Analýza ve více měřítcích - Multiple-scale analysis

v matematika a fyzika, vícenásobná analýza (nazývané také metoda více stupnic) zahrnuje techniky používané ke konstrukci jednotně platné aproximace k řešení problémy s poruchami, jak pro malé, tak pro velké hodnoty nezávislé proměnné. To se provádí zavedením proměnných rychlého a pomalého měřítka pro nezávislou proměnnou a následným zpracováním těchto proměnných, rychlých a pomalých, jako by byly nezávislé. V procesu řešení problému poruchy poté se výsledná další svoboda - zavedená novými nezávislými proměnnými - používá k odstranění (nežádoucího) sekulární pojmy. Druhá možnost omezuje přibližné řešení, které se nazývá podmínky řešitelnosti.

Matematický výzkum z osmdesátých let navrhuje, aby transformace souřadnic a invariantní variety poskytovaly spolehlivější podporu pro víceúrovňové modelování (například viz středové potrubí a pomalé potrubí ).

Příklad: netlumená Duffova rovnice

Diferenciální rovnice a úspora energie

Jako příklad pro metodu vícenásobné analýzy zvažte netlumené a nevynucené Tlumící rovnice:^[1]

${ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} + y + varepsilon y ^ {3} = 0,}$   ${ displaystyle y (0) = 1, qquad { frac {dy} {dt}} (0) = 0,}$

což je druhého řádu obyčejná diferenciální rovnice popisující a nelineární oscilátor. Řešení y(t) je hledán pro malé hodnoty (kladného) parametru nelinearity 0 <ε ≪ 1. Je známo, že netlumená Duffingova rovnice je a Hamiltonovský systém:

${ displaystyle { frac {dp} {dt}} = - { frac { částečné H} { částečné q}}, qquad { frac {dq} {dt}} = + { frac { částečné H} { částečné p}}, quad { text {with}} quad H = { tfrac {1} {2}} p ^ {2} + { tfrac {1} {2}} q ^ {2} + { tfrac {1} {4}} varepsilon q ^ {4},}$

s q = y(t) a str = dy/dt. V důsledku toho Hamiltonian H(str, q) je konzervovaná veličina, konstanta, rovná se H = ½ + ¼ ε pro dané počáteční podmínky. To znamená, že obojí y a dy/dt musí být omezeny:

${ displaystyle left | y (t) right | leq { sqrt {1 + { tfrac {1} {2}} varepsilon}} quad { text {a}} quad left | { frac {dy} {dt}} right | leq { sqrt {1 + { tfrac {1} {2}} varepsilon}} qquad { text {pro všechny}} t.}$ 

Jednoduché řešení poruchových řad

Pravidelný přístup k poruchovým řadám k problému dává výsledek:

${ displaystyle y (t) = cos (t) + varepsilon left [{ tfrac {1} {32}} cos (3t) - { tfrac {1} {32}} cos (t) - underbrace {{ tfrac {3} {8}} , t , sin (t)} _ { text {secular}} right] + { mathcal {O}} ( varepsilon ^ {2 }).}$

Poslední člen mezi hranatými závorkami je sekulární: roste bez vazby na velké |t|. Zejména pro ${ displaystyle t = O ( epsilon ^ {- 1})}$ tento termín je Ó(1) a má stejný řád jako termín vedoucího řádu. Protože pojmy se staly neuspořádanými, řada již není asymptotickou expanzí řešení.

Metoda více stupnic

Vytvoření řešení, které je platné i mimo něj ${ displaystyle t = O ( epsilon ^ {- 1})}$, metoda vícenásobná analýza se používá. Představte pomalou stupnici t₁:

${ displaystyle t_ {1} = varepsilon t ,}$

a předpokládat řešení y(t) je řešení poruchové řady závislé na obou t a t₁, považováno za:

${ displaystyle y (t) = Y_ {0} (t, t_ {1}) + varepsilon Y_ {1} (t, t_ {1}) + cdots.}$

Tak:

${ displaystyle { begin {aligned} { frac {dy} {dt}} & = left ({ frac { částečné Y_ {0}} { částečné t}} + { frac {dt_ {1} } {dt}} { frac { částečné Y_ {0}} { částečné t_ {1}}} pravé) + varepsilon levé ({ frac { částečné Y_ {1}} { částečné t} } + { frac {dt_ {1}} {dt}} { frac { částečné Y_ {1}} { částečné t_ {1}}} vpravo) + cdots & = { frac { částečné Y_ {0}} { částečné t}} + varepsilon vlevo ({ frac { částečné Y_ {0}} { částečné t_ {1}}} + { frac { částečné Y_ {1}} { partial t}} right) + { mathcal {O}} ( varepsilon ^ {2}), end {zarovnáno}}}$

použitím dt₁/dt = ε. Podobně:

${ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} = { frac { částečné ^ {2} Y_ {0}} { částečné t ^ {2}}} + varepsilon left (2 { frac { částečné ^ {2} Y_ {0}} { částečné t , částečné t_ {1}}} + { frac { částečné ^ {2} Y_ {1}} { partial t ^ {2}}} right) + { mathcal {O}} ( varepsilon ^ {2}).}$

