Strömbergova vlnka - Strömberg wavelet

v matematika, Strömbergova vlnka je jisté ortonormální vlnka objeven Jan-Olovem Strömbergem a prezentován v příspěvku publikovaném v roce 1983.^[1] I když Haarova vlnka dříve bylo známo, že je ortonormální wavelet, Strömbergova wavelet byla první hladkou ortonormální wavelet, která byla objevena. Termín vlnka v době zveřejnění objevu Strömbergovy wavelety nebyly vytvořeny a Strömbergovou motivací bylo najít ortonormální základ pro Odolné prostory.^[1]

Definice

Le m být kdokoli nezáporné celé číslo. Nechat PROTI být kdokoli diskrétní podmnožina sady R z reálná čísla. Pak PROTI rozdělí se R nepřekrývající se intervaly. Pro všechny r v PROTI, nechť Já_r označit interval určený PROTI s r jako levý koncový bod. Nechat P^(m)(PROTI) označují množinu všech funkce F(t) přes R splňující následující podmínky:

• F(t) je čtvercový integrovatelný.
• F(t) má kontinuální deriváty všech objednávek do m.
• F(t) je polynomiální stupně m + 1 v každém z intervalů Já_r.

Li A₀ = {. . . , -2, -3/2, -1, -1/2} ∪ {0} ∪ {1, 2, 3,. . .} a A₁ = A₀ ∪ {1/2} pak Strömbergova vlnka řádu m je funkce S^m(t) splňující následující podmínky:^[1]

• ${ displaystyle S ^ {m} (t) v P ^ {(m)} (A_ {1}).}$
• ${ displaystyle Vert S ^ {m} (t) Vert = 1}$, to znamená, ${ displaystyle int _ {R} vert S ^ {m} (t) vert ^ {2} , dt = 1.}$
• ${ displaystyle S ^ {m} (t)}$ je ortogonální na ${ displaystyle P ^ {(m)} (A_ {0})}$, to znamená, ${ displaystyle int _ {R} S ^ {m} (t) , f (t) , dt = 0}$ pro všechny ${ displaystyle f (t) v P ^ {(m)} (A_ {0}).}$

Vlastnosti sady P^(m)(PROTI)

Následuje několik vlastností sady P^(m)(PROTI):

1. Nechte dovnitř počet odlišných prvků PROTI být dva. Pak F(t) ∈ P^(m)(PROTI) právě tehdy F(t) = 0 pro všechny t.
2. Pokud je počet prvků v PROTI je tři nebo více než P^(m)(PROTI) obsahuje nenulové funkce.
3. Li PROTI₁ a PROTI₂ jsou diskrétní podmnožiny R takhle PROTI₁ ⊂ PROTI₂ pak P^(m)(PROTI₁) ⊂ P^(m)(PROTI₂). Zejména, P^(m)(A₀) ⊂ P^(m)(A₁).
4. Li F(t) ∈ P^(m)(A₁) pak F(t) = G(t) + α λ (t) kde α je konstantní a G(t) ∈ P^(m)(A₀) je definován G(r) = F(r) pro r ∈ A₀.

Strömbergova vlnka jako ortonormální vlnka

Následující výsledek stanoví Strömbergovu vlnku jako ortonormální vlnka.^[1]

Teorém

Nechat S^m být Strömbergovou vlnou řádu m. Pak následující sada

${ displaystyle left {2 ^ {j / 2} S ^ {m} (2 ^ {j} t-k): j, k { text {celá čísla}} doprava }}$

je kompletní ortonormální systém v prostoru čtvercových integrovatelných funkcí R.

Strömbergovy vlnky řádu 0

Graf Strömbergovy vlnky řádu 0. Graf je upraven tak, aby hodnota funkce vlnky na 1 byla 1.

Ve zvláštním případě Strömbergových vlnek řádu 0 lze pozorovat následující fakta:

1. Li F(t) ∈ P⁰(PROTI) pak F(t) je jednoznačně definována diskrétní podmnožinou {F(r) : r ∈ PROTI} z R.
2. Ke každému s ∈ A₀, speciální funkce λ_s v A₀ is associated: It is defined by λ_s(r) = 1 pokud r = s a λ_s(r) = 0 pokud s ≠ r ∈ A₀. Tyto speciální prvky v P(A₀) se nazývají jednoduché stany. Speciální jednoduchý stan λ_1/2(t) je označeno λ (t)

Výpočet Strömbergovy vlnky řádu 0

Jak již bylo uvedeno, Strömbergova vlnka S⁰(t) je zcela určen množinou { S⁰(r) : r ∈ A₁ }. Pomocí definujících vlastností vlnovky Strömbeg lze vypočítat přesné výrazy pro prvky této sady a jsou uvedeny níže.^[2]

${ displaystyle S ^ {0} (k) = S ^ {0} (1) ({ sqrt {3}} - 2) ^ {k-1}}$ pro ${ displaystyle k = 1,2,3, ldots}$

${ displaystyle S ^ {0} ({ tfrac {1} {2}}) = - S ^ {0} (1) left ({ sqrt {3}} + { tfrac {1} {2} }že jo)}$

${ displaystyle S ^ {0} (0) = S ^ {0} (1) (2 { sqrt {3}} - 2)}$

${ displaystyle S ^ {0} (- { tfrac {k} {2}}) = S ^ {0} (1) (2 { sqrt {3}} - 2) ({ sqrt {3}} -2) ^ {k}}$ pro ${ displaystyle k = 1,2,3, ldots}$

Tady S⁰(1) je konstantní tak, že ||S⁰(t)|| = 1.

Některé další informace o Strömbergově vlněku řádu 0

Strömbergova vlnka řádu 0 má následující vlastnosti.^[2]

• Strömbergova vlnka S⁰(t) osciluje o t-osa.
• Strömbergova vlnka S⁰(t) má exponenciální úpadek.
• Hodnoty S⁰(t) pro kladné celočíselné hodnoty t a pro záporné polointegrální hodnoty t souvisí takto: ${ displaystyle S ^ {0} (- k / 2) = (10-6 { sqrt {3}}) S ^ {0} (k)}$ pro ${ displaystyle k = 1,2,3, ldots ,.}$

Reference