Haarova vlnka - Haar wavelet - Wikipedia

Haarova vlnka

V matematice je Haarova vlnka je posloupnost změněných funkcí "čtvercového" tvaru, které společně tvoří a vlnka rodina nebo základ. Waveletová analýza je podobná jako u Fourierova analýza v tom, že umožňuje, aby byla cílová funkce v intervalu reprezentována ve smyslu ortonormální základ. Haarova sekvence je nyní považována za první známý vlnkový základ a je široce používána jako příklad výuky.

The Haarova sekvence byla v roce 1909 navržena Alfréd Haar.^[1] Haar použil tyto funkce k uvedení příkladu ortonormálního systému pro prostor čtvercově integrovatelné funkce na jednotkový interval [0, 1]. Studium vlnek, a dokonce i výraz „vlnka“, přišlo až mnohem později. Jako zvláštní případ Vlnovka Daubechies, Haarova vlnka je také známá jako Db1.

Vlna Haar je také nejjednodušší možnou vlnou. Technická nevýhoda vlnky Haar spočívá v tom, že tomu tak není kontinuální, a proto ne rozlišitelný. Tato vlastnost však může být výhodou pro analýzu signálů s náhlými přechody, jako je sledování selhání nástroje ve strojích.^[2]

Funkce mateřské vlnky Haar wavelet ${ displaystyle psi (t)}$ lze popsat jako

${ displaystyle psi (t) = { begin {cases} 1 quad & 0 leq t <{ frac {1} {2}}, - 1 & { frac {1} {2}} leq t <1, 0 & { mbox {jinak.}} end {cases}}}$

Své funkce škálování ${ displaystyle varphi (t)}$ lze popsat jako

${ displaystyle varphi (t) = { begin {případů} 1 quad & 0 leq t <1, 0 & { mbox {jinak.}} end {případů}}}$

Haarovy funkce a Haarův systém

Pro každý pár n, k celých čísel v Z, Haarova funkce ψ_n,k je definován na skutečná linie R podle vzorce

${ displaystyle psi _ {n, k} (t) = 2 ^ {n / 2} psi (2 ^ {n} t-k), quad t in mathbf {R}.}$

Tato funkce je podporována na interval otevření vpravo Já_n,k = [ k2⁻ⁿ, (k+1)2⁻ⁿ), tj., to zmizí mimo tento interval. Má integrál 0 a normu 1 v Hilbertův prostor  L²(R),

${ displaystyle int _ { mathbf {R}} psi _ {n, k} (t) , dt = 0, quad | psi _ {n, k} | _ {L ^ {2 } ( mathbf {R})} ^ {2} = int _ { mathbf {R}} psi _ {n, k} (t) ^ {2} , dt = 1.}$

Funkce Haar jsou párové ortogonální,

${ displaystyle int _ { mathbf {R}} psi _ {n_ {1}, k_ {1}} (t) psi _ {n_ {2}, k_ {2}} (t) , dt = delta _ {n_ {1}, n_ {2}} delta _ {k_ {1}, k_ {2}},}$

kde δ_i,j představuje Kroneckerova delta. Zde je důvod ortogonality: když dva podpůrné intervaly ${ displaystyle I_ {n_ {1}, k_ {1}}}$ a ${ displaystyle I_ {n_ {2}, k_ {2}}}$ nejsou si rovni, pak jsou buď disjunktní, nebo řekněme menší ze dvou podpěr ${ displaystyle I_ {n_ {1}, k_ {1}}}$, je obsažen v dolní nebo v horní polovině druhého intervalu, ve kterém je funkce ${ displaystyle psi _ {n_ {2}, k_ {2}}}$ zůstává neměnný. Z toho v tomto případě vyplývá, že součin těchto dvou Haarových funkcí je násobkem první Haarovy funkce, a proto má součin 0.

The Haarův systém na skutečné lince je sada funkcí

${ displaystyle { psi _ {n, k} (t) ;; ; n v mathbf {Z}, ; k v mathbf {Z} }.}$

to je kompletní v L²(R): Systém Haar na lince je v systému ortonormálním základem L²(R).