Pak se problémy s nulovým a prvním řádem řady odchylek víceúrovňové Duffingovy rovnice stanou:

${ displaystyle { begin {aligned} { frac { částečné ^ {2} Y_ {0}} { částečné t ^ {2}}} + Y_ {0} & = 0, { frac { částečné ^ {2} Y_ {1}} { částečné t ^ {2}}} + Y_ {1} & = - Y_ {0} ^ {3} -2 , { frac { částečné ^ {2} Y_ {0}} { částečné t , částečné t_ {1}}}. End {zarovnáno}}}$

Řešení

Problém s nulovým řádem má obecné řešení:

${ displaystyle Y_ {0} (t, t_ {1}) = A (t_ {1}) , e ^ {+ it} + A ^ { ast} (t_ {1}) , e ^ {- to},}$

s A(t₁) a amplituda s komplexní hodnotou k řešení nultého řádu Y₀(t, t₁) a i² = -1. Nyní, v problému prvního řádu, vynucení v pravá strana diferenciální rovnice je

${ displaystyle left [-3 , A ^ {2} , A ^ { ast} -2 , i , { frac {dA} {dt_ {1}}} right] , e ^ {+ it} -A ^ {3} , e ^ {+ 3it} + cc}$

kde c.c. označuje komplexní konjugát předchozích podmínek. Výskyt sekulární pojmy lze zabránit uložením - dosud neznámé - amplitudy A(t₁) podmínka řešitelnosti

${ displaystyle -3 , A ^ {2} , A ^ { ast} -2 , i , { frac {dA} {dt_ {1}}} = 0.}$

Řešení podmínky řešitelnosti, které rovněž splňuje počáteční podmínky y(0) = 1 a dy/dt(0) = 0, je:

${ displaystyle A = { tfrac {1} {2}} , exp left ({ tfrac {3} {8}} , i , t_ {1} right).}$

Výsledkem je, že přibližné řešení analýzou více stupnic je

${ displaystyle y (t) = cos left [ left (1 + { tfrac {3} {8}} , varepsilon right) t right] + { mathcal {O}} ( varepsilon ),}$

použitím t₁ = εt a platí pro εt = O (1). To souhlasí s nelineárním frekvence změny zjištěné zaměstnáním Lindstedt – Poincaréova metoda.

Toto nové řešení platí do ${ displaystyle t = O ( epsilon ^ {- 2})}$. Řešení vyššího řádu - využívající metodu více měřítek - vyžadují zavedení dalších pomalých měřítek, tj.: t₂ = ε² t, t₃ = ε³ tTo však zavádí možné nejasnosti v řešení poruchových řad, které vyžadují pečlivé zacházení (viz Kevorkian & Cole 1996; Bender & Orszag 1999 ).^[2]

Transformace souřadnic na proměnné amplitudy / fáze

Alternativně moderní zvukové přístupy odvozují tyto druhy modelů pomocí souřadnicových transformací,^[3] jak je popsáno dále.

Řešení ${ displaystyle y cca r cos theta}$ hledá se v nových souřadnicích ${ displaystyle (r, theta)}$ kde je amplituda ${ displaystyle r (t)}$ se mění pomalu a fáze ${ displaystyle theta (t)}$ se mění téměř konstantní rychlostí, a to ${ Displaystyle d theta / dt přibližně 1.}$ Přímočará algebra najde transformaci souřadnic^{[Citace je zapotřebí ]}

${ displaystyle y = r cos theta + { frac {1} {32}} varepsilon r ^ {3} cos 3 theta + { frac {1} {1024}} varepsilon ^ {2} r ^ {5} (- 21 cos 3 theta + cos 5 theta) + { mathcal {O}} ( varepsilon ^ {3})}$

transformuje Duffingovu rovnici na pár, jehož poloměr je konstantní ${ displaystyle dr / dt = 0}$ a fáze se vyvíjí podle

${ displaystyle { frac {d theta} {dt}} = 1 + { frac {3} {8}} varepsilon r ^ {2} - { frac {15} {256}} varepsilon ^ { 2} r ^ {4} + { mathcal {O}} ( varepsilon ^ {3}).}$

To znamená, že Duffingovy oscilace mají konstantní amplitudu ${ displaystyle r}$ ale mají různé frekvence ${ displaystyle d theta / dt}$ v závislosti na amplitudě.^[4]

Složitější příklady jsou lépe zpracovány pomocí časově závislé transformace souřadnic zahrnující složité exponenciály (jak je také vyvoláno v předchozím přístupu s více časovými měřítky). Analýza provede širokou škálu příkladů webová služba.^[5]

Viz také

• Metoda spárovaných asymptotických expanzí
• Aproximace WKB

Poznámky

Reference

externí odkazy

• Carson C. Chow (ed.). „Analýza s více měřítky“. Scholarpedia.