D. Biddle se ukázal v roce 1904, existují přesně tři řešení nad pravými trojúhelníky, které jsou již uvedeny, se stranami (6,25,29), (7,15,20) a (9,10,17).[7][8]

Jediný rovnocenný obdélníky s celočíselnými stranami jsou čtverce 4 × 4 a obdélník 3 × 6.[4] Celočíselný obdélník je speciální typ polyomino a obecněji existují polyominoes se stejnou plochou a obvodem pro všechny dokonce celočíselná plocha větší nebo rovna 16. U menších oblastí musí obvod polyomina přesahovat jeho plochu.[9]

Rovnoměrné pevné látky

v tři rozměry, tvar je vyrovnaný, když je plocha povrchu se číselně rovná jeho objem.

Stejně jako u rovných tvarů ve dvou rozměrech můžete najít vyvážené těleso, ve kterém je objem číselně roven ploše, změnou měřítka libovolného tělesa příslušným faktorem. Například kostka s délkou strany šest.

Reference

  1. ^ Bradley, Christopher J. (2005). Výzvy v geometrii: Pro minulost a současnost matematických olympioniků. Oxford University Press. str. 15. ISBN  0-19-856692-1.
  2. ^ Kilmer, Jean E., "Trojúhelníky se stejnou plochou a obvodem a vepsanými kruhy", Učitel matematiky, 81 (1): 65–70, JSTOR  27965678
  3. ^ Wilson, Jim, Dokonalé trojúhelníky, University of Georgia, archivovány z originál dne 2012-05-02. Viz také Wilsonův seznam řešení
  4. ^ A b Konhauser, Joseph D. E .; Velleman, Dan; Wagon, Stan (1997), „95. Kdy se obvod rovná ploše?“, Kterým směrem se kolo vydalo?: A další zajímavé matematické tajemství, Dolciani Mathematical Expositions, 18, Cambridge University Press, str. 29, ISBN  9780883853252
  5. ^ Yates, B. (1858), „Quest 2019“, Dámský a džentlmenský deník: 83
  6. ^ Dickson, Leonard Eugene (2005), Dějiny teorie čísel, Volume II: Diophantine AnalysisPublikace Courier Dover, s. 195, ISBN  9780486442334
  7. ^ Dickson (2005), str. 199
  8. ^ Markowitz, L. (1981), "Plocha = Obvod", Učitel matematiky, 74 (3): 222–223
  9. ^ Picciotto, Henri (1999), Laboratoře geometrie, MathEducationPage.org, str. 208