Vlastnosti vlnky Haar

Vlna Haar má několik pozoruhodných vlastností:

1. Libovolnou spojitou skutečnou funkci s kompaktní podporou lze přibližně aproximovat pomocí lineární kombinace z ${ displaystyle varphi (t), varphi (2t), varphi (4t), tečky, varphi (2 ^ {n} t), tečky}$ a jejich posunuté funkce. To se vztahuje na ty funkční prostory, kde lze jakoukoli funkci v nich aproximovat spojitými funkcemi.
2. Libovolná spojitá reálná funkce na [0, 1] může být rovnoměrně aproximována na [0, 1] lineárními kombinacemi konstantní funkce1, ${ displaystyle psi (t), psi (2t), psi (4t), tečky, psi (2 ^ {n} t), tečky}$ a jejich posunuté funkce.^[3]
3. Ortogonalita ve formě

    ${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} 2 ^ {(n + n_ {1}) / 2} psi (2 ^ {n} tk) psi (2 ^ {n_ {1} } t-k_ {1}) , dt = delta _ {n, n_ {1}} delta _ {k, k_ {1}}.}$

Tady δ_i,j představuje Kroneckerova delta. The duální funkce z ψ (t) je ψ (t) sám.

1. Funkce wavelet / škálování s různým měřítkem n mít funkční vztah:^[4] od té doby

${ displaystyle { begin {zarovnáno} varphi (t) & = varphi (2t) + varphi (2t-1) [. 2em] psi (t) & = varphi (2t) - varphi (2t-1), end {zarovnáno}}}$

z toho vyplývá, že koeficienty měřítka n lze vypočítat koeficienty stupnice n + 1:

Li ${ displaystyle chi _ {w} (k, n) = 2 ^ {n / 2} int _ {- infty} ^ { infty} x (t) varphi (2 ^ {n} tk) , dt}$

a ${ displaystyle mathrm {X} _ {w} (k, n) = 2 ^ {n / 2} int _ {- infty} ^ { infty} x (t) psi (2 ^ {n} tk) , dt}$

pak

${ displaystyle chi _ {w} (k, n) = 2 ^ {- 1/2} { bigl (} chi _ {w} (2k, n + 1) + chi _ {w} (2k + 1, n + 1) { bigr)}}$

${ displaystyle mathrm {X} _ {w} (k, n) = 2 ^ {- 1/2} { bigl (} chi _ {w} (2k, n + 1) - chi _ {w } (2k + 1, n + 1) { bigr)}.}$

Haarův systém na jednotkovém intervalu a související systémy

V této části je diskuse omezena na jednotkový interval [0, 1] a na funkce Haar, které jsou podporovány na [0, 1]. Systém funkcí uvažovaných Haarem v roce 1910,^[5]volal Haar systém zapnutý [0, 1] v tomto článku se skládá z podmnožiny vln Haar definovaných jako

${ displaystyle {t v [0,1] mapsto psi _ {n, k} (t) ;; ; n v mathbb {N} pohár {0 }, ; 0 leq k <2 ^ {n} },}$

s přidáním konstantní funkce 1 na [0, 1].

v Hilbertův prostor z hlediska tohoto systému Haar na [0, 1] je a kompletní ortonormální systém, tj., an ortonormální základ, pro prostor L²([0, 1]) čtvercových integrovatelných funkcí na jednotkovém intervalu.

Systém Haar na [0, 1] - s konstantní funkcí 1 jako první prvek následovaný funkcemi Haar seřazenými podle lexikografický objednávání párů (n, k)- je dále a monotónní Schauderův základ pro prostor L^str([0, 1]) když 1 ≤ str < ∞.^[6] Tento základ je bezpodmínečný když 1 < str < ∞.^[7]

Existuje související Systém Rademacher skládající se ze součtu Haarových funkcí,

${ displaystyle r_ {n} (t) = 2 ^ {- n / 2} součet _ {k = 0} ^ {2 ^ {n} -1} psi _ {n, k} (t), quad t in [0,1], n geq 0.}$

