Věta o podskupině Kurosh - Kurosh subgroup theorem

V matematický pole teorie skupin, Věta o podskupině Kurosh popisuje algebraickou strukturu podskupiny z produkty zdarma z skupiny. Věta byla získána Alexander Kurosh, ruský matematik, v roce 1934.^[1] Věta neformálně říká, že každá podskupina bezplatného produktu je sama o sobě bezplatným produktem a volná skupina a jeho křižovatek s konjugáty faktorů původního bezplatného produktu.

Historie a zobecnění

Po původním důkazu Kurosh z roku 1934 došlo k mnoha následným důkazům teorému podskupiny Kurosh, včetně důkazů Harolda W. Kuhna (1952),^[2] Saunders Mac Lane (1958)^[3] a další. Věta byla také zobecněna pro popis podskupin sloučené produkty zdarma a HNN rozšíření.^[4][5] Mezi další zevšeobecňování patří zvažování podskupin zdarma pro-konečný produkty^[6] a verze věty o podskupině Kurosh pro topologické skupiny.^[7]

V moderních termínech je věta o podskupině Kurosh přímým důsledkem základních strukturálních výsledků Teorie Bass – Serre o skupinách herectví na stromy.^[8]

Výrok věty

Nechat ${displaystyle G = A * B}$ být produkt zdarma skupin A a B a nechte ${displaystyle Hleq G}$ být podskupina z G. Pak existuje rodina ${displaystyle (A_ {i}) _ {iin I}}$ podskupin ${displaystyle A_ {i} leq A}$, rodina ${displaystyle (B_ {j}) _ {jin J}}$ podskupin ${displaystyle B_ {j} leq B}$, rodiny ${displaystyle g_ {i}, iin I}$ a ${displaystyle f_ {j}, jin J}$ prvků Ga podmnožina ${displaystyle Xsubseteq G}$ takhle

${displaystyle H = F (X) * (* _ {iin I} g_ {i} A_ {i} g_ {i} ^ {- 1}) * (* _ {jin J} f_ {j} B_ {j} f_ {j} ^ {- 1}).}$

Tohle znamená tamto X volně generuje podskupina G isomorfní s volná skupina F(X) zdarma X a to navíc G_iA_iG_i⁻¹, F_jB_jF_j⁻¹ a X generovat H v G jako bezplatný produkt výše uvedené formy.

Dochází k zevšeobecňování v případě bezplatných produktů s libovolně mnoha faktory.^[9] Jeho formulace je:

Li H je podskupina ∗_i∈IG_i = G, pak

${displaystyle H = F (X) * (* _ {jin J} g_ {j} H_ {j} g_ {j} ^ {- 1}),}$

kde X ⊆ G a J je nějaká sada indexů a G_j ∈ G a každý H_j je podskupina některých G_i.

Důkaz pomocí teorie Bass – Serre

Věta o podskupině Kurosh snadno vyplývá ze základních strukturálních výsledků v Teorie Bass – Serre, jak je vysvětleno například v knize Cohen (1987):^[8]

Nechat G = A∗B a zvažte G jako základní skupina a graf skupin Y skládající se z jedné hrany bez smyčky se skupinami vrcholů A a B a se skupinou triviálních hran. Nechat X být univerzálním krycím stromem Bass – Serre pro graf skupin Y. Od té doby H ≤ G také působí na X, zvažte kvocientový graf skupin Z za akci H na X. Skupiny vrcholů Z jsou podskupiny G-stabilizátory vrcholů X, to znamená, že jsou konjugovány G do podskupin A a B. Okrajové skupiny Z jsou triviální, protože G-stabilizátory okrajů X byly triviální. Základní teorémem Bass-Serreovy teorie H je kanonicky izomorfní základní skupině graf skupin Z. Vzhledem k tomu, okrajové skupiny Z jsou triviální, z toho vyplývá H se rovná volnému součinu skupin vrcholů Z a volná skupina F(X) který je základní skupina (ve standardním topologickém smyslu) podkladového grafu Z z Z. Z toho vyplývá závěr věty o podskupině Kurosh.

Rozšíření

Výsledek se vztahuje i na tento případ G je sloučený produkt podél společné podskupiny C, za podmínky, že H splňuje každý konjugát C pouze v prvku identity.^[10]

Viz také

• Rozšíření HNN
• Teorie geometrických grup

Reference