Van der Corputsova metoda - Van der Corputs method - Wikipedia

V matematice van der Corputova metoda generuje odhady pro exponenciální součty. Metoda aplikuje dva procesy, van der Corput procesy A a B které vztahují částky k jednodušším částkám, které lze snáze odhadnout.

Procesy platí pro exponenciální součty formuláře

${ displaystyle sum _ {n = a} ^ {b} e (f (n)) }$

kde F je dostatečně plynulá funkce a E(X) označuje exp (2πiX).

Proces A

Chcete-li použít postup A, napište první rozdíl F_h(X) pro F(X+h)−F(X).

Předpokládejme, že existuje H ≤ b−A takhle

${ displaystyle sum _ {h = 1} ^ {H} levý vert { sum _ {n = a} ^ {bh} e (f_ {h} (n))} pravý vert leq ba .}$

Pak

${ displaystyle left vert { sum _ {n = a} ^ {b} e (f (n))} right vert ll { frac {ba} { sqrt {H}}} . }$

Proces B

Proces B transformuje součet zahrnující F do jednoho zahrnujícího funkci G definovaný jako derivát f. Předpokládejme to F' je monotónní rostoucí s F'(A) = α, F'(b) = β. Pak F'je invertibilní na [α, β] s inverzní funkcí u říci. Dále předpokládejme F'≥ ≥ λ> 0. Napište

${ displaystyle g (y) = f (u (y)) - yu (y) .}$

My máme

${ displaystyle left vert { sum _ {n = a} ^ {b} e (f (n))} right vert ll { frac {1} { sqrt { lambda}}} max _ { alpha leq gamma leq beta} left vert { sum _ { nu = alpha} ^ { gamma} e (g ( nu))} right vert .}$

Opětovné použití procesu B na částku zahrnující G vrátí se k součtu F a tak nepřináší žádné další informace.

Dvojice exponentů

Metoda exponentové páry poskytuje třídu odhadů pro funkce s určitou vlastností hladkosti. Opravte parametry N,R,T,s, 8. Zvažujeme funkce F definované v intervalu [N,2N] což jsou R časy neustále diferencovatelné, uspokojivé

${ displaystyle left vert {f ^ {(r + 1)} (x) - (- 1) ^ {r} s (s + 1) cdots (s + r) Tx ^ {- sr}} right vert leq delta s (s + 1) cdots (s + r) Tx ^ {- sr} }$

jednotně na [A,b] pro 0 ≤ r < R.

Říkáme, že dvojice reálných čísel (k,l) s 0 ≤ k ≤ 1/2 ≤ l ≤ 1 je exponentový pár pokud pro každé σ> 0 existuje δ a R záleží na k,l, σ takové, že

${ displaystyle left vert { sum _ {n = a} ^ {b} e (f (n))} right vert ll left ({ frac {T} {N ^ { sigma} }} vpravo) ^ {k} N ^ {l} }$

jednotně v F.

Podle procesu A zjistíme, že pokud (k,l) je dvojice exponentů ${ displaystyle left ({{ frac {k} {2k + 2}}, { frac {k + l + 1} {2k + 2}}} right)}$Procesem B zjistíme, že ano ${ displaystyle left ({l-1/2, k + 1/2} right)}$.

Triviální vazba ukazuje, že (0,1) je dvojice exponentů.

Sada dvojic exponentů je konvexní.

Je známo, že pokud (k,l) je dvojice exponentů pak Funkce Riemann zeta na kritická linie splňuje

${ displaystyle zeta (1/2 + to) ll t ^ { theta} log t}$

kde ${ displaystyle theta = (k + l-1/2) / 2}$.

The domněnka dvojice exponentů uvádí, že pro všechna ε> 0 je dvojice (ε, 1/2 + ε) dvojice exponentů. Tato domněnka implikuje Lindelöfova hypotéza.

Reference

• Ivić, Aleksandar (1985). Riemannova zeta funkce. Teorie Riemannovy zeta funkce s aplikacemi. New York atd .: John Wiley & Sons. ISBN  0-471-80634-X. Zbl  0556.10026.
• Montgomery, Hugh L. (1994). Deset přednášek o rozhraní mezi teorií analytických čísel a harmonickou analýzou. Regionální konferenční seriál z matematiky. 84. Providence, RI: Americká matematická společnost. ISBN  0-8218-0737-4. Zbl  0814.11001.
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S .; Crstici, Borislav, vyd. (2006). Příručka teorie čísel I. Dordrecht: Springer-Verlag. ISBN  1-4020-4215-9. Zbl  1151.11300.