Všimněte si, že |r_n(t) | = 1 v [0, 1). Toto je ortonormální systém, ale není úplný.^[8][9]V jazyce teorie pravděpodobnosti, Rademacherova sekvence je instancí sekvence nezávislý Bernoulli náhodné proměnné s znamenat 0. The Khintchinova nerovnost vyjadřuje skutečnost, že ve všech prostorech L^str([0, 1]), 1 ≤ str < ∞, je Rademacherova sekvence ekvivalent na jednotkový vektorový základ v ℓ².^[10] Zejména uzavřené lineární rozpětí sekvence Rademacher v L^str([0, 1]), 1 ≤ str < ∞, je izomorfní do ℓ².

Systém Faber-Schauder

The Systém Faber-Schauder^[11][12][13] je rodina spojitých funkcí na [0, 1] skládající se z konstantní funkce1a z násobků neurčité integrály funkcí v systému Haar na [0, 1], které byly vybrány tak, aby měly normu 1 v maximální norma. Tento systém začíná na s₀ = 1, pak s₁(t) = t je neurčitý integrál mizející při 0 funkce1, první prvek systému Haar na [0, 1]. Dále pro každé celé číslo n ≥ 0, funkce s_n,k jsou definovány vzorcem

${ displaystyle s_ {n, k} (t) = 2 ^ {1 + n / 2} int _ {0} ^ {t} psi _ {n, k} (u) , du, quad t in [0,1], 0 leq k <2 ^ {n}.}$

Tyto funkce s_n,k jsou spojité, po částech lineární, podporovaný intervalem Já_n,k který také podporuje ψ_n,k. Funkce s_n,k se rovná 1 ve středu X_n,k intervalu Já_n,k, lineární na obou polovinách tohoto intervalu. Všude má hodnoty mezi 0 a 1.

Systém Faber-Schauder je Schauderův základ pro prostor C([0, 1]) spojitých funkcí na [0, 1].^[6] Pro každéhoF v C([0, 1]), částečný součet

${ displaystyle f_ {n + 1} = a_ {0} s_ {0} + a_ {1} s_ {1} + sum _ {m = 0} ^ {n-1} { Bigl (} sum _ {k = 0} ^ {2 ^ {m} -1} a_ {m, k} s_ {m, k} { Bigr)} v C ([0,1])}$

z rozšíření série z F v systému Faber-Schauder je spojitá po částech lineární funkce, se kterou souhlasíteF na 2ⁿ + 1 bodů k2⁻ⁿ, kde 0 ≤ k ≤ 2ⁿ. Dále vzorec

${ displaystyle f_ {n + 2} -f_ {n + 1} = součet _ {k = 0} ^ {2 ^ {n} -1} { bigl (} f (x_ {n, k}) - f_ {n + 1} (x_ {n, k}) { bigr)} s_ {n, k} = součet _ {k = 0} ^ {2 ^ {n} -1} a_ {n, k} s_ {n, k}}$

dává způsob, jak vypočítat expanzi F krok za krokem. Od té doby F je rovnoměrně spojité, sekvence {F_n} konverguje jednotně na F. Z toho vyplývá, že rozšíření řady Faber – Schauder F sblíží se C([0, 1]) a součet této řady se rovnáF.

Systém Franklin

The Franklinův systém je získáván ze systému Faber-Schauder systémem Gram – Schmidtova ortonormalizační procedura.^[14][15]Protože Franklinův systém má stejné lineární rozpětí jako u systému Faber-Schauder, je toto rozpětí husté C([0, 1]), tedy v L²([0, 1]). Systém Franklin je tedy ortonormálním základem L²([0, 1]), skládající se z spojitých po částech lineárních funkcí. P. Franklin v roce 1928 dokázal, že tento systém je Schauderovým základem C([0, 1]).^[16] Franklinův systém je také bezpodmínečným Schauderovým základem pro vesmír L^str([0, 1]) když 1 < str < ∞.^[17]Systém Franklin poskytuje základnu Schauder v disková algebra A(D).^[17]To dokázal v roce 1974 Bočkarev, poté, co existoval základ pro diskovou algebru, zůstal otevřený po více než čtyřicet let.^[18]

Bočkarevova konstrukce Schauderovy základny v A(D) zní: letF být komplexem oceňovaným Funkce Lipschitz na [0, n]; pakF je součet a kosinová řada s absolutně vyčíslitelné koeficienty. NechatT(F) být prvkem A(D) definovaný komplexem výkonová řada se stejnými koeficienty,

${ displaystyle left {f: x in [0, pi] rightarrow sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} cos (nx) right } longrightarrow left {T (f): z rightarrow sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} z ^ {n}, quad | z | leq 1 right }.}$

Bočkarevův základ pro A(D) je tvořen obrázky podT funkcí v systému Franklin na [0, π]. Bočkarevův ekvivalentní popis pro mapováníT začíná prodloužením F do dokonce Funkce LipschitzG₁ na [π, π], identifikovaný s Lipschitzovou funkcí na jednotkový kruh  T. Dále nechte G₂ být funkce konjugátu zG₁a definovat T(F) být funkcí vA(D) jehož hodnota na hranici T zD je rovnýG₁ + iG₂.

Když se jedná o 1-periodické spojité funkce, nebo spíše o spojité funkce F na [0, 1] takové, že F(0) = F(1), jeden odebere funkci s₁(t) = t ze systému Faber-Schauder za účelem získání periodický systém Faber – Schauder. The periodický Franklinův systém se získává orthonormalizací z periodického systému Faber –- Schauder.^[19]Jeden může prokázat Bočkarevův výsledek A(D) prokázáním, že periodický Franklinův systém na [0, 2π] je základem pro Banachův prostor A_r izomorfní s A(D).^[19] Prostor A_r se skládá ze složitých spojitých funkcí na jednotkovém kruhu T jehož funkce konjugátu je také kontinuální.

Haarova matice

Matice 2 × 2 Haar, která je spojena s vlnou Haar, je

${ displaystyle H_ {2} = { begin {bmatrix} 1 & 1 1 & -1 end {bmatrix}}.}$

Za použití diskrétní vlnková transformace lze transformovat libovolnou sekvenci ${ displaystyle (a_ {0}, a_ {1}, tečky, a_ {2n}, a_ {2n + 1})}$ sudé délky do sekvence dvousložkových vektorů ${ displaystyle left ( left (a_ {0}, a_ {1} right), dots, left (a_ {2n}, a_ {2n + 1} right) right)}$. Pokud jedna doprava, násobí každý vektor maticí ${ displaystyle H_ {2}}$, jeden dostane výsledek ${ displaystyle left ( left (s_ {0}, d_ {0} right), dots, left (s_ {n}, d_ {n} right) right)}$ jednoho stupně rychlé Haar-vlnkové transformace. Obvykle sekvence odděluje s a d a pokračuje transformací sekvence s. Sekvence s se často označuje jako průměry část, zatímco d je známý jako podrobnosti část.^[20]

Pokud má jedna sekvenci délky několikanásobek, lze vytvořit bloky 4 prvků a transformovat je podobným způsobem pomocí matice 4 × 4 Haar

${ displaystyle H_ {4} = { begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & -1 & -1 1 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & -1 end {bmatrix}},}$

který kombinuje dva stupně rychlé Haar-vlnkové transformace.

Porovnejte s a Walshova matice, což je nelokalizovaná matice 1 / –1.

Obecně lze 2N × 2N Haarovu matici odvodit pomocí následující rovnice.

${ displaystyle H_ {2N} = { begin {bmatrix} H_ {N} otimes [1,1] I_ {N} otimes [1, -1] end {bmatrix}}}$

kde ${ displaystyle I_ {N} = { begin {bmatrix} 1 & 0 & dots & 0 0 & 1 & dots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & dots & 1 end {bmatrix}}}$ a ${ displaystyle otimes}$ je Produkt Kronecker.

The Produkt Kronecker z ${ displaystyle A otimes B}$, kde ${ displaystyle A}$ je matice m × n a ${ displaystyle B}$ je matice p × q, je vyjádřena jako

${ displaystyle A otimes B = { begin {bmatrix} a_ {11} B & dots & a_ {1n} B vdots & ddots & vdots a_ {m1} B & dots & a_ {mn} B end {bmatrix}}.}$

Nenormalizovaná 8bodová Haarova matice ${ displaystyle H_ {8}}$ je zobrazen níže

${ displaystyle H_ {8} = { začátek {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 1 & 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & -1 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 a 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 end {bmatrix}}.}$

Všimněte si, že výše uvedená matice je nenormalizovaná Haarova matice. Haarova matice vyžadovaná Haarovou transformací by měla být normalizována.

Z definice Haarovy matice ${ displaystyle H}$lze pozorovat, že na rozdíl od Fourierovy transformace ${ displaystyle H}$ má pouze skutečné prvky (tj. 1, -1 nebo 0) a je nesymetrický.

Vezměte 8bodovou Haarovu matici ${ displaystyle H_ {8}}$ jako příklad. První řada ${ displaystyle H_ {8}}$ měří průměrnou hodnotu a druhý řádek ${ displaystyle H_ {8}}$ měří nízkofrekvenční složku vstupního vektoru. Další dva řádky jsou citlivé na první a druhou polovinu vstupního vektoru, což odpovídá středně frekvenčním složkám. Zbývající čtyři řádky jsou citlivé na čtyři části vstupního vektoru, což odpovídá vysokofrekvenčním komponentám.^[21]

Haarova transformace

The Haarova transformace je nejjednodušší z vlnkové transformace. Tato transformace křížově násobí funkci proti vlně Haar s různými posuny a roztaženími, jako Fourierova transformace kříží násobí funkci proti sinusové vlně se dvěma fázemi a mnoha úseky.^{[22][je zapotřebí objasnění ]}

Úvod

The Haarova transformace je jednou z nejstarších transformačních funkcí, kterou v roce 1910 navrhl maďarský matematik Alfréd Haar. Bylo zjištěno, že je efektivní v aplikacích, jako je komprese signálu a obrazu v elektrotechnice a výpočetní technice, protože poskytuje jednoduchý a výpočetně efektivní přístup k analýze místních aspektů signálu.

Haarova transformace je odvozena z Haarovy matice. Níže je uveden příklad transformační matice 4x4 Haar.

${ displaystyle H_ {4} = { frac {1} {2}} { begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & -1 & -1 { sqrt {2}} & - { sqrt {2}} & 0 & 0 0 & 0 & { sqrt {2}} & - { sqrt {2}} end {bmatrix}}}$

Haarovu transformaci lze považovat za proces vzorkování, ve kterém řádky transformační matice fungují jako vzorky jemnějšího a jemnějšího rozlišení.

Porovnejte s Walshova transformace, což je také 1 / –1, ale není lokalizováno.

Vlastnictví

Haarova transformace má následující vlastnosti

1. Není třeba množení. Vyžaduje pouze přidání a v matici Haar je mnoho prvků s nulovou hodnotou, takže výpočetní doba je krátká. Je to rychlejší než Walshova transformace, jehož matice se skládá z +1 a −1.

2. Vstupní a výstupní délka jsou stejné. Délka by však měla být síla 2, tj. ${ displaystyle N = 2 ^ {k}, k in mathbb {N}}$.

3. Lze jej použít k analýze lokalizované vlastnosti signálů. V důsledku ortogonální vlastnost funkce Haar, lze analyzovat frekvenční složky vstupního signálu.

Haarova transformace a inverzní Haarova transformace

Haarova transformace y_n funkce n-vstupu X_n je

${ displaystyle y_ {n} = H_ {n} x_ {n}}$

Haarova transformační matice je skutečná a ortogonální. Inverzní Haarovu transformaci lze tedy odvodit pomocí následujících rovnic.

${ displaystyle H = H ^ {*}, H ^ {- 1} = H ^ {T}, { text {tj.}} HH ^ {T} = I}$

kde ${ displaystyle I}$ je matice identity. Například když n = 4

${ displaystyle H_ {4} ^ {T} H_ {4} = { frac {1} {2}} { begin {bmatrix} 1 & 1 & { sqrt {2}} & 0 1 & 1 & - { sqrt {2 }} & 0 1 & -1 & 0 & { sqrt {2}} 1 & -1 & 0 & - { sqrt {2}} end {bmatrix}} cdot ; { frac {1} {2}} { začít {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & -1 & -1 { sqrt {2}} & - { sqrt {2}} & 0 & 0 0 & 0 & { sqrt {2}} & - { sqrt {2}} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {bmatrix}}}$

Inverzní Haarova transformace tedy je

${ displaystyle x_ {n} = H ^ {T} y_ {n}}$

Příklad

Haarovy transformační koeficienty n = 4bodového signálu ${ displaystyle x_ {4} = [1,2,3,4] ^ {T}}$ lze najít jako

${ displaystyle y_ {4} = H_ {4} x_ {4} = { frac {1} {2}} { begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & -1 & -1 { sqrt {2}} & - { sqrt {2}} & 0 & 0 0 & 0 & { sqrt {2}} & - { sqrt {2}} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 1 2 3 4 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 5 - 2 - 1 / { sqrt {2}} - 1 / { sqrt {2}} end {bmatrix}}}$

Vstupní signál lze poté dokonale rekonstruovat inverzní Haarovou transformací

${ displaystyle { hat {x_ {4}}} = H_ {4} ^ {T} y_ {4} = { frac {1} {2}} { begin {bmatrix} 1 & 1 & { sqrt {2} } & 0 1 & 1 & - { sqrt {2}} & 0 1 & -1 & 0 & { sqrt {2}} 1 & -1 & 0 & - { sqrt {2}} end {bmatrix}} { begin {bmatrix } 5 - 2 - 1 / { sqrt {2}} - 1 / { sqrt {2}} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 2 3 4 end {bmatrix}}}$

aplikace

Moderní fotoaparáty jsou schopny vytvářet snímky s rozlišením v řádu desítek megapixelů. Tyto obrázky musí být stlačený před uskladněním a přenosem. Haarovu transformaci lze použít pro kompresi obrazu. Základní myšlenkou je přenést obraz do matice, ve které každý prvek matice představuje pixel v obraze. Například matice 256 × 256 je uložena pro obrázek 256 × 256. JPEG komprese obrazu zahrnuje řezání původního obrazu na 8 × 8 dílčích obrázků. Každý dílčí obraz je matice 8 × 8.

Je vyžadována 2-D Haarova transformace. Rovnice Haarovy transformace je ${ displaystyle B_ {n} = H_ {n} A_ {n} H_ {n} ^ {T}}$, kde ${ displaystyle A_ {n}}$ je n × n matice a ${ displaystyle H_ {n}}$ je Haarova transformace s n-bodem. Inverzní Haarova transformace je ${ displaystyle A_ {n} = H_ {n} ^ {T} B_ {n} H_ {n}}$

V orální chirurgii se k odhalení potenciálně škodlivých lézí, tj. Leukoplakie, používá struktura struktury obrazu založená na Haarově vlnce [DOI: 10.1155 / 2020/8831161; DOI: 10,3390 / ma13163614].

Viz také

• Zmenšení rozměrů
• Walshova matice
• Walshova transformace
• Wavelet
• Chirplet
• Signál
• Funkce podobná Haaru
• Strömbergova vlnka
• Dyadická transformace

Poznámky

Reference

• Haar, Alfréd (1910), „Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme“, Mathematische Annalen, 69 (3): 331–371, doi:10.1007 / BF01456326, hdl:2027 / uc1.b2619563
• Charles K. Chui, Úvod do vlnky(1992), Academic Press, San Diego, ISBN  0-585-47090-1
• Anglický překlad Haarova klíčového článku: https://www.uni-hohenheim.de/~gzim/Publications/haar.pdf^{[trvalý mrtvý odkaz ]}

externí odkazy

• "Haarův systém", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Zdarma implementace filtrování vln Haar a interaktivní ukázka
• Bezplatné haarování vlnkových vln a ztrátová komprese signálu

Haarova transformace

• [1]
• [2]
• [3]
• [4]
• [5]